Eine periodische Folge ist ein Begriff aus der Mathematik. Bei dieser bestimmten Klasse von Folgen wiederholen sich die Folgeglieder nach einer bestimmten Periodenlänge.
Definition Bearbeiten
Eine Folge heißt periodisch, wenn es natürliche Zahlen und gibt, so dass
für alle gilt. Im Fall heißt die Folge reinperiodisch oder streng periodisch. Die minimale Zahl mit obiger Eigenschaft wird Periodenlänge genannt.
Beispiel Bearbeiten
Sei und für , wobei der Modulo-Operator ist.
Anschaulich ist die aus den letzten beiden Ziffern der Dezimaldarstellung von gebildete Zahl. Diese Folge beginnt mit den Werten
Danach wiederholen sich diese Werte.
Betrachtet man ganz allgemein eine rekursiv definierte Folge, also eine Folge, die durch für eine feste Funktion definiert ist, und nimmt nur endlich viele Werte an, dann ist die Folge immer periodisch.
Periodische Ziffernfolgen Bearbeiten
Es sei eine feste natürliche Zahl. Sind und natürliche Zahlen, so wird die Folge der Nachkommastellen der -adischen Darstellung von nach dem obigen Prinzip schließlich periodisch, weil sie iterativ durch die Reste bei der Division bestimmt wird, und diese Reste können nur die endlich vielen Werte annehmen.
Also ist eine reelle Zahl genau dann rational, wenn sie eine periodische -adische Darstellung hat. Bei ist das die Dezimalbruchdarstellung.
Einzelnachweise Bearbeiten
- Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band II: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, 1990, ISBN 3-411-14101-8, S. 305.
- ↑ Periodische Folge. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.