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Faulhabersche Formel Die beschreibt wie sich die Summe der ersten n displaystyle n k displaystyle k ten Potenzen mit ein

Faulhabersche Formel

Die Faulhabersche Formel beschreibt, wie sich die Summe der ersten -ten Potenzen mit einem Polynom in vom Grad berechnen lässt.

Die Koeffizienten des Polynoms können dabei mit Hilfe der Bernoulli-Zahlen berechnet werden.

Der Name „Faulhabersche Formel“ geht auf Donald Knuth zurück, der sie nach Johannes Faulhaber benannte.

Darstellung des Polynoms mittels der Bernoulli-Zahlen Bearbeiten

Zur Berechnung der Koeffizienten dieses Polynoms werden die Bernoulli-Zahlen benötigt. Im Folgenden bezeichne die -te Bernoulli-Zahl erster Art und die die Bernoulli-Zahlen zweiter Art, dann sieht die Faulhabersche Formel wie folgt aus:

Wenn man statt der ersten nur die ersten Potenzen betrachtet, so kann man die Faulhabersche Formel auch „ohne die Ausnahme“ für beschreiben und erhält

Rekursive Darstellung Bearbeiten

Betrachtet man das Polynom als Funktion der reellen Veränderlichen anstelle ergibt sich aus der Darstellung mittels Bernoulli-Zahlen auch die folgende elementar beweisbare rekursive Darstellung in aufsteigender Reihenfolge mit den Bernoulli-Zahlen zweiter Art

und in absteigender Folge gemäß:

Explizite Darstellungen Bearbeiten

Die niedrigen Koeffizienten in Stammbrüchen, wie man sie bei kleinem aus der Schulmathematik kennt, sind aber für den weiteren Verlauf überhaupt nicht typisch. Bereits bei tritt zum ersten Mal ein Koeffizient > 1 auf; bei noch höheren Potenzen wird das zur Regel. Grund dafür sind die Bernoulli-Zahlen, die nach einer Reihe von niedrigen Werten stark ansteigen, sogar stärker als jede Exponentialfunktion, und gegen Unendlich gehen. Sie selbst bilden die Koeffizienten der linearen Glieder, und da sie bei ungeraden Exponenten ungleich 1 Null werden, fehlen diese Glieder auch dementsprechend in den Summenformeln.

Allgemein gilt:

(Das bezeichnet die O-Notation.) Hier sieht man auch den Zusammenhang mit Cavalieris Integralformel; eine Summe von Potenzen ist eine Potenz mit einem um 1 höheren Grad. Das gilt auch für den trivialen Sonderfall von , denn das Integral einer konstanten Funktion ist eine lineare.

Bei der Erweiterung von auf erhält man zunächst bei die divergente harmonische Reihe, aber bei allen konvergente Potenzsummen. Ihre Grenzwerte sind definitionsgemäß die Funktionswerte der Riemannschen Zeta-Funktion.

All das sind Spezialfälle der allgemeinen Euler-Maclaurin-Formel angewandt auf die Funktion mit beliebigem reellem Exponenten .

Zusammenhang mit Bernoulli-Polynomen Bearbeiten

Die Summe der ersten -ten Potenzen lässt sich auch mit Hilfe von Bernoulli-Polynomen ausdrücken:

Hierbei bezeichnet das -te Bernoulli-Polynom.

Faulhaber-Polynome Bearbeiten

Die Summen ungerader Potenzen

lassen sich auch als Polynom in darstellen. Solche Polynome in statt in werden auch als Faulhaber-Polynome bezeichnet. Johannes Faulhaber selbst kannte nur die Formel in der folgenden beschriebenen Form und berechnete lediglich die ungeraden Fälle als Polynom in und vermutete, dass für alle ungeraden Zahlen ein entsprechendes Polynom existiere, ohne jedoch einen Beweis dafür zu geben. Das Konzept der Bernoulli-Zahlen war ihm nicht bekannt.

Einige Beispiele für kleinen Exponenten:

Allgemein gilt für alle :

was ein Polynom vom Grad in darstellt oder explizit als Polynom in

Historisches Bearbeiten

Faulhaber selbst kannte die Formel in ihrer heutigen allgemeinen Form nicht, auch waren die Bernoullizahlen zu seiner Zeit noch nicht bekannt. Er kannte jedoch zumindest die ersten 17 Fälle und die Konstruktionen der nach ihm benannten Polynome. Im Jahre 1834 veröffentlichte Carl Gustav Jacob Jacobi den ersten bekannten Beweis der Faulhaberschen Formel und verwendete dazu die Euler-Maclaurin-Formel. Weitere Beweise wurden unter anderem 1923 von L. Tits und 1986 von A. W. F. Edwards publiziert. Donald Ervin Knuth untersuchte Verallgemeinerungen, Darstellungen der Summen als Polynome in mit festem , und trug zur Popularisierung der Faulhaberschen Polynome bei.

Literatur Bearbeiten

  • Donald E. Knuth: Johann Faulhaber and Sums of Powers. Math. Comp. 61 (1993), no. 203, S. 277–294. arxiv:math/9207222.
  • John H. Conway, Richard Guy: The Book of Numbers. Copernicus (Springer), New York 1996, ISBN 0-387-97993-X, S. 106, (Auszug (Google)).
  • Johann Faulhaber: Academia Algebrae. Darinnen die miraculosische Inventiones, zu den höchsten Cossen weiters continuirt und profitiert werden. Dergleichen zwar vor 15. Jahren den Gelehrten auff allen Vniversiteten in gantzem Europa proponiert, darauff continuiert, auch allen Mathematicis inn der gantzen weiten Welt dediciert, aber bißhero, noch nie so hoch, biß auff die regulierte Zensicubiccubic Coß, durch offnen Truck publiciert worden. Welcher vorgesetzet ein kurtz Bedencken, Was einer für Authores nach ordnung gebrauchen solle, welcher die Coß fruchtbarlich, bald, auch fundamentaliter lehrnen vnd ergreiffen will. Augsburg: Johann Ulrich Schönig, 1631. (Online-Kopie (Google))
  • Greg Orosi: A Simple Derivation Of Faulhaber's Formula. In: Applied Mathematics E-Notes. Band 18, 2018, S. 124–126 (Online [PDF]).

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Donald E. Knuth: Johann Faulhaber and Sums of Powers. Math. Comp. 61 (1993), no. 203, S. 277–294. arxiv:math/9207222.
  2. Carl Gustav Jacob Jacobi: De usu legitimo formulae summatoriae Maclaurinianae. In: Crelles Journal für die reine und angewandte Mathematik 12 (1834), S. 263–272.
  3. L. Tits: Sur la sommation des puissances numériques. In: Mathesis 37 (1923), S. 353–355.
  4. Anthony William Fairbank Edwards: A quick route to sums of powers. In: American Mathematical Monthly 93 (1986), S. 451–455. JSTOR:2323466
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Die Faulhabersche Formel beschreibt wie sich die Summe der ersten n displaystyle n k displaystyle k ten Potenzen mit einem Polynom P k 1 n displaystyle P k 1 n in n displaystyle n vom Grad k 1 displaystyle k 1 berechnen lasst h 1 n h k 1 k 2 k 3 k n k P k 1 n mit k N 0 und n N displaystyle sum h 1 n h k 1 k 2 k 3 k cdots n k P k 1 n quad text mit k in mathbb N 0 text und n in mathbb N Die Koeffizienten des Polynoms P k 1 n displaystyle P k 1 n konnen dabei mit Hilfe der Bernoulli Zahlen berechnet werden Der Name Faulhabersche Formel geht auf Donald Knuth zuruck der sie nach Johannes Faulhaber benannte Inhaltsverzeichnis 1 Darstellung des Polynoms mittels der Bernoulli Zahlen 2 Rekursive Darstellung 3 Explizite Darstellungen 4 Zusammenhang mit Bernoulli Polynomen 5 Faulhaber Polynome 6 Historisches 7 Literatur 8 Weblinks 9 EinzelnachweiseDarstellung des Polynoms mittels der Bernoulli Zahlen BearbeitenZur Berechnung der Koeffizienten dieses Polynoms werden die Bernoulli Zahlen benotigt Im Folgenden bezeichne B j displaystyle B j nbsp die j displaystyle j nbsp te Bernoulli Zahl erster Art und die B j displaystyle overline B j nbsp die Bernoulli Zahlen zweiter Art dann sieht die Faulhabersche Formel wie folgt aus h 1 n h k 1 k 1 j 0 k 1 j k 1 j B j n k 1 j 1 k 1 j 0 k k 1 j B j n k 1 j n k 2 1 k 1 i 0 k 2 k 1 2 i B 2 i n k 1 2 i displaystyle begin aligned sum h 1 n h k amp frac 1 k 1 sum j 0 k 1 j k 1 choose j B j n k 1 j frac 1 k 1 sum j 0 k k 1 choose j overline B j n k 1 j amp frac n k 2 frac 1 k 1 sum i 0 lfloor k 2 rfloor k 1 choose 2i B 2i n k 1 2i end aligned nbsp Wenn man statt der ersten n displaystyle n nbsp nur die ersten n 1 displaystyle n 1 nbsp Potenzen betrachtet so kann man die Faulhabersche Formel auch ohne die Ausnahme fur B 1 displaystyle B 1 nbsp beschreiben und erhalt h 0 n 1 h k 1 k 1 j 0 k k 1 j B j n k 1 j displaystyle sum h 0 n 1 h k frac 1 k 1 sum j 0 k k 1 choose j B j n k 1 j nbsp Rekursive Darstellung BearbeitenBetrachtet man das Polynom P k 1 n displaystyle P k 1 n nbsp als Funktion der reellen Veranderlichen n displaystyle n nbsp anstelle n N 0 displaystyle n in mathbb N 0 nbsp ergibt sich aus der Darstellung mittels Bernoulli Zahlen auch die folgende elementar beweisbare rekursive Darstellung in aufsteigender Reihenfolge mit den Bernoulli Zahlen zweiter Art P 1 n B 0 n B 0 n n P k 1 n k 0 n P k n d n n B k falls k 1 displaystyle begin aligned P 1 n amp B 0 n B 0 n n P k 1 n amp k int 0 n P k n dn nB k quad text falls k geq 1 end aligned nbsp und in absteigender Folge gemass k P k n d d n P k 1 n B k falls k 1 displaystyle kP k n frac d dn P k 1 n B k quad text falls k geq 1 nbsp Explizite Darstellungen Bearbeiten1 0 2 0 3 0 n 0 n 1 1 2 1 3 1 n 1 1 2 n 2 1 2 n Gausssche Summenformel 1 2 2 2 3 2 n 2 1 3 n 3 1 2 n 2 1 6 n Quadratische Pyramidalzahl 1 3 2 3 3 3 n 3 1 4 n 4 1 2 n 3 1 4 n 2 Quadrat der Summe der ersten n Zahlen 1 4 2 4 3 4 n 4 1 5 n 5 1 2 n 4 1 3 n 3 1 30 n 1 5 2 5 3 5 n 5 1 6 n 6 1 2 n 5 5 12 n 4 1 12 n 2 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displaystyle k nbsp auf Z displaystyle mathbb Z nbsp erhalt man zunachst bei k 1 displaystyle k 1 nbsp die divergente harmonische Reihe aber bei allen k 2 displaystyle k leq 2 nbsp konvergente Potenzsummen Ihre Grenzwerte sind definitionsgemass die Funktionswerte der Riemannschen Zeta Funktion All das sind Spezialfalle der allgemeinen Euler Maclaurin Formel angewandt auf die Funktion x k displaystyle x k nbsp mit beliebigem reellem Exponenten k displaystyle k nbsp Zusammenhang mit Bernoulli Polynomen BearbeitenDie Summe der ersten n displaystyle n nbsp k displaystyle k nbsp ten Potenzen lasst sich auch mit Hilfe von Bernoulli Polynomen ausdrucken h 0 n h k B k 1 n 1 B k 1 0 k 1 displaystyle sum h 0 n h k frac text B k 1 n 1 text B k 1 0 k 1 nbsp Hierbei bezeichnet B j displaystyle text B j nbsp das j displaystyle j nbsp te Bernoulli Polynom Faulhaber Polynome BearbeitenDie Summen ungerader Potenzen h 1 n h 2 k 1 1 2 k 1 2 2 k 1 3 2 k 1 n 2 k 1 k n N 0 displaystyle sum h 1 n h 2k 1 1 2k 1 2 2k 1 3 2k 1 cdots n 2k 1 qquad k n in mathbb N 0 nbsp lassen sich auch als Polynom in m 1 2 n 1 2 n n 1 displaystyle m 1 2 dotsb n tfrac 1 2 n n 1 nbsp darstellen Solche Polynome in m displaystyle m nbsp statt in n displaystyle n nbsp werden auch als Faulhaber Polynome bezeichnet Johannes Faulhaber selbst kannte nur die Formel in der folgenden beschriebenen Form und berechnete lediglich die ungeraden Falle k 1 3 5 17 displaystyle k 1 3 5 dotsc 17 nbsp als Polynom in m displaystyle m nbsp und vermutete dass fur alle ungeraden Zahlen k displaystyle k nbsp ein entsprechendes Polynom existiere ohne jedoch einen Beweis dafur zu geben Das Konzept der Bernoulli Zahlen war ihm nicht bekannt Einige Beispiele fur kleinen Exponenten 1 3 2 3 3 3 n 3 m 2 displaystyle 1 3 2 3 3 3 cdots n 3 m 2 nbsp Folge A000537 in OEIS 1 5 2 5 3 5 n 5 4 m 3 m 2 3 displaystyle 1 5 2 5 3 5 cdots n 5 frac 4m 3 m 2 3 nbsp Folge A000539 in OEIS 1 7 2 7 3 7 n 7 6 m 4 4 m 3 m 2 3 displaystyle 1 7 2 7 3 7 cdots n 7 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Historisches BearbeitenFaulhaber selbst kannte die Formel in ihrer heutigen allgemeinen Form nicht auch waren die Bernoullizahlen zu seiner Zeit noch nicht bekannt Er kannte jedoch zumindest die ersten 17 Falle und die Konstruktionen der nach ihm benannten Polynome 1 Im Jahre 1834 veroffentlichte Carl Gustav Jacob Jacobi den ersten bekannten Beweis der Faulhaberschen Formel und verwendete dazu die Euler Maclaurin Formel 2 Weitere Beweise wurden unter anderem 1923 von L Tits und 1986 von A W F Edwards publiziert 3 4 Donald Ervin Knuth untersuchte Verallgemeinerungen Darstellungen der Summen als Polynome in n n 1 n r displaystyle n n 1 cdots n r nbsp mit festem r displaystyle r nbsp 1 und trug zur Popularisierung der Faulhaberschen Polynome bei Literatur BearbeitenDonald E Knuth Johann Faulhaber and Sums of Powers Math Comp 61 1993 no 203 S 277 294 arxiv math 9207222 John H Conway Richard Guy The Book of Numbers Copernicus Springer New York 1996 ISBN 0 387 97993 X S 106 Auszug Google Johann Faulhaber Academia Algebrae Darinnen die miraculosische Inventiones zu den hochsten Cossen weiters continuirt und profitiert werden Dergleichen zwar vor 15 Jahren den Gelehrten auff allen Vniversiteten in gantzem Europa proponiert darauff continuiert auch allen Mathematicis inn der gantzen weiten Welt dediciert aber bisshero noch nie so hoch biss auff die regulierte Zensicubiccubic Coss durch offnen Truck publiciert worden Welcher vorgesetzet ein kurtz Bedencken Was einer fur Authores nach ordnung gebrauchen solle welcher die Coss fruchtbarlich bald auch fundamentaliter lehrnen vnd ergreiffen will Augsburg Johann Ulrich Schonig 1631 Online Kopie Google Greg Orosi A Simple Derivation Of Faulhaber s Formula In Applied Mathematics E Notes Band 18 2018 S 124 126 Online PDF Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Faulhaber s formula In MathWorld englisch John J O Connor Edmund F Robertson Johann Faulhaber In MacTutor History of Mathematics archive Helmut Richter Bernhard Schiekel Potenzsummen Bernoulli Zahlen und Eulersche Summenformel doi 10 18725 OPARU 1819 Tobias Krahling Aussagenlogik PDF 148 kB Herleitung der Potenzsummenformel des PolynomsEinzelnachweise Bearbeiten a b Donald E Knuth Johann Faulhaber and Sums of Powers Math Comp 61 1993 no 203 S 277 294 arxiv math 9207222 Carl Gustav Jacob Jacobi De usu legitimo formulae summatoriae Maclaurinianae In Crelles Journal fur die reine und angewandte Mathematik 12 1834 S 263 272 L Tits Sur la sommation des puissances numeriques In Mathesis 37 1923 S 353 355 Anthony William Fairbank Edwards A quick route to sums of powers In American Mathematical Monthly 93 1986 S 451 455 JSTOR 2323466 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Faulhabersche Formel amp oldid 238218625