In der Funktionentheorie ist das Residuum einer komplexwertigen Funktion ein Hilfsmittel zur Berechnung von komplexen Kurvenintegralen mit Hilfe des Residuensatzes Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Komplexe Gebiete 1 2 Riemannsche Zahlenkugel 2 Eigenschaften und Anmerkungen 3 Praktische Berechnung 4 Beispiele 5 Algebraische Sichtweise 6 Quellen 7 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenKomplexe Gebiete Bearbeiten Sei D C displaystyle D subseteq mathbb C nbsp ein Gebiet D f displaystyle D f nbsp isoliert in D displaystyle D nbsp und f D D f C displaystyle f colon D setminus D f to mathbb C nbsp holomorph Dann existiert zu jedem Punkt a D f displaystyle a in D f nbsp eine punktierte Umgebung U U r a a D displaystyle U U r a setminus a subset D nbsp die relativ kompakt in D displaystyle D nbsp liegt mit f U displaystyle f U nbsp holomorph In diesem Fall besitzt f displaystyle f nbsp auf U displaystyle U nbsp eine Laurententwicklung f U z n c n z a n displaystyle textstyle f U z sum n infty infty c n z a n nbsp Dann bekommt man das Residuum von f displaystyle f nbsp in a displaystyle a nbsp als Koeffizienten der Laurent Reihe Res a f c 1 displaystyle operatorname Res a f c 1 nbsp Wenn a displaystyle a nbsp ein Pol erster Ordnung ist dann ist Res a f lim z a z a f z displaystyle operatorname Res a f lim z to a z a f z nbsp Wenn a displaystyle a nbsp ein Pol n ter Ordnung ist dann ist Res a f 1 n 1 lim z a d n 1 d z n 1 z a n f z displaystyle operatorname Res a f frac 1 n 1 lim z to a frac d n 1 dz n 1 left z a n f z right nbsp Aus dem Residuensatz folgt dass man das Residuum als Res a f 1 2 p i U f z d z displaystyle operatorname Res a f frac 1 2 pi mathrm i oint limits partial U f z dz nbsp berechnen kann Riemannsche Zahlenkugel Bearbeiten Die obige Definition kann man auch auf die riemannsche Zahlenkugel P 1 C displaystyle mathbb P 1 mathbb C cup infty nbsp erweitern Sei D f displaystyle D f nbsp wieder eine diskrete Menge in P 1 displaystyle mathbb P 1 nbsp und f P 1 D f C displaystyle f colon mathbb P 1 setminus D f to mathbb C nbsp eine holomorphe Funktion Dann ist fur alle a D f displaystyle a in D f nbsp mit a displaystyle a neq infty nbsp das Residuum ebenfalls durch die obige Definition erklart Fur a D f displaystyle a infty in D f nbsp setzt man Res f Res 0 1 z 2 f 1 z displaystyle operatorname Res infty f operatorname Res 0 left frac 1 z 2 f left frac 1 z right right nbsp Wenn lim z f z 0 displaystyle lim z to infty f z 0 nbsp ist dann kann man das Residuum in Unendlich durch Res f lim z z f z displaystyle operatorname Res infty f lim z to infty z cdot f z nbsp berechnen Wenn hingegen lim z f z c 0 displaystyle lim z to infty f z c neq 0 nbsp ist dann berechnet man das Residuum in Unendlich durch Res f lim z z 2 f z displaystyle operatorname Res infty f lim z to infty z 2 cdot f z nbsp Eigenschaften und Anmerkungen BearbeitenSei D C displaystyle D subset mathbb C nbsp ein Gebiet und f D C displaystyle f colon D to mathbb C nbsp eine holomorphe Funktion in a displaystyle a nbsp Dann kann der Cauchysche Integralsatz angewendet werden woraus folgt dass das Residuum von f displaystyle f nbsp in a displaystyle a nbsp null ist An der Integraldarstellung erkennt man dass man auch vom Residuum der Differentialform f z d z displaystyle f z mathrm d z nbsp sprechen kann Es gilt der Residuensatz Fur rationale Funktionen f C C displaystyle f hat mathbb C to hat mathbb C nbsp gilt die sogenannte Geschlossenheitsrelation p f Res p f 0 displaystyle sum p f operatorname Res p f 0 nbsp Dabei ist p f displaystyle p f nbsp die Menge aller Pole von f displaystyle f nbsp und C C displaystyle hat mathbb C mathbb C cup infty nbsp die Riemannsche Zahlenkugel Praktische Berechnung BearbeitenFolgende Regeln konnen zur Berechnung von Residuen von komplexwertigen Funktionen f g displaystyle f g nbsp im Punkt a C displaystyle a in mathbb C nbsp in der Praxis verwendet werden Das Residuum ist C displaystyle mathbb C nbsp linear d h fur l m C displaystyle lambda mu in mathbb C nbsp gilt Res a l f m g l Res a f m Res a g displaystyle operatorname Res a left lambda f mu g right lambda operatorname Res a f mu operatorname Res a g nbsp Hat f displaystyle f nbsp in a displaystyle a nbsp eine Polstelle 1 Ordnung gilt Res a f lim z a z a f z displaystyle textstyle operatorname Res a f lim z rightarrow a z a f z nbsp Hat f displaystyle f nbsp in a displaystyle a nbsp eine Polstelle 1 Ordnung und ist g displaystyle g nbsp in a displaystyle a nbsp holomorph gilt Res a g f g a Res a f displaystyle operatorname Res a gf g a operatorname Res a f nbsp Hat f displaystyle f nbsp in a displaystyle a nbsp eine Nullstelle 1 Ordnung gilt Res a 1 f 1 f a displaystyle operatorname Res a tfrac 1 f tfrac 1 f a nbsp Hat f displaystyle f nbsp in a displaystyle a nbsp eine Nullstelle 1 Ordnung und ist g displaystyle g nbsp in a displaystyle a nbsp holomorph gilt Res a g f g a f a displaystyle operatorname Res a tfrac g f tfrac g a f a nbsp Hat f displaystyle f nbsp in a displaystyle a nbsp eine Polstelle n displaystyle n nbsp ter Ordnung gilt Res a f 1 n 1 lim z a n 1 z n 1 z a n f z displaystyle textstyle operatorname Res a f tfrac 1 left n 1 right lim z rightarrow a frac partial n 1 partial z n 1 z a n f z nbsp Hat f displaystyle f nbsp in a displaystyle a nbsp eine Nullstelle n displaystyle n nbsp ter Ordnung gilt Res a f f n displaystyle operatorname Res a tfrac f f n nbsp Hat f displaystyle f nbsp in a displaystyle a nbsp eine Nullstelle n displaystyle n nbsp ter Ordnung und ist g in a displaystyle a nbsp holomorph gilt Res a g f f g a n displaystyle operatorname Res a g tfrac f f g a n nbsp Hat f displaystyle f nbsp in a displaystyle a nbsp eine Polstelle n displaystyle n nbsp ter Ordnung gilt Res a f f n displaystyle operatorname Res a tfrac f f n nbsp Hat f displaystyle f nbsp in a displaystyle a nbsp eine Polstelle n displaystyle n nbsp ter Ordnung und ist g in a displaystyle a nbsp holomorph gilt Res a g f f g a n displaystyle operatorname Res a g tfrac f f g a n nbsp Sei f displaystyle f nbsp in einem zur reellen Achse symmetrischen Gebiet G displaystyle G nbsp d h z G z G displaystyle z in G Rightarrow overline z in G nbsp holomorph bis auf isolierte Singularitaten Weiterhin gelte f G R R displaystyle f G cap mathbb R subset mathbb R nbsp Dies ist nach dem schwarzschen Spiegelungsprinzip und dem Identitatssatz aquivalent zu f z f z displaystyle f overline z overline f z nbsp Es gilt sodann Res a f Res a f displaystyle operatorname Res overline a f overline operatorname Res a f nbsp 1 Ist das Residuum am Punkt displaystyle infty nbsp zu berechnen so gilt Res f Res 0 1 z 2 f 1 z displaystyle operatorname Res infty f operatorname Res 0 left tfrac 1 z 2 f tfrac 1 z right nbsp Denn mit w 1 z displaystyle w tfrac 1 z nbsp gilt f w d w f 1 z d 1 z 1 z 2 f 1 z d z displaystyle f w mathrm d w f tfrac 1 z mathrm d tfrac 1 z tfrac 1 z 2 f tfrac 1 z mathrm d z nbsp Die Regeln uber die logarithmische Ableitung f f displaystyle tfrac f f nbsp sind in Verbindung mit dem Residuensatz auch von theoretischem Interesse Beispiele BearbeitenWie bereits erwahnt ist Res a f 0 displaystyle operatorname Res a f 0 nbsp wenn f displaystyle f nbsp auf einer offenen Umgebung von a displaystyle a nbsp holomorph ist Ist f z 1 z displaystyle f z tfrac 1 z nbsp so hat f displaystyle f nbsp in 0 displaystyle 0 nbsp einen Pol 1 Ordnung und es ist Res 0 f 1 displaystyle operatorname Res 0 f 1 nbsp Res 1 z z 2 1 1 2 displaystyle operatorname Res 1 tfrac z z 2 1 tfrac 1 2 nbsp wie man sofort mit der Linearitat und der Regel von der logarithmischen Ableitung sieht denn z z 2 1 displaystyle z mapsto z 2 1 nbsp hat in 1 displaystyle 1 nbsp eine Nullstelle 1 Ordnung Die fortgesetzte Gammafunktion hat in n displaystyle n nbsp fur n N 0 displaystyle n in mathbb N 0 nbsp Pole 1 Ordnung und das Residuum dort ist Res n G 1 n n displaystyle operatorname Res n Gamma tfrac 1 n n nbsp Algebraische Sichtweise BearbeitenEs seien K displaystyle K nbsp ein Korper und X displaystyle X nbsp eine zusammenhangende regulare eigentliche Kurve uber K displaystyle K nbsp Dann gibt es zu jedem abgeschlossenen Punkt x X displaystyle x in X nbsp eine kanonische Abbildung res x W K X K K displaystyle operatorname res x colon Omega K X K to K nbsp die jeder meromorphen Differentialform ihr Residuum in x displaystyle x nbsp zuordnet Ist x displaystyle x nbsp ein K displaystyle K nbsp rationaler Punkt und t displaystyle t nbsp eine lokale Uniformisierende so kann die Residuenabbildung wie folgt explizit angegeben werden Ist w displaystyle omega nbsp eine meromorphe Differentialform und w f d t displaystyle omega f mathrm d t nbsp eine lokale Darstellung und ist f k N a k t k displaystyle f sum k N infty a k t k nbsp die Laurentreihe von f displaystyle f nbsp so gilt res x w a 1 displaystyle operatorname res x omega a 1 nbsp Insbesondere stimmt das algebraische Residuum im Fall K C displaystyle K mathbb C nbsp mit dem funktionentheoretischen uberein Das Analogon des Residuensatzes ist richtig Fur jede meromorphe Differentialform w displaystyle omega nbsp ist die Summe der Residuen null x X res x w 0 displaystyle sum x in X operatorname res x omega 0 nbsp Quellen BearbeitenEberhard Freitag Rolf Busam Funktionentheorie 1 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2000 A P Yuzhakov Residue of an analytic function In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org John Tate Residues of differentials on curves Annales scientifiques de l E N S 4e serie tome 1 no 1 1968 S 149 159 DJVU PDFEine Konstruktion der algebraischen Residuenabbildung Einzelnachweise Bearbeiten Steffen Timmann Repetitorium der Funktionentheorie Binomi Verlag 1998 ISBN 978 3 923923 56 4 S 120 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Residuum Funktionentheorie amp oldid 221489485
