Die Todd-Klasse ist eine Konstruktion aus der algebraischen Topologie der charakteristischen Klassen. Die Todd-Klasse eines Vektorbündels kann mit der Theorie der Chern-Klassen erklärt werden und existiert dort, wo diese existieren, besonders in der Differentialtopologie, der Theorie komplexer Mannigfaltigkeiten und in der algebraischen Geometrie. Grob gesagt wirkt sie wie eine reziproke Chern-Klasse beziehungsweise steht zu ihr in Beziehung wie ein Normalenbündel zu einem Konormalenbündel. Die Todd-Klasse spielt eine fundamentale Rolle in der Verallgemeinerung des Satzes von Riemann-Roch auf höhere Dimensionen, im Satz von Hirzebruch-Riemann-Roch oder Satz von Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch.
Sie wird nach dem englischen Mathematiker John Arthur Todd benannt, der einen Spezialfall 1937 in die algebraische Geometrie einführte, vor der Definition der Chern-Klassen. Die geometrische Idee wird manchmal auch Todd-Eger-Klasse genannt, die allgemeine Definition in höheren Dimensionen stammt von Friedrich Hirzebruch (in seinem Buch Topologische Methoden der algebraischen Geometrie).
Definition Bearbeiten
Um die Todd-Klasse zu einem komplexen -dimensionalen Vektorbündel auf einem topologischen Raum zu definieren, ist es meist möglich sich auf eine Whitney-Summe (das heißt direkte Summe) von Geradenbündeln zu beschränken unter Verwendung einer allgemeinen Methode aus der Theorie charakteristischer Klassen, den Chern-Wurzeln. Man betrachte
als formale Potenzreihe, wobei die Koeffizienten die Bernoullizahlen sind. Falls die als Chern-Wurzeln hat, ist
was im Kohomologiering von berechnet wird (oder in seiner Vervollständigung, falls man unendlichdimensionale Mannigfaltigkeiten betrachtet).
Die explizite Form der Todd-Klasse als formale Potenzreihe in den Chern-Klassen ist:
wobei die Kohomologieklassen die Chern-Klassen von sind und in der Kohomologiegruppe liegen. Falls endlichdimensional ist, verschwinden die meisten Terme und ist ein Polynom in den Chern-Klassen.
Literatur Bearbeiten
- J. Todd: The arithmetical theory of algebraic loci. In: Proceedings of the London Mathematical Society. 43, 1937, ISSN 0024-6115, S. 190–225.
- Friedrich Hirzebruch: Topological methods in algebraic geometry (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 131). 2nd corrected printing of the 3rd edition. Springer, Berlin u. a. 1978, ISBN 3-540-03525-7.