In der Mathematik ist die Trigamma Funktion die zweite Polygammafunktion 1 die erste Polygammafunktion ist die Digammafunktion ps displaystyle psi Die Trigammafunktion ist damit eine spezielle Funktion und wird ublicherweise mit ps 1 displaystyle psi 1 bezeichnet und als zweite Ableitung der Funktion ln displaystyle ln G x displaystyle Gamma x definiert wobei G displaystyle Gamma die Gammafunktion bezeichnet Die Trigammafunktion ps 1 z displaystyle psi 1 z in der komplexen Zahlenebene Inhaltsverzeichnis 1 Definition und weitere Darstellungen 2 Berechnung und Eigenschaften 3 Spezielle Werte 4 EinzelnachweiseDefinition und weitere Darstellungen BearbeitenDie Definition lautet ps 1 z d 2 d z 2 ln G z displaystyle psi 1 z frac mathrm d 2 mathrm d z 2 ln Gamma z nbsp Daraus folgt der Zusammenhang mit der Digammafunktion ps z displaystyle psi z nbsp dass ps 1 z d d z ps z displaystyle psi 1 z frac mathrm d mathrm d z psi z nbsp die Trigammafunktion die Ableitung der Digammafunktion ist Aus der Summendarstellung ps 1 z n 0 1 z n 2 z 2 z displaystyle psi 1 z sum n 0 infty frac 1 z n 2 zeta 2 z nbsp folgt dass die Trigammafunktion ein Spezialfall der hurwitzschen z displaystyle zeta nbsp Funktion 2 ist Eine Darstellung als Doppelintegral ist ps 1 z 0 1 d y y 0 y x z 1 d x 1 x displaystyle psi 1 z int limits 0 1 frac mathrm d y y int limits 0 y frac x z 1 mathrm d x 1 x nbsp Ausserdem gilt ps 1 z 0 1 x z 1 ln x 1 x d x displaystyle psi 1 z int limits 0 1 frac x z 1 ln x 1 x mathrm d x nbsp Berechnung und Eigenschaften BearbeitenDie asymptotische Berechnung schliesst die Bernoulli Zahlen B 2 k displaystyle B 2k nbsp ein ps 1 z 1 z 1 2 z 2 k 1 N B 2 k z 2 k 1 displaystyle psi 1 z sim frac 1 z frac 1 2z 2 sum k 1 N frac B 2k z 2k 1 nbsp Zwar ist die Reihe fur kein z displaystyle z nbsp mit N displaystyle N to infty nbsp konvergent jedoch stellt diese Formel fur nicht zu gross gewahlte N displaystyle N nbsp eine sehr gute Naherung dar Je grosser z displaystyle z nbsp ist desto grosser kann N displaystyle N nbsp gewahlt werden Die Rekursionsformel der Trigammafunktion lautet ps 1 z 1 ps 1 z 1 z 2 displaystyle psi 1 z 1 psi 1 z frac 1 z 2 nbsp Die Funktionalgleichung der Trigammafunktion hat die Form einer Reflexionsgleichung und ist gegeben durch ps 1 1 z ps 1 z p 2 csc 2 p z displaystyle psi 1 1 z psi 1 z pi 2 csc 2 pi z nbsp Hier ist csc displaystyle csc nbsp der Kosekans Spezielle Werte BearbeitenEs folgt eine Auflistung einiger spezieller Werte der Trigammafunktion wobei G displaystyle G nbsp die Catalansche Konstante z x displaystyle zeta x nbsp die Riemannsche Zetafunktion und C l 2 displaystyle rm Cl 2 nbsp die Clausen Funktion 3 bezeichnet ps 1 1 4 p 2 8 G ps 1 1 3 2 3 p 2 3 3 C l 2 2 3 p ps 1 1 2 1 2 p 2 ps 1 2 3 2 3 p 2 3 3 C l 2 2 3 p ps 1 3 4 p 2 8 G ps 1 1 z 2 1 6 p 2 ps 1 5 4 p 2 8 G 16 ps 1 3 2 1 2 p 2 4 ps 1 2 1 6 p 2 1 displaystyle begin aligned amp psi 1 left tfrac 1 4 right amp amp pi 2 8G amp psi 1 left tfrac 1 3 right amp amp tfrac 2 3 pi 2 3 sqrt 3 cdot rm Cl 2 tfrac 2 3 pi amp psi 1 left tfrac 1 2 right amp amp tfrac 1 2 pi 2 amp psi 1 left tfrac 2 3 right amp amp tfrac 2 3 pi 2 3 sqrt 3 cdot rm Cl 2 tfrac 2 3 pi amp psi 1 left tfrac 3 4 right amp amp pi 2 8G amp psi 1 1 amp amp zeta 2 tfrac 1 6 pi 2 amp psi 1 left tfrac 5 4 right amp amp pi 2 8G 16 amp psi 1 left tfrac 3 2 right amp amp tfrac 1 2 pi 2 4 amp psi 1 2 amp amp tfrac 1 6 pi 2 1 end aligned nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Eric W Weisstein Polygamma Function In MathWorld englisch Eric W Weisstein Hurwitz Zeta Function In MathWorld englisch Eric W Weisstein Clausen Function In MathWorld englisch Milton Abramowitz und Irene A Stegun Handbook of Mathematical Functions 1964 Dover Publications New York ISBN 0 486 61272 4 Abschnitt 6 4 Eric W Weisstein Trigamma Function In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Trigamma Funktion amp oldid 226337119
