In der Mathematik ist die Clausen Funktion nach Thomas Clausen durch das folgende Integral definiert Graph der Clausen Funktion C l 2 8 displaystyle mathrm Cl 2 theta rot und C l 4 8 displaystyle mathrm Cl 4 theta grun Cl 2 8 0 8 log 2 sin t 2 d t displaystyle operatorname Cl 2 theta int 0 theta log 2 sin t 2 mathrm d t Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeine Definition 2 Verallgemeinerte Definition 3 Beziehung zum Polylogarithmus 4 Kummers Beziehung 5 Beziehung zu den Dirichlet L Funktionen 6 Die Clausen Function als eine Regularisierungs Methode 7 Reihenentwicklung 8 Spezielle Werte 8 1 Allgemeine Spezielle Falle 8 2 Spezifische Falle 9 Literatur 10 EinzelnachweiseAllgemeine Definition BearbeitenAllgemeiner definiert man fur komplexe s displaystyle s nbsp mit Re s gt 1 displaystyle operatorname Re s gt 1 nbsp Cl s 8 n 1 sin n 8 n s sin 8 sin 2 8 2 s sin 3 8 3 s sin 4 8 4 s displaystyle operatorname Cl s theta sum n 1 infty frac sin n theta n s sin theta frac sin 2 theta 2 s frac sin 3 theta 3 s frac sin 4 theta 4 s cdots nbsp Diese Definition kann auf der gesamten komplexen Ebene analytisch fortgesetzt werden Verallgemeinerte Definition Bearbeiten nbsp Beispiele von Glaisher Clausen Funktionen im Intervall 0 2 p displaystyle 0 2 cdot pi nbsp nbsp Beispiele von Standard Clausen Funktionen im Intervall 0 2 p displaystyle 0 2 cdot pi nbsp Eine verallgemeinerte Definition der Clausen Funktionen fur lautet C l z 8 S z 8 k 1 sin k 8 k z C z 8 k 1 cos k 8 k z displaystyle operatorname Cl z left theta right begin cases operatorname S z left theta right sum k 1 infty frac sin left k cdot theta right k z operatorname C z left theta right sum k 1 infty frac cos left k cdot theta right k z end cases nbsp 1 Clausen Funktionen der Form S z 8 k 1 sin k 8 k z displaystyle operatorname S z left theta right sum k 1 infty frac sin left k cdot theta right k z nbsp sind Glaisher Clausen Funktionen nach James Whitbread Lee Glaisher und C z 8 k 1 cos k 8 k z displaystyle operatorname C z left theta right sum k 1 infty frac cos left k cdot theta right k z nbsp sind Standard Klausen Funktionen Beziehung zum Polylogarithmus BearbeitenDie Clausen Funktion steht in Beziehung zum Polylogarithmus Cl s 8 Im Li s e i 8 displaystyle operatorname Cl s theta operatorname Im operatorname Li s e i theta nbsp Kummers Beziehung BearbeitenErnst Kummer und Rogers fuhren folgende fur 0 8 2 p displaystyle 0 leq theta leq 2 pi nbsp gultige Beziehung an Li 2 e i 8 z 2 8 2 p 8 4 i Cl 2 8 displaystyle operatorname Li 2 e i theta zeta 2 theta 2 pi theta 4 i operatorname Cl 2 theta nbsp Beziehung zu den Dirichlet L Funktionen BearbeitenFur rationale Werte von 8 p displaystyle theta pi nbsp kann die Funktion sin n 8 displaystyle sin n theta nbsp als periodischer Orbit eines Elementes einer zyklischen Gruppe aufgefasst werden Folglich kann Cl s 8 displaystyle operatorname Cl s theta nbsp als einfache Summe aufgefasst werden welche die hurwitzsche Zeta Funktion beinhaltet Das erlaubt es Beziehungen zwischen bestimmten dirichletschen L Funktionen einfach zu berechnen Die Clausen Function als eine Regularisierungs Methode BearbeitenDie Clausen Funktion kann auch als Methode betrachtet werden um folgenden divergenten Fourier Reihen eine Bedeutung zu geben sin 8 2 sin 2 8 3 sin 3 8 displaystyle sin theta 2 sin 2 theta 3 sin 3 theta dots nbsp was mit Cl 1 8 displaystyle operatorname Cl 1 theta nbsp bezeichnet werden kann Durch Integration erhalt man cos 8 cos 2 8 cos 3 8 d 8 Cl 1 8 displaystyle cos theta cos 2 theta cos 3 theta dots int d theta operatorname Cl 1 theta nbsp Dieses Ergebnis kann durch analytische Fortsetzung fur alle negativen s displaystyle s nbsp verallgemeinert werden Reihenentwicklung BearbeitenEine Reihenentwicklung fur die Clausen Funktion fur 8 lt 2 p displaystyle theta lt 2 pi nbsp ist Cl 2 8 8 1 log 8 n 1 z 2 n n 2 n 1 8 2 p 2 n displaystyle frac operatorname Cl 2 theta theta 1 log theta sum n 1 infty frac zeta 2n n 2n 1 left frac theta 2 pi right 2n text nbsp z s displaystyle zeta s nbsp ist dabei die riemannsche Zeta Funktion Eine schneller konvergierende Reihe ist Cl 2 8 8 3 log 8 1 8 2 4 p 2 2 p 8 log 2 p 8 2 p 8 n 1 z 2 n 1 n 2 n 1 8 2 p 2 n displaystyle frac operatorname Cl 2 theta theta 3 log left theta left 1 frac theta 2 4 pi 2 right right frac 2 pi theta log left frac 2 pi theta 2 pi theta right sum n 1 infty frac zeta 2n 1 n 2n 1 left frac theta 2 pi right 2n text nbsp Die Konvergenz wird dadurch sichergestellt dass z n 1 displaystyle zeta n 1 nbsp fur grosse n displaystyle n nbsp schnell gegen 0 konvergiert Spezielle Werte BearbeitenAllgemeine Spezielle Falle Bearbeiten Einige Spezialfalle sind gegeben durch 2 S 1 8 1 2 p 1 2 8 S 3 8 1 6 p 2 8 1 4 p 8 2 1 12 8 3 S 5 8 1 90 p 4 8 1 36 p 2 8 3 1 48 p 8 4 1 240 8 5 C 2 8 1 6 p 2 8 1 2 p 8 1 4 8 2 C 4 8 1 90 p 4 8 1 12 p 2 8 2 1 12 p 8 3 1 48 8 4 displaystyle begin aligned operatorname S 1 left theta right amp frac 1 2 cdot pi frac 1 2 cdot theta operatorname S 3 left theta right amp frac 1 6 cdot pi 2 cdot theta frac 1 4 cdot pi cdot theta 2 frac 1 12 cdot theta 3 operatorname S 5 left theta right amp frac 1 90 cdot pi 4 cdot theta frac 1 36 cdot pi 2 cdot theta 3 frac 1 48 cdot pi cdot theta 4 frac 1 240 cdot theta 5 operatorname C 2 left theta right amp frac 1 6 cdot pi 2 cdot theta frac 1 2 cdot pi cdot theta frac 1 4 cdot theta 2 operatorname C 4 left theta right amp frac 1 90 cdot pi 4 cdot theta frac 1 12 cdot pi 2 cdot theta 2 frac 1 12 cdot pi cdot theta 3 frac 1 48 cdot theta 4 end aligned nbsp fur 0 8 2 p displaystyle 0 leq theta leq 2 cdot pi nbsp Weitere Spezialfalle sind S n 8 i 2 L i n exp 8 i L i n exp 8 i C n 8 1 2 L i n exp 8 i L i n exp 8 i displaystyle begin aligned operatorname S n left theta right amp frac i 2 cdot left operatorname Li n left exp left theta cdot i right right operatorname Li n left exp left theta cdot i right right right operatorname C n left theta right amp frac 1 2 cdot left operatorname Li n left exp left theta cdot i right right operatorname Li n left exp left theta cdot i right right right end aligned nbsp wobei L i n displaystyle operatorname Li n nbsp der Polylogarithmus ist T i 2 tan 8 8 log tan 8 1 2 C l 2 2 8 1 2 C l 2 p 2 8 displaystyle operatorname Ti 2 left tan left theta right right theta cdot log left tan left theta right right frac 1 2 cdot operatorname Cl 2 left 2 cdot theta right frac 1 2 cdot operatorname Cl 2 left pi 2 cdot theta right nbsp fur 0 tan 8 1 displaystyle 0 leq tan left theta right leq 1 nbsp wobei T i 2 displaystyle operatorname Ti 2 nbsp das Arkustangensintegral ist Cl 2 2 p z 2 p log G 1 z G 1 z 2 p z log p sin p z displaystyle operatorname Cl 2 2 pi z 2 pi log left frac G 1 z G 1 z right 2 pi z log left frac pi sin pi z right nbsp Cl 2 2 p z 2 p log G 1 z G z 2 p log G z 2 p z log p sin p z displaystyle operatorname Cl 2 2 pi z 2 pi log left frac G 1 z G z right 2 pi log Gamma z 2 pi z log left frac pi sin pi z right nbsp wobei G displaystyle G nbsp Barnessche G Funktion und G displaystyle Gamma nbsp die Gammafunktion ist Cl 2 8 L s 2 0 8 displaystyle operatorname Cl 2 theta mathcal L s 2 0 theta nbsp 3 wobei L s 2 0 displaystyle mathcal L s 2 0 nbsp der verallgemeinerte Logsinus L s n m 8 0 8 x m log n m 1 2 sin x 2 d x displaystyle displaystyle mathcal L s n m theta int 0 theta x m log n m 1 left 2 sin frac x 2 right dx nbsp ist Cl s p 2 b s displaystyle operatorname Cl s left frac pi 2 right beta s nbsp wobei b s displaystyle beta s nbsp die dirichletsche Beta Funktion ist Spezifische Falle Bearbeiten Einige spezielle Werte sind Cl 2 p 2 K displaystyle operatorname Cl 2 left frac pi 2 right K nbsp Cl 2 p 3 3 p log G 2 3 G 1 3 3 p log G 1 3 p log 2 p 3 displaystyle operatorname Cl 2 left frac pi 3 right 3 pi log left frac G left frac 2 3 right G left frac 1 3 right right 3 pi log Gamma left frac 1 3 right pi log left frac 2 pi sqrt 3 right nbsp Cl 2 2 p 3 2 p log G 2 3 G 1 3 2 p log G 1 3 2 p 3 log 2 p 3 displaystyle operatorname Cl 2 left frac 2 pi 3 right 2 pi log left frac G left frac 2 3 right G left frac 1 3 right right 2 pi log Gamma left frac 1 3 right frac 2 pi 3 log left frac 2 pi sqrt 3 right nbsp Cl 2 p 4 2 p log G 7 8 G 1 8 2 p log G 1 8 p 4 log 2 p 2 2 displaystyle operatorname Cl 2 left frac pi 4 right 2 pi log left frac G left frac 7 8 right G left frac 1 8 right right 2 pi log Gamma left frac 1 8 right frac pi 4 log left frac 2 pi sqrt 2 sqrt 2 right nbsp Cl 2 3 p 4 2 p log G 5 8 G 3 8 2 p log G 3 8 3 p 4 log 2 p 2 2 displaystyle operatorname Cl 2 left frac 3 pi 4 right 2 pi log left frac G left frac 5 8 right G left frac 3 8 right right 2 pi log Gamma left frac 3 8 right frac 3 pi 4 log left frac 2 pi sqrt 2 sqrt 2 right nbsp Cl 2 p 6 2 p log G 11 12 G 1 12 2 p log G 1 12 p 6 log 2 p 2 3 1 displaystyle operatorname Cl 2 left frac pi 6 right 2 pi log left frac G left frac 11 12 right G left frac 1 12 right right 2 pi log Gamma left frac 1 12 right frac pi 6 log left frac 2 pi sqrt 2 sqrt 3 1 right nbsp und Cl 2 5 p 6 2 p log G 7 12 G 5 12 2 p log G 5 12 5 p 6 log 2 p 2 3 1 displaystyle operatorname Cl 2 left frac 5 pi 6 right 2 pi log left frac G left frac 7 12 right G left frac 5 12 right right 2 pi log Gamma left frac 5 12 right frac 5 pi 6 log left frac 2 pi sqrt 2 sqrt 3 1 right nbsp wobei K die catalansche Konstante ist Literatur BearbeitenLeonard Lewin Hrsg Structural Properties of Polylogarithms American Mathematical Society Providence RI 1991 ISBN 0 8218 4532 2 englisch Jonathan M Borwein David M Bradley Richard E Crandall Computational Strategies for the Riemann Zeta Function In J Comp App Math Band 121 2000 S 11 englisch maths ex ac uk PDF 526 kB Einzelnachweise Bearbeiten Eric W Weisstein Clausen Function Abgerufen am 15 Februar 2023 englisch Eric W Weisstein Clausen Function Abgerufen am 15 Februar 2023 englisch Eric W Weisstein Log Sine Function Abgerufen am 15 Februar 2023 englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Clausen Funktion amp oldid 237653976
