In der Mathematik werden verschiedene spezielle Funktionen als Dilogarithmus bezeichnet Der klassische Dilogarithmus ist ein Spezialfall des Polylogarithmus Inhaltsverzeichnis 1 Klassischer Dilogarithmus 2 Bloch Wigner Dilogarithmus 3 Rogers Dilogarithmus 4 Elliptischer Dilogarithmus 5 Spezielle Werte 5 1 Klassischer Dilogarithmus 5 2 Bloch Wigner Dilogarithmus 5 3 Rogers Dilogarithmus 5 4 Basler Problem 6 Funktionalgleichungen 6 1 Klassischer Dilogarithmus 6 2 Bloch Wigner Dilogarithmus 6 3 Rogers Dilogarithmus 7 Integration von Funktionen 7 1 Produkten von Logarithmusfunktionen und Kehrwertfunktionen 7 2 Produkte aus Areafunktionen und algebraischen Funktionen 8 Siehe auch 9 Weblinks 10 EinzelnachweiseKlassischer Dilogarithmus Bearbeiten nbsp Werte des klassischen Dilogarithmus auf der reellen Achse Der Imaginarteil ist dort identisch Null Hauptartikel Polylogarithmus Der klassische Dilogarithmus ist fur komplexe Zahlen z displaystyle z nbsp mit z lt 1 displaystyle z lt 1 nbsp definiert durch die Potenzreihe Li 2 z k 1 z k k 2 displaystyle operatorname Li 2 z sum k 1 infty frac z k k 2 nbsp Er lasst sich durch analytische Fortsetzung auf C 1 displaystyle mathbb C setminus left 1 infty right nbsp fortsetzen Li 2 z 0 z ln 1 t t d t displaystyle operatorname Li 2 z int 0 z frac ln 1 t t mathrm d t nbsp Hierbei muss entlang eines Weges in C 1 displaystyle mathbb C setminus left 1 infty right nbsp integriert werden Bloch Wigner Dilogarithmus BearbeitenDer Bloch Wigner Dilogarithmus ist fur z C displaystyle z in mathbb C nbsp definiert durch D 2 z Im Li 2 z arg 1 z ln z displaystyle operatorname D 2 z operatorname Im operatorname Li 2 z arg 1 z ln z nbsp Er ist wohl definiert und stetig auch in 1 displaystyle left 1 infty right nbsp Er ist analytisch in C 0 1 displaystyle mathbb C setminus left 0 1 right nbsp in 0 und 1 hat er Singularitaten vom Typ r ln r displaystyle r ln r nbsp Rogers Dilogarithmus BearbeitenDer Rogers Dilogarithmus ist definiert durch L x 6 p 2 Li 2 x 1 2 ln x ln 1 x displaystyle L x frac 6 pi 2 left operatorname Li 2 x frac 1 2 ln x ln 1 x right nbsp fur 0 lt x lt 1 displaystyle 0 lt x lt 1 nbsp Eine andere gebrauchliche Definition ist R x Li 2 x 1 2 ln x ln 1 x p 2 6 displaystyle R x operatorname Li 2 x frac 1 2 ln x ln 1 x frac pi 2 6 nbsp Diese hangt mit der erstgenannten via R x p 2 6 L x 1 displaystyle R x frac pi 2 6 L x 1 nbsp zusammen Man kann R displaystyle R nbsp unstetig auf ganz R displaystyle mathbb R nbsp fortsetzen durch R 1 0 R 0 p 2 6 displaystyle R 1 0 R 0 frac pi 2 6 nbsp und R x R 1 x fur x gt 1 R x x 1 fur x lt 0 displaystyle R x left begin array ll R 1 x amp mbox fur x gt 1 R x x 1 amp mbox fur x lt 0 end array right nbsp Elliptischer Dilogarithmus BearbeitenSei E displaystyle E nbsp eine uber Q displaystyle mathbb Q nbsp definierte elliptische Kurve Mittels der Weierstrassschen Funktion lasst sie sich mittels eines Gitters L 1 t displaystyle Lambda left 1 tau right nbsp parametrisieren durch C L E C displaystyle mathbb C Lambda rightarrow E mathbb C nbsp u displaystyle u nbsp mod L p u p u displaystyle Lambda mapsto p u p prime u nbsp Der elliptische Dilogarithmus D E E C C displaystyle D E colon E mathbb C rightarrow mathbb C nbsp ist dann definiert durch D E p u p u n D 2 e 2 p i n t u displaystyle D E p u p prime u sum n infty infty D 2 e 2 pi i n tau u nbsp wobei D 2 displaystyle D 2 nbsp den Bloch Wigner Dilogarithmus bezeichnet Der elliptische Dilogarithmus stimmt bis auf rationale Vielfache von p displaystyle pi nbsp mit dem Wert L E 2 displaystyle L E 2 nbsp der L Funktion uberein 1 Spezielle Werte BearbeitenKlassischer Dilogarithmus Bearbeiten Fur die folgenden Zahlen lassen sich z displaystyle z nbsp und Li 2 z displaystyle operatorname Li 2 z nbsp in geschlossener Form darstellen Li 2 1 p 2 12 Li 2 0 0 displaystyle operatorname Li 2 1 frac pi 2 12 qquad operatorname Li 2 0 0 nbsp Li 2 1 2 p 2 12 1 2 ln 2 2 Li 2 1 p 2 6 displaystyle operatorname Li 2 biggl frac 1 2 biggr frac pi 2 12 frac 1 2 ln 2 2 qquad operatorname Li 2 1 frac pi 2 6 nbsp Li 2 F 1 p 2 15 1 2 ln 2 F Li 2 F p 2 10 ln 2 F displaystyle operatorname Li 2 Phi 1 frac pi 2 15 frac 1 2 ln 2 Phi qquad operatorname Li 2 Phi frac pi 2 10 ln 2 Phi nbsp Li 2 F 2 p 2 15 ln 2 F Li 2 F 1 p 2 10 ln 2 F displaystyle operatorname Li 2 Phi 2 frac pi 2 15 ln 2 Phi qquad operatorname Li 2 Phi 1 frac pi 2 10 ln 2 Phi nbsp Mit dem Kurzel F wird hierbei die Zahl des Goldenen Schnittes ausgedruckt F 5 1 2 displaystyle Phi sqrt 5 1 2 nbsp Mit der sechsten Einheitswurzel w 1 2 3 2 i displaystyle omega frac 1 2 frac sqrt 3 2 i nbsp und der Gieseking Konstante V 0 1 014 9 displaystyle V 0 1 0149 ldots nbsp hat man ausserdem Li 2 w p 2 36 V 0 i Li 2 w 2 p 2 18 2 3 V 0 i displaystyle operatorname Li 2 omega frac pi 2 36 V 0 i qquad operatorname Li 2 omega 2 frac pi 2 18 frac 2 3 V 0 i nbsp Li 2 1 w p 2 9 2 3 V 0 1 3 ln 3 p i Li 2 1 1 w 5 p 2 72 1 8 ln 3 2 3 V 0 1 12 ln 3 p i displaystyle operatorname Li 2 1 omega frac pi 2 9 left frac 2 3 V 0 frac 1 3 ln 3 pi right i qquad operatorname Li 2 left frac 1 1 omega right frac 5 pi 2 72 frac 1 8 ln 3 left frac 2 3 V 0 frac 1 12 ln 3 pi right i nbsp Bloch Wigner Dilogarithmus Bearbeiten Werte des Bloch Wigner Dilogarithmus konnen bisher nur numerisch berechnet werden und man kennt nur wenige algebraische Relationen zwischen Werten des Bloch Wigner Dilogarithmus Eine Vermutung von John Milnor besagt fur N 3 displaystyle N geq 3 nbsp die Zahlen D 2 e 2 p i j N displaystyle D 2 e 2 pi i frac j N nbsp fur 0 lt j lt N 2 displaystyle 0 lt j lt frac N 2 nbsp und ggT j N 1 displaystyle operatorname ggT j N 1 nbsp sind linear unabhangig uber Q displaystyle mathbb Q nbsp Rogers Dilogarithmus Bearbeiten Es gibt zahlreiche algebraische Identitaten zwischen Werten von L displaystyle L nbsp in rationalen oder algebraischen Argumenten Beispiele spezieller Werte sind L 0 0 L 1 2 1 2 L 1 1 L 3 5 2 2 5 L 5 1 2 3 5 displaystyle L 0 0 quad L left frac 1 2 right frac 1 2 quad L 1 1 quad L left frac 3 sqrt 5 2 right frac 2 5 quad L left frac sqrt 5 1 2 right frac 3 5 nbsp Mit der sechsten Einheitswurzel w 1 2 3 2 i displaystyle omega frac 1 2 frac sqrt 3 2 i nbsp und der Gieseking Konstante V 0 1 0149 displaystyle V 0 1 0149 nbsp hat man R w p 2 12 V 0 i R w 2 p 2 6 2 3 V 0 1 6 ln 3 p i displaystyle R omega frac pi 2 12 V 0 i qquad R omega 2 frac pi 2 6 left frac 2 3 V 0 frac 1 6 ln 3 pi right i nbsp R 1 w 2 3 V 0 1 6 ln 3 p i R 1 1 w p 2 12 1 8 ln 3 1 8 ln 2 3 2 3 V 0 1 12 ln 3 p i displaystyle R 1 omega left frac 2 3 V 0 frac 1 6 ln 3 pi right i qquad R left frac 1 1 omega right frac pi 2 12 frac 1 8 ln 3 frac 1 8 ln 2 3 left frac 2 3 V 0 frac 1 12 ln 3 pi right i nbsp Basler Problem Bearbeiten Der Beweis des Wertes vom Dilogarithmus von Eins wird im sogenannten Basler Problem behandelt Dieser Beweis kann auf folgende Weise absolviert werden Folgende Funktion hat folgende Ableitung d d x 2 Li 2 x x 2 1 1 1 2 Li 2 x 2 1 1 x 2 1 1 arsinh x x x 2 1 displaystyle frac mathrm d mathrm d x biggl 2 operatorname Li 2 biggl frac x sqrt x 2 1 1 biggr frac 1 2 operatorname Li 2 biggl frac sqrt x 2 1 1 sqrt x 2 1 1 biggr biggr frac operatorname arsinh x x sqrt x 2 1 nbsp Deswegen gilt folgendes Integral 0 arsinh x x x 2 1 d x 2 Li 2 x x 2 1 1 1 2 Li 2 x 2 1 1 x 2 1 1 x 0 x 3 2 Li 2 1 displaystyle int 0 infty frac operatorname arsinh x x sqrt x 2 1 mathrm d x biggl 2 operatorname Li 2 biggl frac x sqrt x 2 1 1 biggr frac 1 2 operatorname Li 2 biggl frac sqrt x 2 1 1 sqrt x 2 1 1 biggr biggr x 0 x infty frac 3 2 text Li 2 1 nbsp Der Satz von Fubini liefert diesen Zusammenhang 0 arsinh x x x 2 1 d x 0 0 1 1 x 2 y 2 x 2 1 d y d x 0 1 0 1 x 2 y 2 x 2 1 d x d y 0 1 p 2 1 y 2 d y p 2 4 displaystyle int 0 infty frac operatorname arsinh x x sqrt x 2 1 mathrm d x int 0 infty int 0 1 frac 1 x 2 y 2 x 2 1 mathrm d y mathrm d x int 0 1 int 0 infty frac 1 x 2 y 2 x 2 1 mathrm d x mathrm d y int 0 1 frac pi 2 sqrt 1 y 2 mathrm d y frac pi 2 4 nbsp Durch Gleichsetzung der beiden zuletzt genannten Formeln erhalt man jenes Resultat 3 2 Li 2 1 p 2 4 displaystyle frac 3 2 text Li 2 1 frac pi 2 4 nbsp Aufgelost entsteht der genannte Wert Li 2 1 p 2 6 displaystyle text Li 2 1 frac pi 2 6 nbsp Exakt dieser Wert ist somit auch die unendliche Summe der Kehrwerte der Quadratzahlen n 1 1 n 2 p 2 6 displaystyle sum n 1 infty frac 1 n 2 frac pi 2 6 nbsp Diese Tatsache geht direkt aus der Maclaurinschen Reihe vom Dilogarithmus hervor Funktionalgleichungen BearbeitenKlassischer Dilogarithmus Bearbeiten Der klassische Dilogarithmus genugt zahlreichen Funktionalgleichungen zum Beispiel Li 2 z Li 2 z 1 2 Li 2 z 2 displaystyle operatorname Li 2 z operatorname Li 2 z frac 1 2 operatorname Li 2 z 2 nbsp Li 2 1 z Li 2 1 1 z ln 2 z 2 displaystyle operatorname Li 2 1 z operatorname Li 2 left 1 frac 1 z right frac ln 2 z 2 nbsp Li 2 z Li 2 1 z p 2 6 ln z ln 1 z displaystyle operatorname Li 2 z operatorname Li 2 1 z frac pi 2 6 ln z cdot ln 1 z nbsp Li 2 z Li 2 1 z 1 2 Li 2 1 z 2 p 2 12 ln z ln z 1 displaystyle operatorname Li 2 z operatorname Li 2 1 z frac 1 2 operatorname Li 2 1 z 2 frac pi 2 12 ln z cdot ln z 1 nbsp Li 2 z Li 2 1 z p 2 6 1 2 ln 2 z displaystyle operatorname Li 2 z operatorname Li 2 left frac 1 z right frac pi 2 6 frac 1 2 ln 2 z nbsp Li 2 z 1 4 Li 2 z 2 0 1 arcsin x z 1 x 2 d x displaystyle operatorname Li 2 z frac 1 4 operatorname Li 2 z 2 int 0 1 frac operatorname arcsin xz sqrt 1 x 2 mathrm d x nbsp Daraus folgt ebenso Li 2 1 p 2 6 displaystyle operatorname Li 2 1 frac pi 2 6 nbsp Bloch Wigner Dilogarithmus Bearbeiten Der Bloch Wigner Dilogarithmus genugt den Identitaten D 2 z D 2 1 1 z D 2 1 1 z D 2 1 z D 2 1 z D 2 z 1 z displaystyle operatorname D 2 z operatorname D 2 left 1 frac 1 z right operatorname D 2 left frac 1 1 z right operatorname D 2 left frac 1 z right operatorname D 2 1 z operatorname D 2 left frac z 1 z right nbsp und der 5 Term Relation D 2 x D 2 y D 2 1 x 1 x y D 2 1 x y D 2 1 y 1 x y 0 displaystyle operatorname D 2 x operatorname D 2 y operatorname D 2 left frac 1 x 1 xy right operatorname D 2 1 xy operatorname D 2 left frac 1 y 1 xy right 0 nbsp Rogers Dilogarithmus Bearbeiten Der Rogers Dilogarithmus erfullt die Beziehung L x L 1 x 1 displaystyle L x L 1 x 1 nbsp und Abels Funktionalgleichung L x L y L x y L x 1 y 1 x y L y 1 x 1 x y displaystyle L x L y L xy L left frac x 1 y 1 xy right L left frac y 1 x 1 xy right nbsp Fur R displaystyle R nbsp hat man R x R 1 x p 2 6 displaystyle R x R 1 x frac pi 2 6 nbsp und die 5 Term Relation R x R y R y x R 1 x 1 1 y 1 R 1 x 1 y 0 displaystyle R x R y R left frac y x right R left frac 1 x 1 1 y 1 right R left frac 1 x 1 y right 0 nbsp insbesondere ist R displaystyle R nbsp eine wohldefinierte Funktion auf der Bloch Gruppe Integration von Funktionen BearbeitenProdukten von Logarithmusfunktionen und Kehrwertfunktionen Bearbeiten Folgende Gleichung gilt fur den Fall t gt 0 v gt 0 t w u v lt 0 displaystyle t gt 0 cap v gt 0 cap tw uv lt 0 nbsp ln t x u v x w d d x 1 v ln u v t w v ln v x w 1 v Li 2 t v x w u v t w displaystyle frac ln tx u vx w frac mathrm d mathrm d x biggl frac 1 v ln biggl frac uv tw v biggr ln vx w frac 1 v operatorname Li 2 biggl t frac vx w uv tw biggr biggr nbsp Beispiel 0 5 ln x 2 3 x 4 d x 1 3 ln 2 3 ln 3 x 4 1 3 Li 2 3 2 x 2 x 0 x 5 1 3 ln 3 2 ln 19 4 1 3 Li 2 19 2 1 3 Li 2 2 displaystyle begin aligned int 0 5 frac ln x 2 3x 4 mathrm d x amp biggl frac 1 3 ln biggl frac 2 3 biggr ln 3x 4 frac 1 3 operatorname Li 2 biggl frac 3 2 x 2 biggr biggr x 0 x 5 amp frac 1 3 ln biggl frac 3 2 biggr ln biggl frac 19 4 biggr frac 1 3 operatorname Li 2 biggl frac 19 2 biggr frac 1 3 operatorname Li 2 2 end aligned nbsp Folgende Gleichung gilt fur den Fall t gt 0 v gt 0 t w u v gt 0 displaystyle t gt 0 cap v gt 0 cap tw uv gt 0 nbsp ln t x u v x w d d x 1 v ln t v x w t w u v ln t x u 1 v Li 2 v t x u t w u v displaystyle frac ln tx u vx w frac mathrm d mathrm d x biggl frac 1 v ln biggl t frac vx w tw uv biggr ln tx u frac 1 v operatorname Li 2 biggl v frac tx u tw uv biggr biggr nbsp Beispiel 0 1 ln 5 x 6 3 x 4 d x 1 3 ln 15 2 x 10 ln 5 x 6 1 3 Li 2 15 2 x 9 x 0 x 1 1 3 ln 35 2 ln 11 1 3 ln 10 ln 6 1 3 Li 2 33 2 1 3 Li 2 9 displaystyle begin aligned int 0 1 frac ln 5x 6 3x 4 mathrm d x amp biggl frac 1 3 ln biggl frac 15 2 x 10 biggr ln 5x 6 frac 1 3 operatorname Li 2 biggl frac 15 2 x 9 biggr biggr x 0 x 1 amp frac 1 3 ln biggl frac 35 2 biggr ln 11 frac 1 3 ln 10 ln 6 frac 1 3 operatorname Li 2 biggl frac 33 2 biggr frac 1 3 operatorname Li 2 9 end aligned nbsp Produkte aus Areafunktionen und algebraischen Funktionen Bearbeiten Weitere Funktionen lassen sich mit dem Dilogarithmus integrieren Areatangens Hyperbolicus Funktionen artanh x x d d x Li 2 x 1 4 Li 2 x 2 displaystyle frac operatorname artanh x x frac mathrm d mathrm d x biggl operatorname Li 2 x frac 1 4 operatorname Li 2 x 2 biggr nbsp artanh x x 1 x 2 d d x 2 Li 2 x 1 1 x 2 1 2 Li 2 1 1 x 2 1 1 x 2 displaystyle frac operatorname artanh x x sqrt 1 x 2 frac mathrm d mathrm d x biggl 2 operatorname Li 2 biggl frac x 1 sqrt 1 x 2 biggr frac 1 2 operatorname Li 2 biggl frac 1 sqrt 1 x 2 1 sqrt 1 x 2 biggr biggr nbsp artanh x x 1 x 2 d d x 1 2 Li 2 2 x x 1 1 2 artanh x 2 displaystyle frac operatorname artanh x x 1 x 2 frac mathrm d mathrm d x biggl frac 1 2 operatorname Li 2 biggl frac 2x x 1 biggr frac 1 2 operatorname artanh x 2 biggr nbsp Areasinus Hyperbolicus Funktionen arsinh x x d d x 1 2 Li 2 1 x 2 1 x 2 1 2 arsinh x 2 displaystyle frac operatorname arsinh x x frac mathrm d mathrm d x biggl frac 1 2 operatorname Li 2 bigl 1 bigl sqrt x 2 1 x bigr 2 bigr frac 1 2 operatorname arsinh x 2 biggr nbsp Deswegen gilt 0 1 2 arsinh x x d x 1 2 Li 2 1 2 5 1 2 1 2 arsinh 1 2 2 p 2 20 displaystyle int 0 1 2 frac operatorname arsinh x x mathrm d x frac 1 2 operatorname Li 2 biggl frac 1 2 sqrt 5 frac 1 2 biggr frac 1 2 operatorname arsinh biggl frac 1 2 biggr 2 frac pi 2 20 nbsp Daraus folgt k 0 1 k 2 k 16 k 2 k 1 2 k 2 p 2 10 displaystyle sum k 0 infty frac 1 k 2k 16 k 2k 1 2 k 2 frac pi 2 10 nbsp arsinh x x x 2 1 d d x 2 Li 2 x x 2 1 1 1 2 Li 2 x 2 1 1 x 2 1 1 displaystyle frac operatorname arsinh x x sqrt x 2 1 frac mathrm d mathrm d x biggl 2 operatorname Li 2 biggl frac x sqrt x 2 1 1 biggr frac 1 2 operatorname Li 2 biggl frac sqrt x 2 1 1 sqrt x 2 1 1 biggr biggr nbsp arsinh x x x 2 1 d d x Li 2 x x 2 1 1 4 Li 2 x 2 x 2 1 d d x Li 2 1 x 2 1 x 2 1 4 Li 2 1 x 2 1 x 4 displaystyle frac operatorname arsinh x x x 2 1 frac mathrm d mathrm d x biggl operatorname Li 2 biggl frac x sqrt x 2 1 biggr frac 1 4 operatorname Li 2 biggl frac x 2 x 2 1 biggr biggr frac mathrm d mathrm d x biggl operatorname Li 2 bigl 1 bigl sqrt x 2 1 x bigr 2 bigr frac 1 4 operatorname Li 2 bigl 1 bigl sqrt x 2 1 x bigr 4 bigr biggr nbsp Siehe auch BearbeitenQuantendilogarithmus Trilogarithmus Arkustangensintegral Debyesche FunktionenWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Dilogarithm In MathWorld englisch Don Zagier The dilogarithm function PDF 1 5 MB Matilde Lalin The dilogarithm Dupont Zickert A dilogarithmic formula for the Cheeger Chern Simons classEinzelnachweise Bearbeiten K2 and L functions of elliptic curves Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dilogarithmus amp oldid 231699607
