Der Quantendilogarithmus ist eine Funktion der mathematischen Physik Er ist neben dem q Exponential eine von zwei moglichen Quantisierungen des klassischen Dilogarithmus die beide durch Differenzenrelationen charakterisiert sind und im semiklassischen Limit den Dilogarithmus geben Er wurde 1899 von Barnes eingefuhrt 1 und in der zweiten Halfte des 20 Jahrhunderts unter anderem in Arbeiten von Shintani Baxter Faddeev und Kashaev verwendet Die klassische Dilogarithmus Funktion kommt in der konformen Feldtheorie und in Arbeiten uber exakt losbare Modelle vor Insbesondere konnen die effektiven zentralen Ladungen gewisser konformen Feldtheorien als endliche Summen von Dilogarithmen ausgedruckt werden Quantendilogarithmen werden dagegen bei der Untersuchung integrabler Quantenfeldtheorien auf Gittern verwendet Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Literatur 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEs sei ℏ gt 0 displaystyle hbar gt 0 nbsp Der Quantendilogarithmus F ℏ C C displaystyle Phi hbar colon mathbb C to mathbb C nbsp ist definiert durch F ℏ z exp 1 4 C e i x z sinh p x sinh p ℏ x d x x displaystyle Phi hbar z exp left frac 1 4 int C frac e ixz sinh pi x sinh pi hbar x frac dx x right nbsp wobei C C displaystyle C subset mathbb C nbsp eine entlang der reellen Achse von displaystyle infty nbsp nach displaystyle infty nbsp verlaufende und den Nullpunkt von oben umlaufende Kurve ist zum Beispiel C 1 e i t p t 0 1 displaystyle C left infty 1 right cup left e it colon pi geq t geq 0 right cup left 1 infty right nbsp Fur jede Kurve mit diesen Eigenschaften ergibt Integration dieses Integranden uber die Kurve denselben Wert Eigenschaften Bearbeiten2 p i ℏ d log F ℏ z ϕ ℏ z d z displaystyle 2 pi i hbar d log Phi hbar z phi hbar z dz nbsp Hier bezeichnet ϕ ℏ z displaystyle phi hbar z nbsp den Quantenlogarithmus lim x F ℏ x i y 1 y R displaystyle lim x rightarrow infty Phi hbar x iy 1 forall y in mathbb R nbsp lim h 0 F ℏ z exp L i 2 e z 2 p ℏ 1 displaystyle lim h rightarrow 0 frac Phi hbar z exp frac Li 2 e z 2 pi hbar 1 nbsp Hier bezeichnet L i 2 displaystyle Li 2 nbsp den klassischen Dilogarithmus F ℏ z F ℏ z exp z 2 4 p i ℏ e p i 12 ℏ ℏ 1 displaystyle Phi hbar z Phi hbar z exp left frac z 2 4 pi i hbar right e frac pi i 12 hbar hbar 1 nbsp F ℏ z F ℏ z 1 displaystyle overline Phi hbar z Phi hbar overline z 1 nbsp insbesondere F ℏ z 1 z R displaystyle mid Phi hbar z mid 1 forall z in mathbb R nbsp F ℏ z F 1 ℏ z ℏ displaystyle Phi hbar z Phi frac 1 hbar left frac z hbar right nbsp F ℏ z 2 p i ℏ F ℏ z 1 e p i h z displaystyle Phi hbar z 2 pi i hbar Phi hbar z 1 e pi ih z nbsp F ℏ z 2 p i F ℏ z 1 e p i z ℏ displaystyle Phi hbar z 2 pi i Phi hbar z 1 e frac pi i z hbar nbsp F 1 z e p 2 6 L i 2 1 e z 2 p i displaystyle Phi 1 z e frac pi 2 6 Li 2 1 e z 2 pi i nbsp F ℏ z F ℏ 1 z p i F ℏ ℏ 1 z p ℏ i F ℏ 1 z p i F ℏ ℏ 1 z p ℏ i displaystyle Phi hbar z Phi hbar 1 z pi i Phi frac hbar hbar 1 z pi hbar i Phi hbar 1 z pi i Phi frac hbar hbar 1 z pi hbar i nbsp P l r r P m s s F ℏ z 2 p i 2 r 1 l 2 p i ℏ 2 s 1 m F 2 r 1 2 s 1 ℏ 2 r 1 z displaystyle Pi l r r Pi m s s Phi hbar left z frac 2 pi i 2r 1 l frac 2 pi i hbar 2s 1 m right Phi frac 2r 1 2s 1 hbar 2r 1 z nbsp Die 1 Form F ℏ z d z displaystyle Phi hbar z dz nbsp ist meromorph sie hat einfache Polstellen in den Punkten 2 n 1 ℏ p i 2 m 1 p i displaystyle 2n 1 hbar pi i 2m 1 pi i nbsp mit n m N displaystyle n m in mathbb N nbsp und Nullstellen in den Punkten 2 n 1 ℏ p i 2 m 1 p i displaystyle 2n 1 hbar pi i 2m 1 pi i nbsp mit n m N displaystyle n m in mathbb N nbsp Literatur BearbeitenL Faddeev R Kashaev Quantum dilogarithm Mod Phys Lett A 9 No 5 427 434 1994 V V Fock A B Goncharov The quantum dilogarithm and representations of quantum cluster varieties Invent Math 175 2009 no 2 223 286 Kapitel 4 2 Weblinks Bearbeitenquantum dilogarithm nLab Einzelnachweise Bearbeiten E W Barnes The genesis of the double gamma function Proc London Math Soc 31 358 381 1899 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Quantendilogarithmus amp oldid 228929560
