Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist die Bloch Gruppe ein Ansatz zur expliziten Beschreibung der 3 algebraischen K Theorie von Korpern Sie ist auch von Bedeutung bei der Untersuchung von Dilogarithmen bei der Formalisierung des 3 Hilbertschen Problems und in der Topologie 3 dimensionaler hyperbolischer Mannigfaltigkeiten Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Geometrische Interpretation 3 Bloch Wigner Folge 4 Bloch Gruppe und Bloch Wigner Dilogarithmus 5 Algebraische Eigenschaften 6 Anwendungen 6 1 Bloch Gruppe und Homologie der linearen Gruppe 6 2 Bloch Gruppe und K Theorie 6 3 Bloch Gruppe und hyperbolische Geometrie 6 4 Bloch Gruppe und sekundare charakteristische Klassen 7 Literatur 8 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEs sei K displaystyle K nbsp ein Korper und Z K 0 1 displaystyle mathbb Z left K setminus left 0 1 right right nbsp die von K 0 1 displaystyle K setminus left 0 1 right nbsp formal erzeugte freie abelsche Gruppe Wir bezeichnen mit x displaystyle left x right nbsp das x K 0 1 displaystyle x in K setminus left 0 1 right nbsp entsprechende Element von Z K 0 1 displaystyle mathbb Z left K setminus left 0 1 right right nbsp Die Pra Bloch Gruppe p K displaystyle mathfrak p K nbsp ist als Quotient von Z K 0 1 displaystyle mathbb Z left K setminus left 0 1 right right nbsp modulo der von allen 5 Term Relationen x y y x 1 x 1 1 y 1 1 x 1 y x y K 0 1 displaystyle left x right left y right left frac y x right left frac 1 x 1 1 y 1 right left frac 1 x 1 y right quad x y in K setminus left 0 1 right nbsp erzeugten Untergruppe definiert Ein Homomorphismus ϕ Z K 0 1 K Z K displaystyle phi colon mathbb Z left K setminus left 0 1 right right to K otimes mathbb Z K nbsp wird definiert durch ϕ i l i z i i l i z i 1 z i displaystyle phi left sum i lambda i z i right sum i lambda i z i otimes 1 z i nbsp fur l i Z z i K 0 1 displaystyle lambda i in mathbb Z z i in K setminus left 0 1 right nbsp Man rechnet nach dass ϕ displaystyle phi nbsp einen wohldefinierten Homomorphismus D p K K K x y y x x y K displaystyle D colon mathfrak p K to K otimes K langle x otimes y y otimes x colon x y in K rangle nbsp induziert Dieser Homomorphismus wird wegen des Zusammenhangs zu Hilberts 3 Problem als Dehn Invariante bezeichnet Die Bloch Gruppe B K p K displaystyle operatorname B K subset mathfrak p K nbsp ist als Kern von D displaystyle D nbsp definiert Aus der Definition der Bloch Gruppe und dem Satz von Matsumoto folgt dass die Blochgruppe Teil einer exakten Sequenz 0 B K p K D 2 K K 2 K 0 displaystyle 0 longrightarrow operatorname B K longrightarrow mathfrak p K stackrel D longrightarrow wedge 2 K longrightarrow operatorname K 2 K longrightarrow 0 nbsp ist Diese Sequenz wird als Bloch Suslin Komplex bezeichnet und gelegentlich auch als Definition der Bloch Gruppe verwendet Geometrische Interpretation BearbeitenEs sei P 1 K displaystyle P 1 K nbsp die projektive Gerade uber dem Korper K displaystyle K nbsp und C P 1 K d displaystyle C P 1 K d nbsp der Kettenkomplex dessen i displaystyle i nbsp te Gruppe C i P 1 K displaystyle C i P 1 K nbsp die von den i 1 displaystyle i 1 nbsp Tupeln x 0 x i displaystyle x 0 ldots x i nbsp paarweise verschiedener Punkte x k P 1 K displaystyle x k in P 1 K nbsp formal erzeugte freie abelsche Gruppe und dessen Differential d i C i P 1 K C i 1 P 1 K displaystyle d i colon C i P 1 K to C i 1 P 1 K nbsp durch die Formel d i x 0 x i k 0 i 1 k x 0 x k 1 x k 1 x i displaystyle d i x 0 ldots x i sum k 0 i 1 k x 0 ldots x k 1 x k 1 ldots x i nbsp gegeben ist Dann ist 1 p K H 3 C P 1 K Z G Z d i d displaystyle mathfrak p K H 3 C P 1 K otimes mathbb Z G mathbb Z d otimes id nbsp fur die Wirkung von G P G L 2 K displaystyle G PGL 2 K nbsp auf P 1 K displaystyle P 1 K nbsp Insbesondere hat man einen kanonischen Homomorphismus H 3 P G L 2 K p K displaystyle H 3 PGL 2 K to mathfrak p K nbsp der von der durch g g displaystyle g to g infty nbsp gegebenen Abbildung P G L 2 K P 1 K displaystyle PGL 2 K to P 1 K nbsp induziert wird Die Wahl von P 1 K displaystyle infty in P 1 K nbsp als Basispunkt ist willkurlich Wahl eines anderen Basispunktes wurde ebenfalls einen Homomorphismus induzieren Das Bild dieses Homomorphismus liegt sogar in B K displaystyle B K nbsp Unter dem Isomorphismus H 3 C P 1 K Z G Z d i d p K displaystyle H 3 C P 1 K otimes mathbb Z G mathbb Z d otimes id to mathfrak p K nbsp entspricht ein 4 Tupel von Elementen aus P 1 K displaystyle P 1 K nbsp seinem Doppelverhaltnis Entsprechend bildet also der Homomorphismus H 3 P G L 2 K p K displaystyle H 3 PGL 2 K to mathfrak p K nbsp ein 4 Tupel g 0 g 1 g 2 g 3 displaystyle g 0 g 1 g 2 g 3 nbsp auf das Doppelverhaltnis der 4 Punkte g 0 g 1 g 2 g 3 displaystyle g 0 infty g 1 infty g 2 infty g 3 infty nbsp ab Bloch Wigner Folge BearbeitenFur algebraisch abgeschlossene Korper K displaystyle K nbsp gibt es eine exakte Sequenz 0 m K H 3 S L 2 K p K 2 K m K H 2 S L 2 K 0 displaystyle 0 longrightarrow mu K longrightarrow H 3 SL 2 K longrightarrow mathfrak p K longrightarrow wedge 2 K mu K longrightarrow H 2 SL 2 K longrightarrow 0 nbsp wobei m K displaystyle mu K nbsp die Einheitswurzeln in K displaystyle K nbsp bezeichnet 2 Eine unmittelbare Konsequenz ist die exakte Sequenz 0 m K H 3 S L 2 K B K 0 displaystyle 0 longrightarrow mu K longrightarrow H 3 SL 2 K longrightarrow B K longrightarrow 0 nbsp Fur K C displaystyle K mathbb C nbsp erhalt man die exakte Sequenz 0 Q Z H 3 S L 2 C B C 0 displaystyle 0 longrightarrow mathbb Q mathbb Z longrightarrow H 3 SL 2 mathbb C longrightarrow B mathbb C longrightarrow 0 nbsp Um den Q Z displaystyle mathbb Q mathbb Z nbsp Summanden zu integrieren definierte W Neumann fur K C displaystyle K mathbb C nbsp die erweiterte Bloch Gruppe B C displaystyle widehat B mathbb C nbsp Diese ist isomorph zu H 3 S L 2 C displaystyle H 3 SL 2 mathbb C nbsp Bloch Gruppe und Bloch Wigner Dilogarithmus BearbeitenDer fur z C 0 1 displaystyle z in mathbb C setminus left 0 1 right nbsp definierte Bloch Wigner Dilogarithmus D 2 z Im Li 2 z arg 1 z log z displaystyle operatorname D 2 z operatorname Im operatorname Li 2 z arg 1 z log z nbsp erfullt die Funktionalgleichung D 2 x D 2 y D 2 1 x 1 x y D 2 1 x y D 2 1 y 1 x y 0 displaystyle operatorname D 2 x operatorname D 2 y operatorname D 2 left frac 1 x 1 xy right operatorname D 2 1 xy operatorname D 2 left frac 1 y 1 xy right 0 nbsp und definiert deshalb eine wohldefinierte Abbildung D 2 z B C C displaystyle operatorname D 2 z colon mathcal B mathbb C to mathbb C nbsp Der Bloch Wigner Dilogarithmus ist die einzige messbare Abbildung F C 0 1 R displaystyle F colon mathbb C setminus left 0 1 right to mathbb R nbsp die die Funktionalgleichung F x F y F y x F 1 x 1 1 y 1 F 1 x 1 y displaystyle F x F y F left frac y x right F left frac 1 x 1 1 y 1 right F left frac 1 x 1 y right nbsp fur alle x y C 0 1 displaystyle x y in mathbb C setminus left 0 1 right nbsp erfullt Man kann die Definition der Bloch Gruppe also auch interpretieren als die minimale Gruppe auf der der Bloch Wigner Dilogarithmus wohldefiniert ist Verallgemeinerungen dieses Ansatzes fur hohere Polylogarithmen fuhren zu Definitionen hoherer Bloch Gruppen Algebraische Eigenschaften BearbeitenWenn K displaystyle K nbsp unendlich ist dann hangt das Element z 1 z B K displaystyle z 1 z in operatorname B K nbsp nicht von z K 0 1 displaystyle z in K setminus left 0 1 right nbsp ab Es wird mit c K displaystyle c K nbsp bezeichnet und erfullt die Relation 6 c K 0 B K displaystyle 6c K 0 in operatorname B K nbsp 3 Wenn K displaystyle K nbsp algebraisch abgeschlossen ist dann ist B K displaystyle operatorname B K nbsp eine teilbare Gruppe Weiterhin gelten dann fur z K 0 1 displaystyle z in K setminus left 0 1 right nbsp die Relationen z 1 z 0 displaystyle left z right left 1 z right 0 nbsp z 1 z 0 displaystyle left z right left frac 1 z right 0 nbsp und man kann Symbole 0 1 0 displaystyle left 0 right left 1 right left infty right 0 nbsp einfuhren mit denen alle 5 Term Relationen Gultigkeit behalten Insbesondere gilt c K 0 displaystyle c K 0 nbsp fur algebraisch abgeschlossene unendliche Korper Aus den obigen Relationen folgt dann z 1 1 z 1 1 z displaystyle left z right left 1 frac 1 z right left frac 1 1 z right nbsp fur alle z Anwendungen BearbeitenBloch Gruppe und Homologie der linearen Gruppe Bearbeiten Anwendung des durch die Wirkung von G L 2 K displaystyle GL 2 K nbsp auf der projektiven Geraden P 1 K displaystyle P 1 K nbsp definierten kanonischen Homomorphismus C G L 2 K C P 1 K displaystyle C GL 2 K to C P 1 K nbsp siehe die geometrische Interpretation oben liefert einen Isomorphismus 4 H 3 G L 2 K H 3 G M 2 K B K displaystyle H 3 GL 2 K H 3 GM 2 K cong B K nbsp wobei G M 2 K G L 2 K displaystyle GM 2 K subset GL 2 K nbsp die die Gruppe der monomialen Matrizen bezeichnet Fur grossere n displaystyle n nbsp erhalt man einen Isomorphismus 5 H 3 G L n K H 3 G M n K B K 2 c K displaystyle H 3 GL n K H 3 GM n K cong B K 2c K nbsp fur das oben definierte Element c K x 1 x B K displaystyle c K left x right left 1 x right in B K nbsp der Ordnung maximal 6 Eine explizite Realisierung von H 3 S L 2 C displaystyle H 3 SL 2 mathbb C nbsp liefert die von Neumann definierte erweiterte Bloch Gruppe B C displaystyle widehat operatorname B mathbb C nbsp Bloch Gruppe und K Theorie Bearbeiten Dieselbe Abbildung induziert einen Isomorphismus coker p 3 BGM K K 3 K B K 2 c K displaystyle operatorname coker pi 3 operatorname BGM K rightarrow operatorname K 3 K cong operatorname B K 2c K nbsp wobei B G M K displaystyle BGM K nbsp die Anwendung der Plus Konstruktion auf den klassifizierenden Raum B G M K displaystyle BGM K nbsp bezeichnet Bezeichne K 3 M displaystyle K 3 M nbsp die Milnorsche K Theorie dann hat man nach Suslin eine exakte Sequenz 0 Tor K K K 3 K i n d B K 0 displaystyle 0 rightarrow operatorname Tor K K sim rightarrow operatorname K 3 K ind rightarrow operatorname B K rightarrow 0 nbsp mit K3 K ind coker K3M K K3 K und Tor K K die eindeutige nichttriviale Erweiterung von Tor K K mit Z 2 oder aquivalent 0 m K K 3 K i n d B K 0 displaystyle 0 rightarrow widetilde mu K rightarrow operatorname K 3 K ind rightarrow operatorname B K rightarrow 0 nbsp wobei m K displaystyle mu K nbsp die Gruppe der Einheitswurzeln von K und m K displaystyle widetilde mu K nbsp die nichttriviale Erweiterung von m K displaystyle mu K nbsp mit Z 2 Z displaystyle mathbb Z 2 mathbb Z nbsp bzw in Charakteristik 2 m K m K displaystyle widetilde mu K mu K nbsp bezeichnet Bloch Gruppe und hyperbolische Geometrie Bearbeiten Fur K C displaystyle K mathbb C nbsp ist C 3 P 1 C displaystyle C 3 P 1 mathbb C nbsp die von den nicht ausgearteten idealen hyperbolischen Simplizes frei erzeugte abelsche Gruppe Das einem Simplex unter dem Isomorphismus H 3 C P 1 C Z G Z p C displaystyle H 3 C P 1 mathbb C otimes mathbb Z G mathbb Z cong mathfrak p mathbb C nbsp entsprechende Element z displaystyle z nbsp ist das Doppelverhaltnis der 4 Ecken der Bloch Wigner Dilogarithmus D 2 z displaystyle D 2 z nbsp gibt das Volumen des idealen Simplexes Man kann dies verwenden zur Definition einer Invariante hyperbolischer 3 Mannigfaltigkeiten Sei M displaystyle M nbsp eine hyperbolische 3 Mannigfaltigkeit mit einer idealen Triangulierung und seien z 1 z r displaystyle z 1 ldots z r nbsp die Doppelverhaltnisse der Simplizes dann ist z 1 z r displaystyle left z 1 right ldots left z r right nbsp ein Element von B C displaystyle B mathbb C nbsp die Dehn Invariante ist Null und definiert eine Invariante der Mannigfaltigkeit aus der man unter anderem durch Anwendung des Bloch Wigner Dilogarithmus das hyperbolische Volumen der Mannigfaltigkeit berechnen kann Bloch Gruppe und sekundare charakteristische Klassen Bearbeiten Mittels der Bloch Gruppe und des Rogers Dilogarithmus kann man explizite Formeln fur die sekundaren charakteristische Klassen p 1 displaystyle hat p 1 nbsp und c 2 displaystyle hat c 2 nbsp angeben wobei man fur den Realteil von c 2 displaystyle hat c 2 nbsp den erweiterten Rogers Dilogarithmus und die erweiterte Bloch Gruppe benotigt Literatur BearbeitenSpencer Bloch Higher regulators algebraic K theory and zeta functions of elliptic curves CRM Monograph Series 11 American Mathematical Society Providence RI 2000 ISBN 0 8218 2114 8 Johan Dupont Chi Han Sah Scissors congruences II J Pure Appl Algebra 25 1982 no 2 159 195 Andrei Suslin K3 of a field and the Bloch group Russisch ins Englische ubersetzt in Proc Steklov Inst Math 1991 no 4 217 239 Galois theory rings algebraic groups and their applications russisch Trudy Mat Inst Steklov 183 1990 180 199 229 Johan Dupont Scissors congruences group homology and characteristic classes Nankai Tracts in Mathematics 1 World Scientific Publishing Co Inc River Edge NJ 2001 ISBN 981 02 4507 6 981 02 4508 4Einzelnachweise Bearbeiten Suslin op cit Lemma 2 2 Die Folge ist eine Umformulierung eines unveroffentlichten Resultats von Bloch und Wigner ein Beweis findet sich in Dupont Sah op cit siehe auch Dupont op cit Theorem 8 19 Suslin op cit Lemma 1 3 Suslin op cit Theorem 2 1 Suslin op cit Theorem 4 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bloch Gruppe amp oldid 232690176
