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Dehn Invariante In der Mathematik ist die eine Invariante von Polyedern Zwei dreidimensionale Polyeder sind genau dann z

Dehn-Invariante

In der Mathematik ist die Dehn-Invariante eine Invariante von Polyedern. Zwei dreidimensionale Polyeder sind genau dann zerlegungsgleich (d. h. lassen sich in kongruente Stücke zerlegen), wenn Volumen und Dehn-Invariante übereinstimmen.

Definition Bearbeiten

Sei ein -dimensionales Polyeder mit Kanten . Für eine Kante bezeichne ihre Länge und ihren Diederwinkel. Dann ist die Dehn-Invariante des Polyeders definiert als

Beispiele Bearbeiten

  • Für einen Würfel der Kantenlänge ist
wegen .
  • Für ein regelmäßiges Tetraeder mit Kantenlänge sind die diedrischen Winkel keine rationalen Vielfachen von , deshalb ist

Geschichte Bearbeiten

Nach dem Satz von Bolyai-Gerwien sind -dimensionale Polygone zerlegungsgleich, wenn sie denselben Flächeninhalt haben. Hilberts drittes Problem fragte, ob -dimensionale Polyeder zerlegungsgleich sind, wenn sie dasselbe Volumen haben. Max Dehn widerlegte dies 1900, indem er zeigte, dass ein regelmäßiges Tetraeder nicht zerlegungsgleich zum volumengleichen Würfel ist. Er unterschied die beiden Körper durch eine Invariante, die in moderner Terminologie (unter Verwendung des Tensorprodukts) der Dehn-Invariante entspricht. Jean-Pierre Sydler bewies 1965, dass -dimensionale Polyeder genau dann zerlegungsgleich sind, wenn Volumen und Dehn-Invariante übereinstimmen.

Literatur Bearbeiten

  • Walter David Neumann: Hilbert’s 3rd problem and invariants of 3-manifolds. In: Igor Rivin et al. (Hrsg.): The Epstein Birthday Schrift dedicated to David Epstein on the occasion of his 60th birthday. In: Geom. Topol. Monogr. 1, 1998, S. 383–411 (University of Warwick, Institute of Mathematics).
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Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik ist die Dehn Invariante eine Invariante von Polyedern Zwei dreidimensionale Polyeder sind genau dann zerlegungsgleich d h lassen sich in kongruente Stucke zerlegen wenn Volumen und Dehn Invariante ubereinstimmen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Geschichte 4 LiteraturDefinition BearbeitenSei P displaystyle P nbsp ein 3 displaystyle 3 nbsp dimensionales Polyeder mit Kanten E 1 E n displaystyle E 1 ldots E n nbsp Fur eine Kante E displaystyle E nbsp bezeichne l E displaystyle l E nbsp ihre Lange und 8 E displaystyle theta E nbsp ihren Diederwinkel Dann ist die Dehn Invariante des Polyeders definiert als D P i 1 n l E i 8 E i R R p Q displaystyle D P sum i 1 n l E i otimes theta E i in mathbb R otimes mathbb R pi mathbb Q nbsp Beispiele BearbeitenFur einen Wurfel W displaystyle W nbsp der Kantenlange a displaystyle a nbsp istD W i 1 6 a p 2 0 displaystyle D W sum i 1 6 a otimes frac pi 2 0 nbsp dd wegen p 2 0 R p Q displaystyle tfrac pi 2 0 in mathbb R pi mathbb Q nbsp Fur ein regelmassiges Tetraeder T displaystyle T nbsp mit Kantenlange a displaystyle a nbsp sind die diedrischen Winkel 8 displaystyle theta nbsp keine rationalen Vielfachen von p displaystyle pi nbsp deshalb istD T i 1 6 a 8 6 a 8 0 displaystyle D T sum i 1 6 a otimes theta 6a otimes theta not 0 nbsp dd Geschichte BearbeitenNach dem Satz von Bolyai Gerwien sind 2 displaystyle 2 nbsp dimensionale Polygone zerlegungsgleich wenn sie denselben Flacheninhalt haben Hilberts drittes Problem fragte ob 3 displaystyle 3 nbsp dimensionale Polyeder zerlegungsgleich sind wenn sie dasselbe Volumen haben Max Dehn widerlegte dies 1900 indem er zeigte dass ein regelmassiges Tetraeder nicht zerlegungsgleich zum volumengleichen Wurfel ist Er unterschied die beiden Korper durch eine Invariante die in moderner Terminologie unter Verwendung des Tensorprodukts der Dehn Invariante entspricht Jean Pierre Sydler bewies 1965 dass 3 displaystyle 3 nbsp dimensionale Polyeder genau dann zerlegungsgleich sind wenn Volumen und Dehn Invariante ubereinstimmen Literatur BearbeitenWalter David Neumann Hilbert s 3rd problem and invariants of 3 manifolds In Igor Rivin et al Hrsg The Epstein Birthday Schrift dedicated to David Epstein on the occasion of his 60th birthday In Geom Topol Monogr 1 1998 S 383 411 University of Warwick Institute of Mathematics Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dehn Invariante amp oldid 227995685