Im mathematischen Gebiet der Differentialtopologie sind sekundare charakteristische Klassen wie die Cheeger Chern Simons Klassen Invarianten flacher Bundel Bekanntlich konnen verschiedene charakteristische Klassen c H k B Z displaystyle c in H k B mathbb Z von G displaystyle G Prinzipalbundeln E B displaystyle E to B mittels der Chern Weil Konstruktion durch invariante Polynome P I k G displaystyle P in I k G realisiert werden d h es gibt ein invariantes Polynom P displaystyle P so dass P W c R displaystyle left P Omega right c mathbb R fur jedes G displaystyle G Prinzipalbundel mit Zusammenhangsform w displaystyle omega wobei W W 2 B displaystyle Omega in Omega 2 B die Krummungsform des Zusammenhangs w displaystyle omega P W displaystyle left P Omega right die De Rham Kohomologieklasse von P W W 2 k B displaystyle P Omega in Omega 2k B und c R displaystyle c mathbb R das Bild der charakteristischen Klasse c displaystyle c unter dem kanonischen Homomorphismus H k B Z H k B R displaystyle H k B mathbb Z to H k B mathbb R bezeichnet Fur flache Bundel ist W 0 displaystyle Omega 0 und demzufolge verschwinden alle uber die Chern Weil Konstruktion definierten charakteristischen Klassen insbesondere Chern Klassen und Pontrjagin Klassen Die Cheeger Chern Simons Konstruktion definiert nun zu jeder solchen charakteristischen Klasse genauer zu jedem invarianten Polynom P I k G displaystyle P in I k G und jeder Kohomologieklasse c H 2 k B displaystyle c in H 2k B mit P W c R displaystyle left P Omega right c mathbb R einen Differentialcharakter c H k B R Z displaystyle hat c in widehat H k B mathbb R mathbb Z Die Kohomologiegruppe H k B R Z displaystyle H k B mathbb R mathbb Z ist eine Untergruppe von H k B R Z displaystyle widehat H k B mathbb R mathbb Z und im Fall flacher Bundel liegt c displaystyle hat c in dieser Untergruppe Die so definierte Kohomologieklasse c H k B R Z displaystyle hat c in H k B mathbb R mathbb Z heisst die zur primaren charakteristischen Klasse c displaystyle c assoziierte sekundare charakteristische Klasse Anwendung des Bockstein Homomorphismus H 2 k 1 B R Z H 2 k B Z displaystyle H 2k 1 B mathbb R mathbb Z to H 2k B mathbb Z bildet die sekundare charakteristische Klasse c displaystyle hat c auf die charakteristische Klasse c displaystyle c ab deren Bild in H 2 k B R displaystyle H 2k B mathbb R verschwindet Inhaltsverzeichnis 1 Existenz und Eindeutigkeit 2 Cheeger Chern Simons Klassen 3 Literatur 4 WeblinksExistenz und Eindeutigkeit BearbeitenGegeben seien eine Lie Gruppe G displaystyle G nbsp ein invariantes Polynom P I k G displaystyle P in I k G nbsp und eine Kohomologieklasse u H 2 k B G displaystyle u in H 2k BG nbsp mit w k P u R displaystyle w k P u mathbb R nbsp Wir bezeichnen mit d H 2 k 1 B R Z A 0 2 k B displaystyle delta colon widehat H 2k 1 B mathbb R mathbb Z to A 0 2k B nbsp die Korand Abbildung und mit b H 2 k 1 B R Z H 2 k B Z displaystyle b colon widehat H 2k 1 B mathbb R mathbb Z to H 2k B mathbb Z nbsp den Bockstein Homomorphismus Satz Fur jedes G displaystyle G nbsp Prinzipalbundel p E B displaystyle p colon E to B nbsp mit Zusammenhangsform w displaystyle omega nbsp gibt es einen eindeutigen Differentialcharakter S P u p w H 2 k 1 B R Z displaystyle S P u p omega in widehat H 2k 1 B mathbb R mathbb Z nbsp mit d S P u p w P W displaystyle delta S P u p omega P Omega nbsp b S P u p w f u displaystyle bS P u p omega f u nbsp so dass S P u p w H 2 k 1 B R Z displaystyle S P u p omega in widehat H 2k 1 B mathbb R mathbb Z nbsp unter Bundelabbildungen naturlich transformiert Cheeger Chern Simons Klassen BearbeitenEin Spezialfall ist die Konstruktion von Cheeger Chern Simons Klassen Die Chern Polynome C k I k G L n C displaystyle C k in I k GL n mathbb C nbsp seien definiert durch die Relation det l i d n 1 2 p i A k 0 n C k A A l n k displaystyle det lambda mathrm id n frac 1 2 pi i A sum k 0 n C k A ldots A lambda n k nbsp fur alle A G L n C displaystyle A in GL n mathbb C nbsp Der universelle Chern Weil Homomorphismus w k I k G H 2 k B G R displaystyle w k colon I k G to H 2k BG mathbb R nbsp bildet invariante Polynome auf Kohomologieklassen des klassifizierenden Raumes B G displaystyle BG nbsp ab Im Fall der Chern Polynome gibt es die universellen Chern Klassen c k H 2 k B G L n C Z displaystyle c k in H 2k BGL n mathbb C mathbb Z nbsp und fur diese gilt w k C k c k R displaystyle w k C k c k mathbb R nbsp Fur ein G L n C displaystyle GL n mathbb C nbsp Prinzipalbundel p E B displaystyle p colon E to B nbsp gibt es nun eine klassifizierende Abbildung f B B G L n C displaystyle f colon B to BGL n mathbb C nbsp und die Chern Klasse von p E B displaystyle p colon E to B nbsp ist f c k H 2 k B Z displaystyle f c k in H 2k B mathbb Z nbsp Fur eine Zusammenhangsform w displaystyle omega nbsp definiert man nun c k p w S C k c k p w H 2 k 1 B C Z displaystyle hat c k p omega S C k c k p omega in widehat H 2k 1 B mathbb C mathbb Z nbsp Im Fall flacher Bundel p E B displaystyle p colon E to B nbsp erhalt man die Cheeger Chern Simons Klassen c k p H 2 k 1 B C Z displaystyle hat c k p in H 2k 1 B mathbb C mathbb Z nbsp Falls B displaystyle B nbsp eine 2 k 1 displaystyle 2k 1 nbsp dimensionale geschlossene orientierbare Mannigfaltigkeit ist erhalt man die Cheeger Chern Simons Invariante C C S p c k p M C Z displaystyle CCS p langle hat c k p left M right rangle in mathbb C mathbb Z nbsp des flachen Bundels p E B displaystyle p colon E to B nbsp durch Anwenden der Cheeger Chern Simons Klasse auf die Fundamentalklasse M H 2 k 1 M Z displaystyle left M right in H 2k 1 M mathbb Z nbsp Literatur BearbeitenCheeger Simons Differential characters and geometric invariants Geometry and topology College Park Md 1983 84 50 80 Lecture Notes in Math 1167 Springer Berlin 1985 pdf Dupont Hain Zucker Regulators and characteristic classes of flat bundles The arithmetic and geometry of algebraic cycles Banff AB 1998 47 92 CRM Proc Lecture Notes 24 Amer Math Soc Providence RI 2000 Weblinks BearbeitenKapitel 3 2 in Bucher Characteristic classes and bounded cohomology Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Sekundare charakteristische Klasse amp oldid 209059236
