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Chern Weil Theorie In der Mathematik ist die ein allgemeines Verfahren wie man die charakteristischen Klassen eines Prin

Chern-Weil-Theorie

In der Mathematik ist die Chern-Weil-Theorie ein allgemeines Verfahren, wie man die charakteristischen Klassen eines Prinzipalbündels aus seiner Krümmung berechnen kann. (Charakteristische Klassen sind Kohomologieklassen, die topologisch messen, wie getwistet ein Bündel ist.) Historisch entstand sie beim Beweis der höherdimensionalen Version des Satzes von Gauß-Bonnet, sie markierte den Beginn der “globalen Differentialgeometrie”, also der Wechselwirkung von Geometrie und Topologie. Die Theorie ist nach André Weil und S. S. Chern benannt.

Definition Bearbeiten

Sei ein Prinzipalbündel mit Strukturgruppe , sei die Lie-Algebra von . Chern-Weil-Theorie definiert einen Homomorphismus

vom Raum der -invarianten Polynome auf in die deRham-Kohomologie, den sogenannten Chern-Weil-Homomorphismus.

Jedem invarianten Polynom wird die -Form

zugeordnet, wobei die Krümmungsform eines Zusammenhangs des Prinzipalbündels ist. Das heißt, für ist

ist eine geschlossene Form und ist dann per Definition die Kohomologieklasse dieser -Form. Man kann zeigen, dass nicht vom gewählten Zusammenhang abhängt.

Beispiele Bearbeiten

  • Sei . Dann hat die Krümmungsform Werte in . Die Entwicklung
definiert invariante Polynome
zum Beispiel ist und . Die Kohomologieklassen sind die Chern-Klassen.

Universeller Chern-Weil-Homomorphismus Bearbeiten

Sei eine Lie-Gruppe und ihr klassifizierender Raum. ist keine Mannigfaltigkeit, trotzdem lässt sich für das universelle -Bündel ein Chern-Weil-Homomorphismus definieren.

Wenn ein -Prinzipalbündel und seine klassifizierende Abbildung ist, dann ist .

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Appendix C: Connections, Curvature, and Characteristic Classes in: Milnor, John W.; Stasheff, James D.: Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974. vii+331 pp.
  • Chapter 5 in: Candel, Alberto; Conlon, Lawrence: Foliations. II. Graduate Studies in Mathematics, 60. American Mathematical Society, Providence, RI, 2003. xiv+545 pp. ISBN 0-8218-0881-8
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In der Mathematik ist die Chern Weil Theorie ein allgemeines Verfahren wie man die charakteristischen Klassen eines Prinzipalbundels aus seiner Krummung berechnen kann Charakteristische Klassen sind Kohomologieklassen die topologisch messen wie getwistet ein Bundel ist Historisch entstand sie beim Beweis der hoherdimensionalen Version des Satzes von Gauss Bonnet sie markierte den Beginn der globalen Differentialgeometrie also der Wechselwirkung von Geometrie und Topologie Die Theorie ist nach Andre Weil und S S Chern benannt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Universeller Chern Weil Homomorphismus 4 Siehe auch 5 LiteraturDefinition BearbeitenSei p P M displaystyle pi P rightarrow M nbsp ein Prinzipalbundel mit Strukturgruppe G displaystyle G nbsp sei g displaystyle mathfrak g nbsp die Lie Algebra von G displaystyle G nbsp Chern Weil Theorie definiert einen Homomorphismus ϕ I g H d R M displaystyle phi I mathfrak g rightarrow H dR M nbsp vom Raum der A d G displaystyle Ad G nbsp invarianten Polynome auf g displaystyle mathfrak g nbsp in die deRham Kohomologie den sogenannten Chern Weil Homomorphismus Jedem invarianten Polynom f I k g displaystyle f in I k mathfrak g nbsp wird die 2 k displaystyle 2k nbsp Form f W W W 2 k M displaystyle f Omega ldots Omega in Omega 2k M nbsp zugeordnet wobei W W 2 M displaystyle Omega in Omega 2 M nbsp die Krummungsform eines Zusammenhangs des Prinzipalbundels ist Das heisst fur X 1 X 2 k T p P displaystyle X 1 ldots X 2k in T p P nbsp ist f W X 1 X 2 k 1 2 k s S 2 k sign s f W X s 1 X s 2 W X s 2 k 1 X s 2 k displaystyle f Omega X 1 dots X 2k frac 1 2k sum sigma in mathfrak S 2k operatorname sign sigma f Omega X sigma 1 X sigma 2 dots Omega X sigma 2k 1 X sigma 2k nbsp f W displaystyle f Omega nbsp ist eine geschlossene Form und ϕ f displaystyle phi f nbsp ist dann per Definition die Kohomologieklasse dieser 2 k displaystyle 2k nbsp Form Man kann zeigen dass ϕ f displaystyle phi f nbsp nicht vom gewahlten Zusammenhang abhangt Beispiele BearbeitenSei G G L n C displaystyle G GL n mathbb C nbsp Dann hat die Krummungsform Werte in g l n C Mat n C displaystyle mathfrak gl n mathbb C operatorname Mat n mathbb C nbsp Die Entwicklungdet i t W 2 p I k c k W t k displaystyle det left frac it Omega 2 pi I right sum k c k Omega t k nbsp dd definiert invariante Polynomec k W I 2 k g displaystyle c k Omega in I 2k mathfrak g nbsp dd zum Beispiel ist c 1 W i 2 p T r W displaystyle c 1 Omega frac i 2 pi Tr Omega nbsp und c n W i 2 p n det W displaystyle c n Omega frac i 2 pi n det Omega nbsp Die Kohomologieklassen ϕ c 1 ϕ c n displaystyle phi c 1 ldots phi c n nbsp sind die Chern Klassen Universeller Chern Weil Homomorphismus BearbeitenSei G displaystyle G nbsp eine Lie Gruppe und B G displaystyle BG nbsp ihr klassifizierender Raum B G displaystyle BG nbsp ist keine Mannigfaltigkeit trotzdem lasst sich fur das universelle G displaystyle G nbsp Bundel p E G B G displaystyle pi EG rightarrow BG nbsp ein Chern Weil Homomorphismus ϕ G I G H B G displaystyle phi G I G rightarrow H BG nbsp definieren Wenn p P M displaystyle pi P rightarrow M nbsp ein G displaystyle G nbsp Prinzipalbundel und F M B G displaystyle F M rightarrow BG nbsp seine klassifizierende Abbildung ist dann ist ϕ F ϕ G displaystyle phi F circ phi G nbsp Siehe auch BearbeitenWeil AlgebraLiteratur BearbeitenAppendix C Connections Curvature and Characteristic Classes in Milnor John W Stasheff James D Characteristic classes Annals of Mathematics Studies No 76 Princeton University Press Princeton N J University of Tokyo Press Tokyo 1974 vii 331 pp Chapter 5 in Candel Alberto Conlon Lawrence Foliations II Graduate Studies in Mathematics 60 American Mathematical Society Providence RI 2003 xiv 545 pp ISBN 0 8218 0881 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Chern Weil Theorie amp oldid 202326142