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Plus Konstruktion Die häufig als Quillens bezeichnet ist ein Verfahren der algebraischen Topologie das unter anderem bei

Plus-Konstruktion

Die Plus-Konstruktion (häufig als Quillens Plus-Konstruktion bezeichnet) ist ein Verfahren der algebraischen Topologie, das unter anderem bei der Definition der algebraischen K-Theorie Anwendung findet.

Konstruktion Bearbeiten

Konstruktion im Fall perfekter Fundamentalgruppen Bearbeiten

Satz: Sei ein zusammenhängender CW-Komplex mit . Dann gibt es einen durch Ankleben von 2- und 3-Zellen konstruierten einfach zusammenhängenden CW-Komplex und eine Inklusion , so dass die induzierten Morphismen der Homologiegruppen

für alle Isomorphismen sind.

Konstruktion/Beweisidee: Seien Repräsentanten für ein Erzeugendensystem der Fundamentalgruppe . Durch Ankleben von 2-Zellen mittels der Abbildungen erhält man einen einfach zusammenhängenden CW-Komplex . Die lange exakte Sequenz

spaltet weil von den 2-Zellen frei erzeugt wird, man hat also einen Isomorphismus

und der Summand wird von den erzeugt. Weil einfach zusammenhängend ist, sind nach dem Satz von Hurewicz die Elemente von der Form für Abbildungen . (Hier bezeichnet die Fundamentalklasse.) Durch Ankleben von 3-Zellen mittels der Abbildungen erhält man einen einfach zusammenhängenden CW-Komplex mit . Weil die angeklebten 3-Zellen ihren Rand nicht in haben, gilt , und weil lediglich 2- und 3-dimensionale Zellen angeklebt wurden, gilt für . Also hat man auch für alle Homologiegruppen ab Grad 3 einen Isomorphismus.

Konstruktion im allgemeinen Fall Bearbeiten

Satz: Sei ein zusammenhängender CW-Komplex und ein perfekter Normalteiler. Dann gibt es einen durch Ankleben von 2- und 3-Zellen konstruierten CW-Komplex und eine Inklusion , so dass der induzierte Morphismus der Fundamentalgruppen

die Quotientenabbildung und die induzierten Morphismen der Homologiegruppen

für alle Isomorphismen sind.

Konstruktion/Beweisidee: Seien Repräsentanten für ein Erzeugendensystem von . Durch Ankleben von 2-Zellen mittels der Abbildungen erhält man einen CW-Komplex , so dass der durch die Inklusion erzeugte Homomorphismus der Fundamentalgruppen die Quotientenabbildung ist. Sei die universelle Überlagerung von und das Urbild von , also und (weil perfekt ist) . Analog zu oben hat man einen Isomorphismus und der Summand ist der von den erzeugte freie -Modul. Weil einfach zusammenhängend ist, gibt es realisierende Abbildungen und durch Ankleben von 3-Zellen mittels der Abbildungen erhält man wieder einen einfach zusammenhängenden CW-Komplex mit den gewünschten Eigenschaften.

Funktorialität Bearbeiten

Es sei eine stetige Abbildung zwischen zusammenhängenden CW-Komplexen und es seien perfekte Normalteiler mit . Dann induziert eine bis auf Homotopie eindeutige stetige Fortsetzung .

Homotopiefaser Bearbeiten

Sei der klassifizierende Raum einer diskreten Gruppe und ein perfekter Normalteiler. Sei die Homotopiefaser der Plus-Konstruktion , dann ist die universelle zentrale Erweiterung von und .

Algebraische K-Theorie Bearbeiten

Sei ein unitärer Ring, die Gruppe der invertierbaren Matrizen über und der klassifizierende Raum von , d. h. ein asphärischer Raum mit Fundamentalgruppe . Weil die Gruppe der Elementarmatrizen perfekt und ein Normalteiler ist kann man die Plus-Konstruktion anwenden. Die algebraische K-Theorie des Ringes ist definiert als

für .

Beispiel: endliche Körper Bearbeiten

Sei ein endlicher Körper mit Elementen, dann gibt es nach einem Satz von Quillen eine Homotopieäquivalenz

wobei die Faser der Abbildung

(für die Wirkung der Adams-Operation auf dem klassifizierenden Raum der unitären Gruppe) ist. Die Homotopiegruppen von können mit Bott-Periodizität berechnet werden, als Ergebnis erhält man

H-Raum Bearbeiten

ist ein H-Raum mittels einer von Loday definierten Verknüpfung. Die Plus-Konstruktion ist universell für Abbildungen in H-Räume, d. h. jede stetige Abbildung in einen H-Raum faktorisiert über .

Literatur Bearbeiten

  • Daniel Quillen: Cohomology of groups. Actes Congrès Internat. Math. , 2 , Gauthier-Villars (1973) S. 47–51 pdf
  • Jonathan Rosenberg: Algebraic K-theory and its applications. Graduate Texts in Mathematics, 147. Springer-Verlag, New York, 1994. ISBN 0-387-94248-3
  • Charles Weibel: The K-book. An introduction to algebraic K-theory. Graduate Studies in Mathematics, 145. American Mathematical Society, Providence, RI, 2013. ISBN 978-0-8218-9132-2
  • Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-79160-X pdf
  • Jean-Claude Hausmann; Dale Husemoller: Acyclic maps. Enseign. Math. (2) 25 (1979), no. 1-2, 53–75

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Rosenberg, op.cit., Proposition 5.2.4
  2. Weibel, op.cit., Proposition IV.1.7
  3. Jean Louis Loday: Structure multiplicative en K-théorie algébrique. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A 279 (1974), 321–324.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Plus Konstruktion haufig als Quillens Plus Konstruktion bezeichnet ist ein Verfahren der algebraischen Topologie das unter anderem bei der Definition der algebraischen K Theorie Anwendung findet Inhaltsverzeichnis 1 Konstruktion 1 1 Konstruktion im Fall perfekter Fundamentalgruppen 1 2 Konstruktion im allgemeinen Fall 2 Funktorialitat 3 Homotopiefaser 4 Algebraische K Theorie 4 1 Beispiel endliche Korper 4 2 H Raum 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseKonstruktion BearbeitenKonstruktion im Fall perfekter Fundamentalgruppen Bearbeiten Satz Sei X displaystyle X nbsp ein zusammenhangender CW Komplex mit H 1 X Z 0 displaystyle H 1 X mathbb Z 0 nbsp Dann gibt es einen durch Ankleben von 2 und 3 Zellen konstruierten einfach zusammenhangenden CW Komplex X displaystyle X nbsp und eine Inklusion j X X displaystyle j X rightarrow X nbsp so dass die induzierten Morphismen der Homologiegruppen j n H n X Z H n X Z displaystyle j n H n X mathbb Z rightarrow H n X mathbb Z nbsp fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp Isomorphismen sind Konstruktion Beweisidee Seien e i S 1 X i I displaystyle left e i S 1 rightarrow X right i in I nbsp Reprasentanten fur ein Erzeugendensystem der Fundamentalgruppe p 1 X displaystyle pi 1 X nbsp Durch Ankleben von 2 Zellen D i i I displaystyle left D i right i in I nbsp mittels der Abbildungen e i D i X displaystyle e i partial D i rightarrow X nbsp erhalt man einen einfach zusammenhangenden CW Komplex X displaystyle X prime nbsp Die lange exakte Sequenz 0 H 2 X H 2 X H 2 X X 0 H 1 X displaystyle 0 rightarrow H 2 X rightarrow H 2 X prime rightarrow H 2 X prime X rightarrow 0 H 1 X nbsp spaltet weil H 2 X X displaystyle H 2 X prime X nbsp von den 2 Zellen D i i I displaystyle left D i right i in I nbsp frei erzeugt wird man hat also einen Isomorphismus H 2 X H 2 X H 2 X X displaystyle H 2 X prime H 2 X oplus H 2 X prime X nbsp und der Summand H 2 X X displaystyle H 2 X prime X nbsp wird von den D i i I displaystyle left D i right i in I nbsp erzeugt Weil X displaystyle X prime nbsp einfach zusammenhangend ist sind nach dem Satz von Hurewicz die Elemente D i H 2 X displaystyle left D i right in H 2 X prime nbsp von der Form f i S 2 displaystyle f i left S 2 right nbsp fur Abbildungen f i S 2 X displaystyle f i S 2 rightarrow X prime nbsp Hier bezeichnet S 2 H 2 S 2 Z displaystyle left S 2 right in H 2 S 2 mathbb Z nbsp die Fundamentalklasse Durch Ankleben von 3 Zellen E i i I displaystyle left E i right i in I nbsp mittels der Abbildungen f i E i X displaystyle f i partial E i rightarrow X prime nbsp erhalt man einen einfach zusammenhangenden CW Komplex X displaystyle X nbsp mit H 2 X H 2 X displaystyle H 2 X H 2 X nbsp Weil die angeklebten 3 Zellen ihren Rand nicht in X displaystyle X nbsp haben gilt H 3 X X 0 displaystyle H 3 X X 0 nbsp und weil lediglich 2 und 3 dimensionale Zellen angeklebt wurden gilt H X X 0 displaystyle H X X 0 nbsp fur 4 displaystyle geq 4 nbsp Also hat man auch fur alle Homologiegruppen ab Grad 3 einen Isomorphismus Konstruktion im allgemeinen Fall Bearbeiten Satz Sei X displaystyle X nbsp ein zusammenhangender CW Komplex und N p 1 X displaystyle N subset pi 1 X nbsp ein perfekter Normalteiler Dann gibt es einen durch Ankleben von 2 und 3 Zellen konstruierten CW Komplex X displaystyle X nbsp und eine Inklusion j X X displaystyle j X rightarrow X nbsp so dass der induzierte Morphismus der Fundamentalgruppen j p 1 X p 1 X displaystyle j pi 1 X rightarrow pi 1 X nbsp die Quotientenabbildung p 1 X p 1 X N displaystyle pi 1 X to pi 1 X N nbsp und die induzierten Morphismen der Homologiegruppen j n H n X Z H n X Z displaystyle j n H n X mathbb Z rightarrow H n X mathbb Z nbsp fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp Isomorphismen sind Konstruktion Beweisidee Seien e i S 1 X i I displaystyle left e i S 1 rightarrow X right i in I nbsp Reprasentanten fur ein Erzeugendensystem von N displaystyle N nbsp Durch Ankleben von 2 Zellen D i i I displaystyle left D i right i in I nbsp mittels der Abbildungen e i D i X displaystyle e i partial D i rightarrow X nbsp erhalt man einen CW Komplex X displaystyle X prime nbsp so dass der durch die Inklusion X X displaystyle X to X prime nbsp erzeugte Homomorphismus der Fundamentalgruppen die Quotientenabbildung p 1 X p 1 X N displaystyle pi 1 X to pi 1 X N nbsp ist Sei X displaystyle widetilde X prime nbsp die universelle Uberlagerung von X displaystyle X prime nbsp und X X displaystyle widetilde X subset widetilde X prime nbsp das Urbild von X displaystyle X nbsp also p 1 X N displaystyle pi 1 widetilde X N nbsp und weil N displaystyle N nbsp perfekt ist H 1 X 0 displaystyle H 1 widetilde X 0 nbsp Analog zu oben hat man einen Isomorphismus H 2 X H 2 X H 2 X X displaystyle H 2 widetilde X prime H 2 widetilde X oplus H 2 widetilde X prime widetilde X nbsp und der Summand H 2 X X displaystyle H 2 widetilde X prime widetilde X nbsp ist der von den D i i I displaystyle left D i right i in I nbsp erzeugte freie Z p 1 X N displaystyle mathbb Z left pi 1 X N right nbsp Modul Weil X displaystyle widetilde X prime nbsp einfach zusammenhangend ist gibt es D i H 2 X displaystyle left D i right in H 2 X prime nbsp realisierende Abbildungen f i S 2 X displaystyle f i S 2 rightarrow X prime nbsp und durch Ankleben von 3 Zellen E i i I displaystyle left E i right i in I nbsp mittels der Abbildungen f i E i X displaystyle f i partial E i rightarrow X prime nbsp erhalt man wieder einen einfach zusammenhangenden CW Komplex X displaystyle X nbsp mit den gewunschten Eigenschaften Funktorialitat BearbeitenEs sei f X Y displaystyle f colon X to Y nbsp eine stetige Abbildung zwischen zusammenhangenden CW Komplexen und es seien N X p 1 X N Y p 1 Y displaystyle N X subset pi 1 X N Y subset pi 1 Y nbsp perfekte Normalteiler mit f N X N Y displaystyle f N X subset N Y nbsp Dann induziert f displaystyle f nbsp eine bis auf Homotopie eindeutige stetige Fortsetzung f X Y displaystyle f colon X to Y nbsp 1 Homotopiefaser BearbeitenSei B G displaystyle BG nbsp der klassifizierende Raum einer diskreten Gruppe G displaystyle G nbsp und N G displaystyle N subset G nbsp ein perfekter Normalteiler Sei F displaystyle F nbsp die Homotopiefaser der Plus Konstruktion B G B G displaystyle BG to BG nbsp dann ist p 1 F displaystyle pi 1 F nbsp die universelle zentrale Erweiterung von N displaystyle N nbsp und p 2 B G H 2 N Z displaystyle pi 2 BG H 2 N mathbb Z nbsp 2 Algebraische K Theorie Bearbeiten Hauptartikel Algebraische K Theorie Sei R displaystyle R nbsp ein unitarer Ring G L R n 0 G L n R displaystyle GL R bigcup n geq 0 GL n R nbsp die Gruppe der invertierbaren Matrizen uber R displaystyle R nbsp und B G L R displaystyle BGL R nbsp der klassifizierende Raum von G L R displaystyle GL R nbsp d h ein aspharischer Raum mit Fundamentalgruppe G L R displaystyle GL R nbsp Weil die Gruppe der Elementarmatrizen E R G L R G L R displaystyle E R left GL R GL R right nbsp perfekt und ein Normalteiler ist kann man die Plus Konstruktion anwenden Die algebraische K Theorie des Ringes R displaystyle R nbsp ist definiert als K i R p i B G L R displaystyle K i R pi i BGL R nbsp fur i 1 displaystyle i geq 1 nbsp Beispiel endliche Korper Bearbeiten Sei K displaystyle K nbsp ein endlicher Korper mit q displaystyle q nbsp Elementen dann gibt es nach einem Satz von Quillen eine Homotopieaquivalenz B G L k E PS q displaystyle BGL k simeq E Psi q nbsp wobei E PS q displaystyle E Psi q nbsp die Faser der Abbildung PS q I d B U B U displaystyle Psi q Id BU rightarrow BU nbsp fur PS q displaystyle Psi q nbsp die Wirkung der Adams Operation auf dem klassifizierenden Raum der unitaren Gruppe ist Die Homotopiegruppen von E PS q displaystyle E Psi q nbsp konnen mit Bott Periodizitat berechnet werden als Ergebnis erhalt man K 2 i K 0 K 2 i 1 K Z q i 1 Z displaystyle K 2i K 0 K 2i 1 K mathbb Z q i 1 mathbb Z nbsp H Raum Bearbeiten B G L R displaystyle BGL R nbsp ist ein H Raum mittels einer von Loday definierten Verknupfung 3 Die Plus Konstruktion ist universell fur Abbildungen in H Raume d h jede stetige Abbildung B G L R H displaystyle BGL R to H nbsp in einen H Raum H displaystyle H nbsp faktorisiert uber B G L R displaystyle BGL R nbsp Literatur BearbeitenDaniel Quillen Cohomology of groups Actes Congres Internat Math 2 Gauthier Villars 1973 S 47 51 pdf Jonathan Rosenberg Algebraic K theory and its applications Graduate Texts in Mathematics 147 Springer Verlag New York 1994 ISBN 0 387 94248 3 Charles Weibel The K book An introduction to algebraic K theory Graduate Studies in Mathematics 145 American Mathematical Society Providence RI 2013 ISBN 978 0 8218 9132 2 Allen Hatcher Algebraic topology Cambridge University Press Cambridge 2002 ISBN 0 521 79160 X pdf Jean Claude Hausmann Dale Husemoller Acyclic maps Enseign Math 2 25 1979 no 1 2 53 75Weblinks BearbeitenPlus construction Encyclopedia of Mathematics Shah The Quillen plus construction in algebraic K theory Hausmann Homology bordism and Quillen plus construction Friedlander An introduction to K theoryEinzelnachweise Bearbeiten Rosenberg op cit Proposition 5 2 4 Weibel op cit Proposition IV 1 7 Jean Louis Loday Structure multiplicative en K theorie algebrique C R Acad Sci Paris Ser A 279 1974 321 324 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Plus Konstruktion amp oldid 217363549