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H Raum In der Topologie besteht ein aus einem topologischen Raum X oft als zusammenhängend vorausgesetzt und einer steti

H-Raum

In der Topologie besteht ein H-Raum aus einem topologischen Raum X (oft als zusammenhängend vorausgesetzt) und einer stetigen Abbildung mit einer Einheit in dem Sinne, dass die Endomorphismen

homotop zur identischen Abbildung auf relativ zu sind.

Es gibt auch Definitionen, in denen stärkere oder schwächere Forderungen an diese Homotopie gestellt werden: Manchmal wird die Homotopie nur relativ , manchmal sogar relativ gefordert. Diese drei Varianten sind äquivalent, wenn CW-Komplex ist.

Der Name H-Raum wurde von Jean-Pierre Serre zu Ehren von Heinz Hopf vorgeschlagen.

Eigenschaften Bearbeiten

Die multiplikative Struktur eines H-Raums bereichert die Struktur seiner Homologie und Kohomologie. So ist der Kohomologiering eines wegzusammenhängenden H-Raums mit endlich erzeugten freien Kohomologiegruppen eine Hopf-Algebra. Außerdem kann man auf den Homologiegruppen eines H-Raums das Pontryagin-Produkt erklären.

Die Fundamentalgruppe eines H-Raums ist abelsch: Sei ein H-Raum mit Einheit , und seien und Schleifen mit Basispunkt . Dann können wir eine Abbildung durch erklären. Nun ist homotop zu und zu . Damit entspricht einer Homotopie von der Verkettung von Schleifen zu .

Beispiele Bearbeiten

J. F. Adams hat gezeigt, dass unter den Sphären nur und H-Räume sind; die Multiplikation wird jeweils von der Multiplikation auf , , (Quaternionen) und (Oktonionen) induziert.

Sei ein unitärer Ring, die Gruppe der invertierbaren Matrizen über und der klassifizierende Raum von . Dann liefert die Plus-Konstruktion einen H-Raum . Seine Fundamentalgruppe ist die Abelisierung von .

Literatur Bearbeiten

  • Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. 1. corrected Springer edition, Reprint. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-90646-0.
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In der Topologie besteht ein H Raum aus einem topologischen Raum X oft als zusammenhangend vorausgesetzt und einer stetigen Abbildung m X X X displaystyle mu colon X times X to X mit einer Einheit e X displaystyle e in X in dem Sinne dass die Endomorphismen m e X X displaystyle mu cdot e colon X to X und m e X X displaystyle mu e cdot colon X to X homotop zur identischen Abbildung i d X displaystyle id X auf X displaystyle X relativ zu e displaystyle e sind Es gibt auch Definitionen in denen starkere oder schwachere Forderungen an diese Homotopie gestellt werden Manchmal wird die Homotopie nur relativ e displaystyle e manchmal sogar relativ X displaystyle X gefordert Diese drei Varianten sind aquivalent wenn X displaystyle X CW Komplex ist Der Name H Raum wurde von Jean Pierre Serre zu Ehren von Heinz Hopf vorgeschlagen Eigenschaften BearbeitenDie multiplikative Struktur eines H Raums bereichert die Struktur seiner Homologie und Kohomologie So ist der Kohomologiering eines wegzusammenhangenden H Raums mit endlich erzeugten freien Kohomologiegruppen eine Hopf Algebra Ausserdem kann man auf den Homologiegruppen eines H Raums das Pontryagin Produkt erklaren Die Fundamentalgruppe eines H Raums ist abelsch Sei X displaystyle X nbsp ein H Raum mit Einheit e displaystyle e nbsp und seien f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp Schleifen mit Basispunkt e displaystyle e nbsp Dann konnen wir eine Abbildung F 0 1 0 1 X displaystyle F colon left 0 1 right times left 0 1 right to X nbsp durch F a b f a g b displaystyle F a b f a g b nbsp erklaren Nun ist F 0 F 1 f e displaystyle F 0 F 1 fe nbsp homotop zu f displaystyle f nbsp und F 0 F 1 e g displaystyle F 0 F 1 eg nbsp zu g displaystyle g nbsp Damit entspricht F displaystyle F nbsp einer Homotopie von der Verkettung f g displaystyle f cdot g nbsp von Schleifen zu g f displaystyle g cdot f nbsp Beispiele BearbeitenJ F Adams hat gezeigt dass unter den Spharen nur S 0 S 1 S 3 displaystyle S 0 S 1 S 3 nbsp und S 7 displaystyle S 7 nbsp H Raume sind die Multiplikation wird jeweils von der Multiplikation auf R displaystyle mathbb R nbsp C displaystyle mathbb C nbsp H displaystyle mathbb H nbsp Quaternionen und O displaystyle mathbb O nbsp Oktonionen induziert Sei R displaystyle R nbsp ein unitarer Ring G L R n 0 G L n R displaystyle GL R bigcup n geq 0 GL n R nbsp die Gruppe der invertierbaren Matrizen uber R displaystyle R nbsp und B G L R displaystyle BGL R nbsp der klassifizierende Raum von G L R displaystyle GL R nbsp Dann liefert die Plus Konstruktion einen H Raum B G L R displaystyle BGL R nbsp Seine Fundamentalgruppe ist die Abelisierung von G L R displaystyle GL R nbsp Literatur BearbeitenEdwin H Spanier Algebraic Topology 1 corrected Springer edition Reprint Springer Berlin u a 1995 ISBN 3 540 90646 0 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title H Raum amp oldid 234202631