Hopfalgebraberuhrt die SpezialgebieteMathematik Abstrakte Algebra Lineare Algebra Kommutative Algebraist Spezialfall vonBialgebraEine Hopf Algebra benannt nach dem Mathematiker Heinz Hopf H displaystyle H uber einem Korper K displaystyle mathbb K ist eine Bialgebra H h D ϵ displaystyle H nabla eta Delta epsilon mit einer K displaystyle mathbb K linearen Abbildung der sog Antipode S H H displaystyle S colon H to H so dass das folgende Diagramm kommutiert Formal in der Sweedler Notation benannt nach Moss Sweedler geschrieben heisst das S c 1 c 2 c 1 S c 2 ϵ c 1 displaystyle S left c left 1 right right c left 2 right c left 1 right S left c left 2 right right epsilon left c right 1 Inhaltsverzeichnis 1 Faltung und Antipode 2 Beispiele 2 1 Gruppenalgebra 2 2 Universelle einhullende Algebra 3 Gruppenartige und primitive Elemente 4 LiteraturFaltung und Antipode BearbeitenSei A displaystyle A nbsp eine Algebra und C displaystyle C nbsp eine Koalgebra Die K displaystyle mathbb K nbsp linearen Abbildungen von C displaystyle C nbsp nach A displaystyle A nbsp bilden eine Algebra mit Produkt displaystyle nbsp genannt Faltung definiert durch f g x f x 1 g x 2 displaystyle f g x f x 1 g x 2 nbsp Das neutrale Element in dieser Algebra ist h ϵ displaystyle eta circ epsilon nbsp denn f h ϵ x f x 1 h ϵ x 2 f x 1 ϵ x 2 h 1 f x displaystyle f eta circ epsilon x f x 1 eta epsilon x 2 f x 1 epsilon x 2 eta 1 f x nbsp und entsprechend auch h ϵ f x f x displaystyle eta circ epsilon f x f x nbsp Fur eine Bialgebra H displaystyle H nbsp bilden die K displaystyle mathbb K nbsp linearen Abbildungen von H displaystyle H nbsp nach H displaystyle H nbsp auf diese Weise eine Algebra Die Antipode S displaystyle S nbsp ist das zur identischen Abbildung inverse Element in dieser Algebra Das heisst S i d h ϵ i d S displaystyle S mathrm id eta circ epsilon mathrm id S nbsp Es lasst sich zeigen dass die Antipode einer Hopfalgebra stets eindeutig ist und gleichzeitig ein Antialgebrahomomorphismus und ein Anticoalgebrahomomorphismus ist Mithilfe dieser Tatsache lasst sich der Wert der Antipode auf jedem Element der Hopfalgebra ausrechnen wenn die Werte der Antipode auf einem Algebraerzeugendensystem bekannt sind Beispiele BearbeitenGruppenalgebra Bearbeiten Ein Beispiel fur eine Hopf Algebra ist die Gruppenalgebra K G displaystyle mathbb K G nbsp Sie wird durch D g g g displaystyle Delta g g otimes g nbsp fur g G displaystyle g in G nbsp und ϵ g 1 displaystyle epsilon g 1 nbsp fur g G displaystyle g in G nbsp zu einer Bialgebra die Antipode S g g 1 displaystyle S g g 1 nbsp fur g G displaystyle g in G nbsp macht sie zu einer Hopf Algebra Universelle einhullende Algebra Bearbeiten Die universelle einhullende Algebra U g displaystyle mathrm U mathfrak g nbsp einer Lie Algebra g displaystyle mathfrak g nbsp ist auf naturliche Weise eine Hopfalgebra Fur ein Element x g displaystyle x in mathfrak g nbsp ist das Koprodukt durch D x 1 x x 1 displaystyle Delta x 1 otimes x x otimes 1 nbsp und die Koeins durch ϵ x 0 displaystyle epsilon x 0 nbsp definiert S x x displaystyle S x x nbsp definiert die Antipode Gruppenartige und primitive Elemente BearbeitenEin Element g displaystyle g nbsp einer Hopfalgebra heisst gruppenartig wenn D g g g displaystyle Delta g g otimes g nbsp und ϵ g 1 displaystyle epsilon g 1 nbsp Fur die Antipode gilt dann S g g 1 displaystyle S g g 1 nbsp Ein Element x displaystyle x nbsp heisst primitiv wenn D x 1 x x 1 displaystyle Delta x 1 otimes x x otimes 1 nbsp Daraus folgt dass ϵ x 0 displaystyle epsilon x 0 nbsp und S x x displaystyle S x x nbsp Ein Element x displaystyle x nbsp heisst schiefprimitiv wenn D x g x x h displaystyle Delta x g otimes x x otimes h nbsp mit gruppenahnlichen Elementen g displaystyle g nbsp und h displaystyle h nbsp Daraus folgt dass ϵ x 0 displaystyle epsilon x 0 nbsp und S x g 1 x h 1 displaystyle S x g 1 xh 1 nbsp Literatur BearbeitenChristian Kassel Quantum Groups Graduate Texts in Mathematics 155 Springer New York NY u a 1995 ISBN 0 387 94370 6 Moss E Sweedler Hopf algebras Benjamin New York NY 1969 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hopf Algebra amp oldid 202683416
