Dieser Artikel befasst sich mit Koalgebren uber Korpern Fur Koalgebren uber Komonaden siehe dort Eine Koalgebra ist ein Vektorraum der die zu einer Algebra duale Struktur besitzt Das heisst anstelle einer Multiplikation die zwei Elemente auf ihr Produkt abbildet gibt es eine Komultiplikation die ein Element auf ein Tensorprodukt abbildet und anstelle eines neutralen Elements das die Einbettung des Grundkorpers in die Algebra ermoglicht gibt es eine Abbildung aus der Koalgebra in den Grundkorper die Koeins genannt wird Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiel 3 Dualitat 4 Sweedlernotation 5 LiteraturDefinition BearbeitenEine Koalgebra uber einem Korper k displaystyle k nbsp ist ein k displaystyle k nbsp Vektorraum C displaystyle C nbsp mit Vektorraumhomomorphismen D C C C k C displaystyle Delta C colon C to C otimes k C nbsp genannt Komultiplikation Koprodukt oder auch Diagonale und ϵ C C k displaystyle epsilon C colon C to k nbsp genannt Koeins so dass i d C D C D C D C i d C D C displaystyle mathrm id C otimes Delta C circ Delta C Delta C otimes mathrm id C circ Delta C nbsp Koassoziativitat i d C ϵ C D C i d C ϵ C i d C D C displaystyle mathrm id C otimes epsilon C circ Delta C mathrm id C epsilon C otimes mathrm id C circ Delta C nbsp Koeins Ein Koalgebrahomomorphismus zwischen zwei Koalgebren C und D ist ein Vektorraumhomomorphismus f C D displaystyle f colon C to D nbsp mit f f D C D D f displaystyle f otimes f circ Delta C Delta D circ f nbsp und ϵ C ϵ D f displaystyle epsilon C epsilon D circ f nbsp Beispiel BearbeitenSei e 1 e 2 e 3 displaystyle e 1 e 2 e 3 nbsp die kanonische Basis von R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp Man kann auf R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp eine Koalgebra Struktur mittels D R 3 e i e i e i displaystyle Delta mathbb R 3 e i e i otimes e i nbsp und ϵ R 3 e i 1 displaystyle epsilon mathbb R 3 e i 1 nbsp definieren D R 3 displaystyle Delta mathbb R 3 nbsp ist koassoziativ da e i D R 3 e i e i e i e i D R 3 e i e i displaystyle e i otimes Delta mathbb R 3 e i e i otimes e i otimes e i Delta mathbb R 3 e i otimes e i nbsp und ϵ R 3 displaystyle epsilon mathbb R 3 nbsp ist Koeins da e i ϵ R 3 e i e i ϵ R 3 e i e i displaystyle e i otimes epsilon mathbb R 3 e i e i epsilon mathbb R 3 e i otimes e i nbsp Die Elemente von R 3 R 3 displaystyle mathbb R 3 otimes mathbb R 3 nbsp sind Tensoren zweiter Stufe und konnen daher als Matrizen dargestellt werden Die Komultiplikation ist dann D R 3 a 1 a 2 a 3 a 1 D R 3 1 0 0 a 2 D R 3 0 1 0 a 3 D R 3 0 0 1 a 1 0 0 0 a 2 0 0 0 a 3 displaystyle Delta mathbb R 3 begin pmatrix a 1 a 2 a 3 end pmatrix a 1 Delta mathbb R 3 begin pmatrix 1 0 0 end pmatrix a 2 Delta mathbb R 3 begin pmatrix 0 1 0 end pmatrix a 3 Delta mathbb R 3 begin pmatrix 0 0 1 end pmatrix begin pmatrix a 1 amp 0 amp 0 0 amp a 2 amp 0 0 amp 0 amp a 3 end pmatrix nbsp Dualitat BearbeitenDie Multiplikation m A displaystyle mu A nbsp einer unitaren assoziativen Algebra A displaystyle A nbsp ist bilinear und aufgrund der Universellen Eigenschaft des Tensorprodukts kann sie als Abbildung von A A displaystyle A otimes A nbsp nach A displaystyle A nbsp aufgefasst werden Die Multiplikation ist genau dann assoziativ wenn das folgende Diagramm kommutiert nbsp Eine Algebra A displaystyle A nbsp besitzt genau dann ein neutrales Element wenn es einen Vektorraumhomomorphismus h A displaystyle eta A nbsp gibt so dass das folgende Diagramm kommutiert nbsp In diesem Fall gilt 1 A h A 1 k displaystyle 1 A eta A 1 k nbsp Eine Koalgebra C displaystyle C nbsp ist eine Algebra in der zu den Vektorraumen V e k t displaystyle mathrm Vekt nbsp dualen Kategorie V e k t o p displaystyle mathrm Vekt mathrm op nbsp Das heisst anstelle der Multiplikation gibt es eine Abbildung D C C C C displaystyle Delta C colon C to C otimes C nbsp so dass das folgende duale Diagramm kommutiert nbsp Und anstelle eines neutralen Elements gibt es eine Abbildung ϵ C C k displaystyle epsilon C colon C to k nbsp so dass das folgende duale Diagramm kommutiert nbsp Sweedlernotation BearbeitenUber das Koprodukt D C x displaystyle Delta C x nbsp eines Elements x C displaystyle x in C nbsp ist im Allgemeinen nur bekannt dass es in C C displaystyle C otimes C nbsp liegt und sich folglich als D C x i x 1 i x 2 i displaystyle Delta C x sum i x 1 i otimes x 2 i nbsp darstellen lasst In der Sweedler Notation nach Moss Sweedler wird dies abgekurzt indem man symbolisch D C x x x 1 x 2 displaystyle Delta C x sum x x 1 otimes x 2 nbsp schreibt In summenloser Sweedler Notation verzichtet man sogar auf das Summensymbol und schreibt D C x x 1 x 2 displaystyle Delta C x x 1 otimes x 2 nbsp Es ist dabei wichtig zu beachten dass diese Schreibweise nach wie vor eine Summe bezeichnet Die Symbole x 1 displaystyle x 1 nbsp und x 2 displaystyle x 2 nbsp sind fur sich allein bedeutungslos und stehen nicht fur bestimmte Elemente aus C displaystyle C nbsp denn die Darstellung von D C x displaystyle textstyle Delta C x nbsp ist nicht eindeutig Bei Rechnungen in der Sweedlernotation liest man die x k i displaystyle textstyle x k i nbsp am besten als geeignete und fur diese Rechnung fest gewahlte Elemente Diese Schreibweise ermoglicht es die Komposition von D C displaystyle Delta C nbsp mit anderen Funktionen als f g D C x f x 1 g x 2 displaystyle f otimes g circ Delta C x f x 1 otimes g x 2 nbsp zu schreiben In summenloser Sweedler Notation ist ϵ C displaystyle epsilon C nbsp genau dann Koeins wenn ϵ C x 1 x 2 x x 1 ϵ C x 2 displaystyle epsilon C x 1 x 2 x x 1 epsilon C x 2 nbsp Das Koprodukt D C displaystyle Delta C nbsp ist genau dann koassoziativ wenn x 1 D C x 2 D C x 1 x 2 displaystyle x 1 otimes Delta C x 2 Delta C x 1 otimes x 2 nbsp Dieses Element wird in Sweedler Notation symbolisch als x x 1 x 2 x 3 displaystyle sum x x 1 otimes x 2 otimes x 3 nbsp und summenlos als x 1 x 2 x 3 displaystyle x 1 otimes x 2 otimes x 3 nbsp geschrieben Durch erneutes Anwenden von D C displaystyle Delta C nbsp entstehen langere Tensorprodukte die analog geschrieben werden Dabei muss man die Indizes der hinteren Elemente gegebenenfalls erhohen f x 1 D C x 2 g x 3 f x 1 x 2 x 3 g x 4 displaystyle f x 1 otimes Delta C x 2 otimes g x 3 f x 1 otimes x 2 otimes x 3 otimes g x 4 nbsp Durch Anwenden von ϵ C displaystyle epsilon C nbsp verkurzen sich die Tensorprodukte die Indizes der hinteren Elemente werden entsprechend angepasst f x 1 ϵ C x 2 x 3 g x 4 f x 1 x 2 g x 3 displaystyle f x 1 otimes epsilon C x 2 otimes x 3 otimes g x 4 f x 1 otimes x 2 otimes g x 3 nbsp Literatur BearbeitenChristian Kassel Quantum Groups In Graduate Texts in Mathematics Springer Verlag ISBN 0 387 94370 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Koalgebra amp oldid 207714245
