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Bialgebra berührt die SpezialgebieteMathematik Abstrakte Algebra Lineare Algebra Kommutative Algebraist Spezialfall vonA

Bialgebra

Bialgebra

berührt die Spezialgebiete

ist Spezialfall von

umfasst als Spezialfälle

Eine Bialgebra hat sowohl die Struktur einer unitären, assoziativen Algebra als auch die dazu duale Struktur einer Koalgebra. Der wichtigste Spezialfall von Bialgebren sind Hopf-Algebren, zu denen auch die Quantengruppen gehören.

Definition Bearbeiten

Sei ein Körper und sowohl unitäre assoziative Algebra über als auch Koalgebra über . Dabei bezeichne die Multiplikation, die Eins (Einbettung des Körpers in die Algebra), die Komultiplikation und die Koeins.

heißt Bialgebra über wenn die folgenden äquivalenten Kompatibilitätsbedingungen erfüllt sind.

  • Die Komultiplikation und die Koeins sind Algebrahomomorphismen.
  • Die Multiplikation und die Eins sind Koalgebrahomomorphismen.
  • Die folgenden Diagramme kommutieren

Dabei ist die „Flip“-Abbildung, also der kanonische Isomorphismus der Tensorprodukte und angewandt auf .

Die Bialgebren bilden zusammen mit den Abbildungen, die sowohl Algebra- als auch Koalgebrahomomorphismen sind, eine Kategorie.

Verallgemeinerung Bearbeiten

Algebren und Koalgebren können in beliebigen monoidalen Kategorien betrachtet werden. Für Kompatibilitätsbedingungen ist es jedoch notwendig, dass auch das Tensorprodukt einer (Ko)Algebra auf natürliche Weise wieder eine (Ko)Algebra ist, dies bedingt die Existenz einer Zopfung.

Literatur Bearbeiten

  • Christian Kassel: Quantum Groups (Graduate Texts in Mathematics). Springer-Verlag, ISBN 0-387-94370-6
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Bialgebraberuhrt die SpezialgebieteMathematik Abstrakte Algebra Lineare Algebra Kommutative Algebraist Spezialfall vonAlgebra Koalgebraumfasst als SpezialfalleHopf AlgebraEine Bialgebra hat sowohl die Struktur einer unitaren assoziativen Algebra als auch die dazu duale Struktur einer Koalgebra Der wichtigste Spezialfall von Bialgebren sind Hopf Algebren zu denen auch die Quantengruppen gehoren Definition BearbeitenSei k displaystyle k nbsp ein Korper und B displaystyle B nbsp sowohl unitare assoziative Algebra uber k displaystyle k nbsp als auch Koalgebra uber k displaystyle k nbsp Dabei bezeichne m B displaystyle mu B nbsp die Multiplikation h B displaystyle eta B nbsp die Eins Einbettung des Korpers in die Algebra D B displaystyle Delta B nbsp die Komultiplikation und ϵ B displaystyle epsilon B nbsp die Koeins B displaystyle B nbsp heisst Bialgebra uber k displaystyle k nbsp wenn die folgenden aquivalenten Kompatibilitatsbedingungen erfullt sind Die Komultiplikation D B displaystyle Delta B nbsp und die Koeins ϵ B displaystyle epsilon B nbsp sind Algebrahomomorphismen Die Multiplikation m B displaystyle mu B nbsp und die Eins h B displaystyle eta B nbsp sind Koalgebrahomomorphismen Die folgenden Diagramme kommutieren nbsp nbsp nbsp nbsp Dabei ist t B B v w w v displaystyle tau B B v otimes w mapsto w otimes v nbsp die Flip Abbildung also der kanonische Isomorphismus der Tensorprodukte V W displaystyle V otimes W nbsp und W V displaystyle W otimes V nbsp angewandt auf B B displaystyle B otimes B nbsp Die Bialgebren bilden zusammen mit den Abbildungen die sowohl Algebra als auch Koalgebrahomomorphismen sind eine Kategorie Verallgemeinerung BearbeitenAlgebren und Koalgebren konnen in beliebigen monoidalen Kategorien betrachtet werden Fur Kompatibilitatsbedingungen ist es jedoch notwendig dass auch das Tensorprodukt einer Ko Algebra auf naturliche Weise wieder eine Ko Algebra ist dies bedingt die Existenz einer Zopfung Literatur BearbeitenChristian Kassel Quantum Groups Graduate Texts in Mathematics Springer Verlag ISBN 0 387 94370 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bialgebra amp oldid 209423144