Als Quantengruppe bezeichnet man in der mathematischen Gruppentheorie eine bestimmte Gattung von Hopf Algebren namlich Quantisierungen d h nicht triviale Deformationen der einhullenden Hopf Algebren von halbeinfachen Lie Algebren Alternativ kann man Quantengruppen als Deformationen von der Algebra der regularen Funktionen auf algebraischen Gruppen betrachten Der Begriff wurde im Rahmen der International Congress of Mathematicians 1986 in Berkeley von dem ukrainisch US amerikanischen Mathematiker Vladimir Drinfeld gepragt Unabhangig von ihm wurden sie um die gleiche Zeit von dem japanischen Mathematiker Michio Jimbō gefunden Beispiel BearbeitenDie einfachste Quantengruppe ist U q s l 2 displaystyle U q mathfrak sl 2 nbsp Dies ist die Algebra die von den Variablen K displaystyle K nbsp K 1 displaystyle K 1 nbsp E displaystyle E nbsp und F displaystyle F nbsp erzeugt wird und in der die Relationen K K 1 K 1 K 1 displaystyle KK 1 K 1 K 1 nbsp K E K 1 q 2 E displaystyle KEK 1 q 2 E nbsp K F K 1 q 2 F displaystyle KFK 1 q 2 F nbsp E F K K 1 q q 1 displaystyle E F frac K K 1 q q 1 nbsp gelten Die Hopfalgebra Struktur ist gegeben durch D E 1 E E K displaystyle Delta E 1 otimes E E otimes K nbsp D F K 1 F F 1 displaystyle Delta F K 1 otimes F F otimes 1 nbsp D K K K displaystyle Delta K K otimes K nbsp D K 1 K 1 K 1 displaystyle Delta K 1 K 1 otimes K 1 nbsp ϵ E ϵ F 0 displaystyle epsilon E epsilon F 0 nbsp ϵ K ϵ K 1 1 displaystyle epsilon K epsilon K 1 1 nbsp S E E K 1 displaystyle S E EK 1 nbsp S F K F displaystyle S F KF nbsp S K K 1 displaystyle S K K 1 nbsp S K 1 K displaystyle S K 1 K nbsp E displaystyle E nbsp und F displaystyle F nbsp sind folglich schiefprimitiv und K displaystyle K nbsp und K 1 displaystyle K 1 nbsp sind gruppenartig Universelle einhullende Algebra U s l 2 displaystyle U mathfrak sl 2 nbsp Bearbeiten U 1 s l 2 displaystyle U 1 mathfrak sl 2 nbsp ist in dieser Form nicht definiert da man dabei durch 0 teilen musste Es ist jedoch moglich die Definition mit Hilfe einer weiteren Variable L displaystyle L nbsp so zu formulieren dass dies moglich ist K K 1 K 1 K 1 displaystyle KK 1 K 1 K 1 nbsp K E K 1 q 2 E displaystyle KEK 1 q 2 E nbsp K F K 1 q 2 F displaystyle KFK 1 q 2 F nbsp E F L displaystyle E F L nbsp q q 1 L K K 1 displaystyle q q 1 L K K 1 nbsp L E q E K K 1 E displaystyle L E q EK K 1 E nbsp L F q 1 F K K 1 F displaystyle L F q 1 FK K 1 F nbsp In dieser Form ist U 1 s l 2 displaystyle U 1 mathfrak sl 2 nbsp wohldefiniert und hangt eng mit der universellen einhullenden Algebra U s l 2 displaystyle U mathfrak sl 2 nbsp zusammen Es gilt namlich U 1 s l 2 K 1 U s l 2 displaystyle U 1 mathfrak sl 2 K 1 cong U mathfrak sl 2 nbsp wobei E displaystyle E nbsp auf X displaystyle X nbsp F displaystyle F nbsp auf Y displaystyle Y nbsp und L displaystyle L nbsp auf H displaystyle H nbsp abgebildet wird Literatur BearbeitenChristian Kassel Quantum Groups Graduate Texts in Mathematics Springer Verlag 1998 ISBN 0 387 94370 6 englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Quantengruppe amp oldid 206109538
