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Algebraische K Theorie Das mathematische Teilgebiet der Algebraischen K Theorie beschäftigt sich mit dem Studium von Rin

Algebraische K-Theorie

Das mathematische Teilgebiet der Algebraischen K-Theorie beschäftigt sich mit dem Studium von Ringen bzw. Vektorbündeln auf Schemata.

sei stets ein unitärer Ring. Die algebraischen K-Gruppen sind eine Folge abelscher Gruppen , die dem Ring zugeordnet sein sollen und Informationen über diesen kodieren.

Es gibt in der Mathematik verschiedene Arten von K-Theorien. Mit "algebraischer K-Theorie" ist in aller Regel die auf Quillen zurückgehende Definition gemeint. Milnors K-Theorie stimmt mit dieser im Allgemeinen nur für überein.

Die Entwicklung der algebraischen K-Theorie wurde unter anderem von der topologischen K-Theorie motiviert, sie hängt aber nicht unmittelbar mit dieser zusammen.

Niedrige Dimensionen Bearbeiten

K0 Bearbeiten

Der Funktor ist ein kovarianter Funktor von der Kategorie der Ringe mit Einselement in die Kategorie der Gruppen; er ordnet einem Ring die Grothendieck-Gruppe der Isomorphieklassen von endlich erzeugten projektiven Moduln zu. Gelegentlich betrachtet man auch die reduzierte K-Gruppe , diese ist der Quotient von nach der vom freien -Modul erzeugten zyklischen Gruppe.

Eigenschaften Bearbeiten

  • (Morita-Invarianz)

Für jeden Ring und gibt es einen kanonischen Isomorphismus .

Sei ein kompakter Hausdorffraum und der Ring der stetigen Funktionen. Dann gibt es einen Isomorphismus zwischen topologischer K-Theorie des Raumes und algebraischer K-Theorie des Ringes: .

Beispiele Bearbeiten

K1 Bearbeiten

Hyman Bass schlug die folgende Definition für einen Funktor vor: ist die Abelisierung der unendlichen allgemeinen linearen Gruppe:

Dabei ist

wobei in die obere linke Ecke von eingebettet werde: .

Siehe dazu auch das Lemma von Whitehead. Für einen Körper ist die Einheitengruppe.

K2 Bearbeiten

J. Milnor fand den richtigen Kandidaten für : Es sei die Steinberggruppe (nach Robert Steinberg) eines Ringes definiert als die Gruppe mit den Erzeugern für positive ganze Zahlen und Ringelemente und mit den Relationen

  2. für
  3. für

Diese Relationen gelten auch für die Elementarmatrizen, deshalb gibt es einen Gruppenhomomorphismus

ist nun per Definition der Kern dieser Abbildung . Man kann zeigen, dass er mit dem Zentrum von übereinstimmt. und sind durch die exakte Sequenz

verbunden.

Für einen (kommutativen) Körper gilt der Satz von Matsumoto

Milnors K-Theorie Bearbeiten

J. Milnor definierte für einen Körper „höhere“ -Gruppen durch

also als graduierte Bestandteile des Quotienten der Tensoralgebra über der abelschen Gruppe nach dem zweiseitigen Ideal, das von den Elementen der Form

für erzeugt wird. Für stimmen die milnorschen -Gruppen mit den oben definierten überein. Die Motivation zu dieser Definition stammt aus der Theorie der quadratischen Formen. Es gibt einen natürlichen Homomorphismus , sein Kokern ist per Definition die unzerlegbare K-Theorie . Für Zahlkörper gilt .

Beispiele Bearbeiten

Für einen endlichen Körper und gilt

Für einen algebraischen Zahlkörper und gilt

wobei die Anzahl der reellen Stellen von ist.

Milnorvermutung Bearbeiten

Es gibt Isomorphismen

zwischen den milnorschen -Gruppen eines Körpers der Charakteristik ungleich zwei und der Galoiskohomologie bzw. dem graduierten Witt-Ring von . Unter anderem für den Beweis dieses als Milnorvermutung bekannten Resultates wurde Wladimir Wojewodski auf dem internationalen Mathematikerkongress 2002 die Fieldsmedaille verliehen. Der Beweis basiert auf der von Wojewodski entwickelten Homotopietheorie algebraischer Varietäten und der von Beilinson und Lichtenbaum entworfenen motivischen Kohomologie.

Quillens K-Theorie Bearbeiten

Die umfassendste Definition einer -Theorie wurde von D. Quillen angegeben.

Klassifizierende Räume von Kategorien Bearbeiten

Für eine kleine Kategorie sei der Nerv definiert als die simpliziale Menge, deren -Simplizes die Diagramme

sind. Die geometrische Realisierung von heißt klassifizierender Raum von .

Quillens Q-Konstruktion Bearbeiten

Es sei eine exakte Kategorie, d. h. eine additive Kategorie zusammen mit einer Klasse von „exakten“ Diagrammen

für die gewisse Axiome gelten, die den Eigenschaften kurzer exakter Sequenzen in einer abelschen Kategorie nachgebildet sind.

Zu einer exakten Kategorie sei nun die Kategorie definiert als die Kategorie, deren Objekte dieselben sind wie die von und deren Morphismen zwischen zwei Objekten und Isomorphieklassen von exakten Diagrammen

sind.

Die K-Gruppen Bearbeiten

Die -te K-Gruppe von ist dann definiert durch

mit einem fest gewählten Nullobjekt 0. Hierbei sind die die (höheren) Homotopiegruppen.

stimmt mit der Grothendieckgruppe von überein, also mit dem Quotienten der freien abelschen Gruppe über den Isomorphieklassen in nach der Untergruppe, die von

für Diagramme

in erzeugt wird.

Für einen unitären Ring sind die -Gruppen die eben definierten -Gruppen der Kategorie der endlich erzeugten projektiven -Moduln.

Für noethersche unitäre Ringe werden außerdem die Gruppen definiert als die -Gruppen der Kategorie aller endlich erzeugten -Moduln.

Für Schemata definiert Quillen , wobei die Kategorie der Vektorbündel auf ist.

Beispiele Bearbeiten

Endliche Körper Bearbeiten

Sei der Körper mit Elementen. Dann ist

Die ganzen Zahlen Bearbeiten

Für die -Gruppen von gilt

Ist , so ist eine endliche Gruppe und ist , dann ist die direkte Summe aus und einer endlichen Gruppe. Mit Hilfe des Rost-Voevodsky-Theorems kann man für auch den ungeraden Torsionsanteil in bestimmen. Für ist , falls die Kummer-Vandiver-Vermutung richtig ist.

Gruppenringe Bearbeiten

Die Farrell-Jones-Vermutung beschreibt die algebraische K-Theorie des Gruppenringes , wenn man die algebraische K-Theorie des Ringes kennt. Sie ist in verschiedenen Spezialfällen bewiesen, zum Beispiel für CAT(0)-Gruppen .

Die algebraische K-Theorie des Gruppenringes von Fundamentalgruppen hat Anwendungen in der algebraischen Topologie. Walls Endlichkeits-Obstruktion für CW-Komplexe ist ein Element in . Die Obstruktion für die Einfachheit einer Homotopieäquivalenz ist die Whitehead-Torsion in (siehe s-Kobordismus-Satz).

Zahlkörper und Ganzheitsringe Bearbeiten

Sei ein Zahlkörper mit reellen und komplexen Einbettungen in . Sei der Ganzheitsring von . Dann ist für alle :

Die Isomorphismen werden durch den Borel-Regulator realisiert.

Für ist .

Literatur Bearbeiten

  • Daniel Quillen: Higher algebraic K-theory: I. In: H. Bass (Hrsg.): Higher K-Theories. Lecture Notes in Mathematics, Band 341. Springer-Verlag, Berlin 1973, ISBN 3-540-06434-6
  • Jonathan Rosenberg: Algebraic K-theory and its applications. Graduate Texts in Mathematics, 147. Springer-Verlag, New York, 1994. ISBN 0-387-94248-3
  • V. Srinivas: Algebraic K-theory. Reprint of the 1996 second edition. Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2008. ISBN 978-0-8176-4736-0.
  • Charles Weibel: The K-book. An introduction to algebraic K-theory. Graduate Studies in Mathematics, 145. American Mathematical Society, Providence, RI, 2013. ISBN 978-0-8218-9132-2 (online).

Weblinks Bearbeiten

Quellen Bearbeiten

  1. Rognes: K4(Z) is the trivial group. In: Topology. 39, Nr. 2, 2000, S. 267–281 (folk.uio.no PDF; 145 kB).
  2. Elbaz-Vincent, Gangl, Soulé: Quelques calculs de la cohomologie de GL_N(Z) et de la K-theorie de Z. In: C. R. Math. Acad. Sci. Paris. 335, Nr. 4, 2002, S. 321–324 (arxiv.org PDF; 229 kB).
  3. Weibel: Algebraic K-theory of rings of integers in local and global fields. (math.uiuc.edu PDF; 506 kB).
  4. Borel: Stable real cohomology of arithmetic groups. In: Ann. Sci. École Norm. Sup. 4, Nr. 7, 1974, S. 235–272 (archive.numdam.org PDF; 3,4 MB)
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Das mathematische Teilgebiet der Algebraischen K Theorie beschaftigt sich mit dem Studium von Ringen bzw Vektorbundeln auf Schemata A displaystyle A sei stets ein unitarer Ring Die algebraischen K Gruppen sind eine Folge abelscher Gruppen K n A n N displaystyle left K n A right n in mathbb N die dem Ring A displaystyle A zugeordnet sein sollen und Informationen uber diesen kodieren Es gibt in der Mathematik verschiedene Arten von K Theorien Mit algebraischer K Theorie ist in aller Regel die auf Quillen zuruckgehende Definition gemeint Milnors K Theorie K n M A displaystyle K n M A stimmt mit dieser im Allgemeinen nur fur n 2 displaystyle n leq 2 uberein Die Entwicklung der algebraischen K Theorie wurde unter anderem von der topologischen K Theorie motiviert sie hangt aber nicht unmittelbar mit dieser zusammen Inhaltsverzeichnis 1 Niedrige Dimensionen 1 1 K0 1 1 1 Eigenschaften 1 1 2 Beispiele 1 2 K1 1 3 K2 2 Milnors K Theorie 2 1 Beispiele 2 2 Milnorvermutung 3 Quillens K Theorie 3 1 Klassifizierende Raume von Kategorien 3 2 Quillens Q Konstruktion 3 3 Die K Gruppen 3 3 1 Beispiele 3 3 1 1 Endliche Korper 3 3 1 2 Die ganzen Zahlen 3 3 1 3 Gruppenringe 3 3 1 4 Zahlkorper und Ganzheitsringe 4 Literatur 5 Weblinks 6 QuellenNiedrige Dimensionen BearbeitenK0 Bearbeiten Der Funktor K 0 displaystyle K 0 nbsp ist ein kovarianter Funktor von der Kategorie der Ringe mit Einselement in die Kategorie der Gruppen er ordnet einem Ring R displaystyle R nbsp die Grothendieck Gruppe K 0 R displaystyle K 0 R nbsp der Isomorphieklassen von endlich erzeugten projektiven Moduln zu Gelegentlich betrachtet man auch die reduzierte K Gruppe K 0 R displaystyle tilde K 0 R nbsp diese ist der Quotient von K 0 R displaystyle K 0 R nbsp nach der vom freien R displaystyle R nbsp Modul R displaystyle R nbsp erzeugten zyklischen Gruppe Eigenschaften Bearbeiten Morita Invarianz Fur jeden Ring A displaystyle A nbsp und n N displaystyle n in mathbb N nbsp gibt es einen kanonischen Isomorphismus K 0 A K 0 M n A displaystyle K 0 A rightarrow K 0 M n A nbsp Serre Swan Theorem Sei X displaystyle X nbsp ein kompakter Hausdorffraum und C X displaystyle C X nbsp der Ring der stetigen Funktionen Dann gibt es einen Isomorphismus zwischen topologischer K Theorie des Raumes und algebraischer K Theorie des Ringes K X K 0 C X displaystyle K X cong K 0 C X nbsp Beispiele Bearbeiten Ist A displaystyle A nbsp ein Dedekindring so istK 0 A P i c A Z displaystyle K 0 A mathop mathrm Pic A times mathbf Z nbsp Fur Korper Hauptidealringe oder lokale Ringe sind alle projektiven Moduln frei die K Theorie ist deshalb isomorph zu Z displaystyle mathbb Z nbsp K1 Bearbeiten Hyman Bass schlug die folgende Definition fur einen Funktor K 1 displaystyle K 1 nbsp vor K 1 A displaystyle K 1 A nbsp ist die Abelisierung der unendlichen allgemeinen linearen Gruppe K 1 A G L A a b displaystyle K 1 A GL A ab nbsp Dabei ist G L A colim G L n A displaystyle GL A operatorname colim GL n A nbsp wobei G L n A displaystyle GL n A nbsp in die obere linke Ecke von G L n 1 A displaystyle GL n 1 A nbsp eingebettet werde G L n A M M 0 0 1 G L n 1 A displaystyle GL n A ni M mapsto begin pmatrix M amp 0 0 amp 1 end pmatrix in GL n 1 A nbsp Siehe dazu auch das Lemma von Whitehead Fur einen Korper k displaystyle k nbsp ist K 1 k displaystyle K 1 k nbsp die Einheitengruppe K2 Bearbeiten J Milnor fand den richtigen Kandidaten fur K 2 displaystyle K 2 nbsp Es sei die Steinberggruppe nach Robert Steinberg S t A displaystyle St A nbsp eines Ringes A displaystyle A nbsp definiert als die Gruppe mit den Erzeugern x i j r displaystyle x ij r nbsp fur positive ganze Zahlen i j displaystyle i not j nbsp und Ringelemente r displaystyle r nbsp und mit den Relationen x i j r x i j r x i j r r displaystyle mathrm x ij r mathrm x ij r mathrm x ij r r nbsp x i j r x j k r x i k r r displaystyle mathrm x ij r mathrm x jk r mathrm x ik rr nbsp fur i k displaystyle i not k nbsp x i j r x k l r 1 displaystyle mathrm x ij r mathrm x kl r 1 nbsp fur i l j k displaystyle i not l j not k nbsp Diese Relationen gelten auch fur die Elementarmatrizen deshalb gibt es einen Gruppenhomomorphismus f S t A G L A displaystyle varphi colon mathrm St A to mathrm GL A nbsp K 2 A displaystyle K 2 A nbsp ist nun per Definition der Kern dieser Abbildung f displaystyle varphi nbsp Man kann zeigen dass er mit dem Zentrum von S t A displaystyle St A nbsp ubereinstimmt K 1 displaystyle K 1 nbsp und K 2 displaystyle K 2 nbsp sind durch die exakte Sequenz 1 K 2 A S t A G L A K 1 A 1 displaystyle 1 longrightarrow K 2 A longrightarrow mathrm St A longrightarrow mathrm GL A longrightarrow K 1 A longrightarrow 1 nbsp verbunden Fur einen kommutativen Korper k displaystyle k nbsp gilt der Satz von Matsumoto K 2 k k Z k a 1 a a 0 1 displaystyle K 2 k k times otimes mathbb Z k times langle a otimes 1 a mid a not 0 1 rangle nbsp Milnors K Theorie BearbeitenJ Milnor definierte fur einen Korper k displaystyle k nbsp hohere K displaystyle K nbsp Gruppen durch K M k T k a 1 a displaystyle K M k T k times a otimes 1 a nbsp also als graduierte Bestandteile des Quotienten der Tensoralgebra uber der abelschen Gruppe k x displaystyle k x nbsp nach dem zweiseitigen Ideal das von den Elementen der Form a 1 a displaystyle a otimes 1 a nbsp fur a 0 1 displaystyle a not 0 1 nbsp erzeugt wird Fur n 0 1 2 displaystyle n 0 1 2 nbsp stimmen die milnorschen K displaystyle K nbsp Gruppen mit den oben definierten uberein Die Motivation zu dieser Definition stammt aus der Theorie der quadratischen Formen Es gibt einen naturlichen Homomorphismus K i M k K i k displaystyle K i M k rightarrow K i k nbsp sein Kokern ist per Definition die unzerlegbare K Theorie K i i n d k displaystyle K i ind k nbsp Fur Zahlkorper gilt K i i n d k K i k displaystyle K i ind k K i k nbsp Beispiele Bearbeiten Fur einen endlichen Korper k displaystyle k nbsp und n 0 1 displaystyle n not 0 1 nbsp gilt K n M k 0 displaystyle K n M k 0 nbsp Fur einen algebraischen Zahlkorper k displaystyle k nbsp und n 0 1 2 displaystyle n not 0 1 2 nbsp gilt K n M k Z 2 r 1 displaystyle K n M k mathbb Z 2 r 1 nbsp wobei r 1 displaystyle r 1 nbsp die Anzahl der reellen Stellen von k displaystyle k nbsp ist Milnorvermutung Bearbeiten Es gibt Isomorphismen K M k 2 H e t k Z 2 displaystyle K M k 2 longrightarrow H et k mathbb Z 2 nbsp K M k 2 G r W k displaystyle K M k 2 longrightarrow GrW k nbsp zwischen den milnorschen K displaystyle K nbsp Gruppen eines Korpers k displaystyle k nbsp der Charakteristik ungleich zwei und der Galoiskohomologie bzw dem graduierten Witt Ring von k displaystyle k nbsp Unter anderem fur den Beweis dieses als Milnorvermutung bekannten Resultates wurde Wladimir Wojewodski auf dem internationalen Mathematikerkongress 2002 die Fieldsmedaille verliehen Der Beweis basiert auf der von Wojewodski entwickelten Homotopietheorie algebraischer Varietaten und der von Beilinson und Lichtenbaum entworfenen motivischen Kohomologie Quillens K Theorie BearbeitenDie umfassendste Definition einer K displaystyle K nbsp Theorie wurde von D Quillen angegeben Klassifizierende Raume von Kategorien Bearbeiten Fur eine kleine Kategorie C displaystyle C nbsp sei der Nerv N C displaystyle N C nbsp definiert als die simpliziale Menge deren p displaystyle p nbsp Simplizes die Diagramme X 0 X 1 X p displaystyle X 0 longrightarrow X 1 longrightarrow ldots longrightarrow X p nbsp sind Die geometrische Realisierung B C displaystyle BC nbsp von N C displaystyle N C nbsp heisst klassifizierender Raum von C displaystyle C nbsp Quillens Q Konstruktion Bearbeiten Es sei P displaystyle P nbsp eine exakte Kategorie d h eine additive Kategorie zusammen mit einer Klasse E displaystyle E nbsp von exakten Diagrammen M M M displaystyle M longrightarrow M longrightarrow M nbsp fur die gewisse Axiome gelten die den Eigenschaften kurzer exakter Sequenzen in einer abelschen Kategorie nachgebildet sind Zu einer exakten Kategorie P displaystyle P nbsp sei nun die Kategorie Q P displaystyle Q P nbsp definiert als die Kategorie deren Objekte dieselben sind wie die von P displaystyle P nbsp und deren Morphismen zwischen zwei Objekten M displaystyle M prime nbsp und M displaystyle M prime prime nbsp Isomorphieklassen von exakten Diagrammen M N M displaystyle M longrightarrow N longrightarrow M nbsp sind Die K Gruppen Bearbeiten Die i displaystyle i nbsp te K Gruppe von P displaystyle P nbsp ist dann definiert durch K i P p i 1 B Q P 0 displaystyle K i P pi i 1 mathrm BQ P 0 nbsp mit einem fest gewahlten Nullobjekt 0 Hierbei sind die p i displaystyle pi i nbsp die hoheren Homotopiegruppen K 0 P displaystyle K 0 P nbsp stimmt mit der Grothendieckgruppe von P displaystyle P nbsp uberein also mit dem Quotienten der freien abelschen Gruppe uber den Isomorphieklassen in P displaystyle P nbsp nach der Untergruppe die von M M M displaystyle M M M nbsp fur Diagramme M M M displaystyle M longrightarrow M longrightarrow M nbsp in E displaystyle E nbsp erzeugt wird Fur einen unitaren Ring A displaystyle A nbsp sind die K displaystyle K nbsp Gruppen K i A displaystyle K i A nbsp die eben definierten K displaystyle K nbsp Gruppen der Kategorie der endlich erzeugten projektiven A displaystyle A nbsp Moduln Fur noethersche unitare Ringe werden ausserdem die Gruppen K i A displaystyle K i prime A nbsp definiert als die K displaystyle K nbsp Gruppen der Kategorie aller endlich erzeugten A displaystyle A nbsp Moduln Fur Schemata X displaystyle X nbsp definiert Quillen K X K P X displaystyle K X K mathrm P X nbsp wobei P X displaystyle mathrm P X nbsp die Kategorie der Vektorbundel auf X displaystyle X nbsp ist Beispiele Bearbeiten Endliche Korper Bearbeiten Sei F q displaystyle mathbb F q nbsp der Korper mit q displaystyle q nbsp Elementen Dann ist K 0 F q Z displaystyle K 0 mathbb F q mathbb Z nbsp K 2 i 1 F q Z q i 1 Z displaystyle K 2i 1 mathbb F q mathbb Z q i 1 mathbb Z nbsp fur alle i 1 displaystyle i geq 1 nbsp K 2 i F q 0 displaystyle K 2i mathbb F q 0 nbsp fur alle i 1 displaystyle i geq 1 nbsp Die ganzen Zahlen Bearbeiten Fur die K displaystyle K nbsp Gruppen von Z displaystyle mathbb Z nbsp gilt 1 2 K 0 Z Z K 1 Z Z 2 Z K 2 Z Z 2 Z K 3 Z Z 48 Z K 4 Z 0 K 5 Z Z displaystyle begin aligned K 0 mathbb Z amp mathbb Z K 1 mathbb Z amp mathbb Z 2 mathbb Z K 2 mathbb Z amp mathbb Z 2 mathbb Z K 3 mathbb Z amp mathbb Z 48 mathbb Z K 4 mathbb Z amp 0 K 5 mathbb Z amp mathbb Z end aligned nbsp Ist i 1 mod 4 displaystyle i not equiv 1 operatorname mod 4 nbsp so ist K i Z displaystyle K i mathbb Z nbsp eine endliche Gruppe und ist i 1 mod 4 displaystyle i equiv 1 operatorname mod 4 nbsp dann ist K i Z displaystyle K i mathbb Z nbsp die direkte Summe aus Z displaystyle mathbb Z nbsp und einer endlichen Gruppe Mit Hilfe des Rost Voevodsky Theorems kann man fur i 0 mod 4 displaystyle i not equiv 0 operatorname mod 4 nbsp auch den ungeraden Torsionsanteil in K i Z displaystyle K i mathbb Z nbsp bestimmen 3 Fur i 0 mod 4 displaystyle i equiv 0 operatorname mod 4 nbsp ist K i Z 0 displaystyle K i mathbb Z 0 nbsp falls die Kummer Vandiver Vermutung richtig ist Gruppenringe Bearbeiten Die Farrell Jones Vermutung beschreibt die algebraische K Theorie des Gruppenringes R G displaystyle R left G right nbsp wenn man die algebraische K Theorie des Ringes R displaystyle R nbsp kennt Sie ist in verschiedenen Spezialfallen bewiesen zum Beispiel fur CAT 0 Gruppen G displaystyle G nbsp Die algebraische K Theorie des Gruppenringes Z G displaystyle mathbb Z Gamma nbsp von Fundamentalgruppen G displaystyle Gamma nbsp hat Anwendungen in der algebraischen Topologie Walls Endlichkeits Obstruktion fur CW Komplexe ist ein Element in K 0 Z G displaystyle tilde K 0 mathbb Z Gamma nbsp Die Obstruktion fur die Einfachheit einer Homotopieaquivalenz ist die Whitehead Torsion in W h G K 1 Z G G displaystyle Wh Gamma K 1 mathbb Z Gamma left pm Gamma right nbsp siehe s Kobordismus Satz Zahlkorper und Ganzheitsringe Bearbeiten Sei F displaystyle F nbsp ein Zahlkorper mit r 1 displaystyle r 1 nbsp reellen und 2 r 2 displaystyle 2r 2 nbsp komplexen Einbettungen in C displaystyle mathbb C nbsp Sei O F displaystyle O F nbsp der Ganzheitsring von F displaystyle F nbsp Dann ist fur alle i 1 displaystyle i geq 1 nbsp K 4 i 2 O F Q 0 displaystyle K 4i 2 O F otimes mathbb Q 0 nbsp K 4 i 1 O F Q Q r 2 displaystyle K 4i 1 O F otimes mathbb Q mathbb Q r 2 nbsp K 4 i O F Q 0 displaystyle K 4i O F otimes mathbb Q 0 nbsp K 4 i 1 O F Q Q r 1 r 2 displaystyle K 4i 1 O F otimes mathbb Q mathbb Q r 1 r 2 nbsp Die Isomorphismen werden durch den Borel Regulator realisiert 4 Fur n 2 displaystyle n geq 2 nbsp ist K n F Q K n O F Q displaystyle K n F otimes mathbb Q cong K n O F otimes mathbb Q nbsp Literatur BearbeitenDaniel Quillen Higher algebraic K theory I In H Bass Hrsg Higher K Theories Lecture Notes in Mathematics Band 341 Springer Verlag Berlin 1973 ISBN 3 540 06434 6 Jonathan Rosenberg Algebraic K theory and its applications Graduate Texts in Mathematics 147 Springer Verlag New York 1994 ISBN 0 387 94248 3 V Srinivas Algebraic K theory Reprint of the 1996 second edition Modern Birkhauser Classics Birkhauser Boston Inc Boston MA 2008 ISBN 978 0 8176 4736 0 Charles Weibel The K book An introduction to algebraic K theory Graduate Studies in Mathematics 145 American Mathematical Society Providence RI 2013 ISBN 978 0 8218 9132 2 online Weblinks BearbeitenBernd Herzog Einfuhrung in die algebraische K Theorie Max Karoubi Lectures on K theory PDF 400 kB Daniel Grayson On the K theory of fields PDF 1 4 MB Quellen Bearbeiten Rognes K4 Z is the trivial group In Topology 39 Nr 2 2000 S 267 281 folk uio no PDF 145 kB Elbaz Vincent Gangl Soule Quelques calculs de la cohomologie de GL N Z et de la K theorie de Z In C R Math Acad Sci Paris 335 Nr 4 2002 S 321 324 arxiv org PDF 229 kB Weibel Algebraic K theory of rings of integers in local and global fields math uiuc edu PDF 506 kB Borel Stable real cohomology of arithmetic groups In Ann Sci Ecole Norm Sup 4 Nr 7 1974 S 235 272 archive numdam org PDF 3 4 MB Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Algebraische K Theorie amp oldid 223068244