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Grothendieck Gruppe Die ist eine mathematische Konstruktion die einer kommutativen Halbgruppe eine Gruppe zuordnet Diese

Grothendieck-Gruppe

Die Grothendieck-Gruppe ist eine mathematische Konstruktion, die einer kommutativen Halbgruppe eine Gruppe zuordnet. Diese nach Alexander Grothendieck benannte Konstruktion ist der Lokalisierung aus der Ringtheorie nachempfunden und kann wie diese durch eine universelle Eigenschaft beschrieben werden.

Universelle Eigenschaft Bearbeiten

Es gilt folgender Satz:

Ist eine kommutative Halbgruppe, so gibt es eine kommutative Gruppe und einen Halbgruppen-Homomorphismus mit folgender Eigenschaft: Zu jeder Gruppe und jedem Halbgruppen-Homomorphismus gibt es genau einen Gruppen-Homomorphismus mit .

Konstruktion Bearbeiten

Ein Beweis ergibt sich aus folgender Konstruktion, die der Lokalisierung aus der Ringtheorie nachempfunden ist. Sei eine kommutative Halbgruppe. Auf dem kartesischen Produkt definiere man eine Äquivalenzrelation durch

.

Man zeigt nun, dass dies tatsächlich eine Äquivalenzrelation definiert, die Äquivalenzklasse von wird mit bezeichnet. Man setzt nun und zeigt weiter, dass durch eine Gruppenverknüpfung auf definiert wird. Dabei ist das neutrale Element (unabhängig von ), die Inversenbildung ist durch die Formel gegeben. Setzt man schließlich , so kann man zeigen, dass und die Bedingung aus der universellen Eigenschaft erfüllen.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Wie üblich zeigt man mit Hilfe der universellen Eigenschaft, dass die Gruppe bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist. Man nennt daher die Grothendieck-Gruppe von .
  • Der Halbgruppen-Homomorphismus aus obiger universeller Eigenschaft ist genau dann injektiv, wenn die Halbgruppe die Kürzbarkeitseigenschaft hat.

Beispiele Bearbeiten

  • Für die Halbgruppe fällt die Bildung der Grothendieck-Gruppe mit der üblichen Konstruktion der ganzen Zahlen zusammen. Man hat daher , wobei der Isomorphismus durch gegeben ist. Identifiziert man die Grothendieck-Gruppe von mit , so ist die Inklusion . Dabei spielt es keine Rolle, ob man unter die natürlichen Zahlen mit oder ohne Null versteht.
  • Ganz ähnliche Überlegungen zur multiplikativen Halbgruppe führen zu , und bei dieser Identifikation fällt wieder mit der Inklusion zusammen.
  • Bei der multiplikativen Halbgruppe (der Index 0 signalisiere, dass die Null zu gehört) liegt keine Kürzungseigenschaft vor. In diesem Fall sind je zwei Paare und äquivalent, denn es gilt . Daher ist und für alle .

Grothendieck-Gruppe als Funktor Bearbeiten

Die oben beschriebene Konstruktion ordnet jeder kommutativen Halbgruppe eine kommutative Gruppe zu. Ist ein Halbgruppen-Homomorphismus in der Kategorie der kommutativen Halbgruppen, so kann man wie folgt einen Gruppenhomomorphismus konstruieren. Mittels erhält man zunächst einen Halbgruppen-Homomorphismus und daraus mittels der universellen Eigenschaft einen Gruppen-Homomorphismus mit .

Durch diese Definition wird zu einem kovarianten Funktor von der Kategorie in die Kategorie der abelschen Gruppen.

Betrachtet man eine abelsche Gruppe nur als Halbgruppe, so kann man bilden. Es stellt sich heraus, dass , wobei der Isomorphismus durch gegeben ist. In der Tat ist linksadjungiert zum Vergissfunktor .

Anwendung Bearbeiten

Neben der oben beschriebenen Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen ist die Bildung der K0-Gruppe eines Ringes eine wichtige Anwendung. Zu jedem Ring betrachtet man die Menge (!) der Isomorphieklassen endlich erzeugter projektiver -links-Moduln mit der direkten Summe als Halbgruppenverknüpfung. Die K0-Gruppe des Ringes wird dann als Grothendieck-Gruppe von definiert.

Literatur Bearbeiten

  • Jonathan Rosenberg: Algebraic K-Theory and Its Applications (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 147). Springer, New York NY u. a. 1994, ISBN 3-540-94248-3.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Grothendieck Gruppe ist eine mathematische Konstruktion die einer kommutativen Halbgruppe eine Gruppe zuordnet Diese nach Alexander Grothendieck benannte Konstruktion ist der Lokalisierung aus der Ringtheorie nachempfunden und kann wie diese durch eine universelle Eigenschaft beschrieben werden Inhaltsverzeichnis 1 Universelle Eigenschaft 2 Konstruktion 3 Eigenschaften 4 Beispiele 5 Grothendieck Gruppe als Funktor 6 Anwendung 7 LiteraturUniverselle Eigenschaft Bearbeiten nbsp Es gilt folgender Satz Ist H displaystyle H nbsp eine kommutative Halbgruppe so gibt es eine kommutative Gruppe G H displaystyle mathcal G H nbsp und einen Halbgruppen Homomorphismus ϕ H H G H displaystyle phi H colon H rightarrow mathcal G H nbsp mit folgender Eigenschaft Zu jeder Gruppe G displaystyle G nbsp und jedem Halbgruppen Homomorphismus ϕ H G displaystyle phi colon H rightarrow G nbsp gibt es genau einen Gruppen Homomorphismus ps G H G displaystyle psi colon mathcal G H rightarrow G nbsp mit ϕ ps ϕ H displaystyle phi psi circ phi H nbsp Konstruktion BearbeitenEin Beweis ergibt sich aus folgender Konstruktion die der Lokalisierung aus der Ringtheorie nachempfunden ist Sei H displaystyle H nbsp eine kommutative Halbgruppe Auf dem kartesischen Produkt H 2 H H displaystyle H 2 H times H nbsp definiere man eine Aquivalenzrelation durch x y x y t H x y t x y t displaystyle x y sim x y quad Leftrightarrow quad exists t in H x y t x y t nbsp Man zeigt nun dass dies tatsachlich eine Aquivalenzrelation definiert die Aquivalenzklasse von x y displaystyle x y nbsp wird mit x y displaystyle x y nbsp bezeichnet Man setzt nun G H H 2 displaystyle mathcal G H H 2 sim nbsp und zeigt weiter dass durch x y x y x x y y displaystyle x y x y x x y y nbsp eine Gruppenverknupfung auf G H displaystyle mathcal G H nbsp definiert wird Dabei ist x x displaystyle x x nbsp das neutrale Element unabhangig von x H displaystyle x in H nbsp die Inversenbildung ist durch die Formel x y y x displaystyle x y y x nbsp gegeben Setzt man schliesslich ϕ H H G H x x x x displaystyle phi H colon H rightarrow mathcal G H x mapsto x x x nbsp so kann man zeigen dass G H displaystyle mathcal G H nbsp und ϕ H displaystyle phi H nbsp die Bedingung aus der universellen Eigenschaft erfullen Eigenschaften BearbeitenWie ublich zeigt man mit Hilfe der universellen Eigenschaft dass die Gruppe G H displaystyle mathcal G H nbsp bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt ist Man nennt daher G H displaystyle mathcal G H nbsp die Grothendieck Gruppe von H displaystyle H nbsp Der Halbgruppen Homomorphismus ϕ H displaystyle phi H nbsp aus obiger universeller Eigenschaft ist genau dann injektiv wenn die Halbgruppe die Kurzbarkeitseigenschaft hat Beispiele BearbeitenFur die Halbgruppe H N displaystyle H mathbb N nbsp fallt die Bildung der Grothendieck Gruppe mit der ublichen Konstruktion der ganzen Zahlen zusammen Man hat daher G N Z displaystyle mathcal G mathbb N cong mathbb Z nbsp wobei der Isomorphismus durch n m n m displaystyle n m mapsto n m nbsp gegeben ist Identifiziert man die Grothendieck Gruppe von N displaystyle mathbb N nbsp mit Z displaystyle mathbb Z nbsp so ist ϕ H displaystyle phi H nbsp die Inklusion N Z displaystyle mathbb N subset mathbb Z nbsp Dabei spielt es keine Rolle ob man unter N displaystyle mathbb N nbsp die naturlichen Zahlen mit oder ohne Null versteht Ganz ahnliche Uberlegungen zur multiplikativen Halbgruppe H N 0 displaystyle H mathbb N setminus 0 cdot nbsp fuhren zu G N 0 Q displaystyle mathcal G mathbb N setminus 0 cdot cong mathbb Q cdot nbsp und bei dieser Identifikation fallt ϕ H displaystyle phi H nbsp wieder mit der Inklusion N 0 Q displaystyle mathbb N setminus 0 subset mathbb Q nbsp zusammen Bei der multiplikativen Halbgruppe H N 0 displaystyle H mathbb N 0 cdot nbsp der Index 0 signalisiere dass die Null zu N 0 displaystyle N 0 nbsp gehort liegt keine Kurzungseigenschaft vor In diesem Fall sind je zwei Paare m n displaystyle m n nbsp und m n displaystyle m n nbsp aquivalent denn es gilt m n 0 m n 0 displaystyle m cdot n cdot 0 m cdot n cdot 0 nbsp Daher ist G N 0 0 displaystyle mathcal G mathbb N 0 cdot cong 0 nbsp und ϕ H n 0 displaystyle phi H n 0 nbsp fur alle n N 0 displaystyle n in mathbb N 0 nbsp Grothendieck Gruppe als Funktor Bearbeiten nbsp Die oben beschriebene Konstruktion ordnet jeder kommutativen Halbgruppe eine kommutative Gruppe zu Ist ϕ H K displaystyle phi colon H rightarrow K nbsp ein Halbgruppen Homomorphismus in der Kategorie H displaystyle mathcal H nbsp der kommutativen Halbgruppen so kann man wie folgt einen Gruppenhomomorphismus G ϕ G H G K displaystyle mathcal G phi colon mathcal G H rightarrow mathcal G K nbsp konstruieren Mittels ϕ K K G K displaystyle phi K colon K rightarrow mathcal G K nbsp erhalt man zunachst einen Halbgruppen Homomorphismus ϕ K ϕ H G K displaystyle phi K circ phi colon H rightarrow mathcal G K nbsp und daraus mittels der universellen Eigenschaft einen Gruppen Homomorphismus G ϕ G H G K displaystyle mathcal G phi colon mathcal G H rightarrow mathcal G K nbsp mit ϕ K ϕ G ϕ ϕ H displaystyle phi K circ phi mathcal G phi circ phi H nbsp Durch diese Definition wird G displaystyle mathcal G nbsp zu einem kovarianten Funktor von der Kategorie H displaystyle mathcal H nbsp in die Kategorie A b displaystyle mathcal A b nbsp der abelschen Gruppen Betrachtet man eine abelsche Gruppe G displaystyle G nbsp nur als Halbgruppe so kann man G G displaystyle mathcal G G nbsp bilden Es stellt sich heraus dass G G G displaystyle mathcal G G cong G nbsp wobei der Isomorphismus durch x y x y displaystyle x y mapsto x y nbsp gegeben ist In der Tat ist G H A b displaystyle mathcal G colon mathcal H rightarrow mathcal A b nbsp linksadjungiert zum Vergissfunktor A b H displaystyle mathcal A b rightarrow mathcal H nbsp Anwendung BearbeitenNeben der oben beschriebenen Konstruktion der ganzen Zahlen aus den naturlichen Zahlen ist die Bildung der K0 Gruppe eines Ringes eine wichtige Anwendung Zu jedem Ring R displaystyle R nbsp betrachtet man die Menge P r o j R displaystyle mathrm Proj R nbsp der Isomorphieklassen endlich erzeugter projektiver R displaystyle R nbsp links Moduln mit der direkten Summe als Halbgruppenverknupfung Die K0 Gruppe des Ringes R displaystyle R nbsp wird dann als Grothendieck Gruppe von P r o j R displaystyle mathrm Proj R nbsp definiert Literatur BearbeitenJonathan Rosenberg Algebraic K Theory and Its Applications Graduate Texts in Mathematics Bd 147 Springer New York NY u a 1994 ISBN 3 540 94248 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Grothendieck Gruppe amp oldid 197650652