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K Theorie Das mathematische Teilgebiet der beschäftigt sich mit dem Studium von Vektorbündeln auf topologischen Räumen t

K-Theorie

Das mathematische Teilgebiet der K-Theorie beschäftigt sich mit dem Studium von Vektorbündeln auf topologischen Räumen (topologische K-Theorie) oder von Ringen bzw. Schemata (algebraische K-Theorie). Der Name K-Theorie wurde von Alexander Grothendieck kreiert; das K steht für „Klasse“ in einem sehr allgemeinen Sinn.

Geschichte Bearbeiten

Um seine Arbeiten zum Satz von Riemann-Roch zu verallgemeinern entwickelte Grothendieck einen neuen Funktor auf der Kategorie der glatten algebraischen Varietäten . Die Elemente von waren Klassen algebraischer Vektorbündel über . Diese Theorie hatte analoge Eigenschaften zu klassischen Kohomologietheorien. Charakteristische Klassen, insbesondere der Chern-Charakter, definieren Morphismen von in Kohomologietheorien.

Unmittelbar nach Grothendieck betrachteten Atiyah und Hirzebruch eine analoge Konstruktion für beliebige kompakte Räume , die topologische K-Theorie , heute meist als bezeichnet. Diese topologische K-Theorie ist einfacher zu berechnen als Grothendiecks K-Gruppen, zum Beispiel gibt der Chern-Charakter einen Isomorphismus und man hat Bott-Periodizität.

Topologische K-Theorie hat Kohomologie-Operationen, die mittels äußerer Produkte von Vektorbündeln definiert werden (sogenannte Adams-Operationen) und damit eine geometrischere Natur haben als die Steenrod-Operationen in singulärer Kohomologie. Diese Operationen hatten in den 60er Jahren spektakuläre Anwendungen. Zum Beispiel berechnete Frank Adams mit ihrer Hilfe die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektorfelder auf Sphären beliebiger Dimension. Andere Anwendungen ergaben sich in globaler Analysis (einer der Beweise des Atiyah-Singer-Indexsatzes benutzte topologische K-Theorie) und der Theorie der C*-Algebren.

Die Verallgemeinerung der topologischen K-Theorie in der nichtkommutativen Geometrie führte zur K-Theorie von Banachalgebren.

Die algebraischen K-Gruppen wurden von Bass definiert, sie hatten Anwendungen bei Lösungen des "congruence subgroup problem" und beim s-Kobordismus-Satz.

Als nächstes gab Milnor eine Definition der algebraischen K-Gruppen . Ihre Berechnung für Körper (Satz von Matsumoto) war die Grundlage für Anwendungen von in Algebra und Zahlentheorie, in Zusammenhang mit der Brauer-Gruppe und Galois-Kohomologie.

Es gab dann verschiedene Ansätze zur Definition höherer K-Gruppen. Die heute allgemein verwandte Definition wurde 1974 von Daniel Quillen auf dem Internationalen Mathematiker-Kongress vorgeschlagen.

Topologische K-Theorie Bearbeiten

Es sei ein fester kompakter Hausdorffraum. Dann ist der Quotient der freien abelschen Gruppe auf den Isomorphieklassen von komplexen Vektorbündeln über nach der Untergruppe, die von Elementen der Form

für Vektorbündel erzeugt wird. Diese Konstruktion, die der Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen nachempfunden ist, heißt Grothendieck-Gruppe (nach Alexander Grothendieck).

Zwei Vektorbündel und auf definieren genau dann dasselbe Element in , wenn sie stabil äquivalent sind, d. h. wenn es ein triviales Vektorbündel gibt, so dass

Mit dem Tensorprodukt von Vektorbündeln wird zu einem kommutativen Ring mit Einselement.

Der Begriff des Ranges eines Vektorbündels überträgt sich auf Elemente der -Theorie. Die reduzierte K-Theorie ist die Untergruppe der Elemente von Rang 0. Weiter führt man die Bezeichnung ein; dabei bezeichnet die reduzierte Einhängung.

K ist ein kontravarianter Funktor auf der Kategorie der kompakten Hausdorffräume. Er erfüllt Bott-Periodizität mit Periode 2.

Wenn man die analogen Konstruktionen mit reellen Vektorbündeln durchführt, erhält man die Reelle K-Theorie . Für diese gilt Bott-Periodizität mit Periode , d. h. .

Algebraische K-Theorie Bearbeiten

Sei ein unitärer Ring, die Gruppe der invertierbaren Matrizen über und der klassifizierende Raum von , das heißt ein asphärischer Raum mit Fundamentalgruppe . Weil die Gruppe der Elementarmatrizen perfekt und ein Normalteiler ist kann man die Plus-Konstruktion anwenden. Die algebraische K-Theorie des Ringes ist definiert als

für .

Eine (für nicht zur oben definierten isomorphe) Variante der algebraischen K-Theorie ist Milnors K-Theorie. Ihr Zusammenhang mit etaler Kohomologie ist Gegenstand der Milnorvermutung, für deren Beweis Wladimir Wojewodski auf dem internationalen Mathematikerkongress 2002 die Fieldsmedaille verliehen wurde. Der Beweis basiert auf der von Wojewodski entwickelten Homotopietheorie algebraischer Varietäten und der von Beilinson und Lichtenbaum entworfenen motivischen Kohomologie.

Die umfassendste Definition einer algebraischen -Theorie wurde von D. Quillen angegeben und benutzt die Q-Konstruktion.

K-Theorie für Banachalgebren Bearbeiten

Die topologische K-Theorie lässt sich auf allgemeine Banachalgebren ausdehnen, wobei die C*-Algebren eine wichtige Rolle spielen. Die topologische K-Theorie kompakter Räume kann als K-Theorie der Banachalgebren der stetigen Funktionen umformuliert und dann auf beliebige Banachalgebren übertragen werden, sogar auf das Einselement der Algebren kann man verzichten. Da die Zuordnung ein kontravianter Funktor von der Kategorie der kompakten Hausdorffräume in die Kategorie der Banachalgebren ist und da die topologische K-Theorie ebenfalls kontravariant ist, erhalten wir insgesamt einen kovarianten Funktor von der Kategorie der Banachalgebren in die Kategorie der abelschen Gruppen.

Da hier auch nicht-kommutative Algebren auftreten können, spricht man von nicht-kommutativer Topologie. Die K-Theorie ist ein wichtiger Untersuchungsgegenstand in der Theorie der C*-Algebren.

Siehe auch Bearbeiten

KK-Theorie

Literatur Bearbeiten

  • Michael Atiyah: K -theory. Notes by D. W. Anderson. Second edition. Advanced Book Classics. Addison-Wesley Publishing Company, Advanced Book Program, Redwood City, CA, 1989. ISBN 0-201-09394-4
  • Jacek Brodzki: An Introduction to K-theory and Cyclic Cohomology. arxiv:funct-an/9606001.
  • Allen Hatcher: Vector bundles and K-theory (math.cornell.edu).
  • Daniel Quillen: Higher algebraic K-theory: I. In: H. Bass (Hrsg.): Higher K-Theories. Lecture Notes in Mathematics, Band 341. Springer-Verlag, Berlin 1973, ISBN 3-540-06434-6.
  • Charles Weibel: An introduction to algebraic K-theory, (math.rutgers.edu).
  • Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras. Springer Verlag, 1986, ISBN 3-540-96391-X.
  • Karlheinz Knapp: Vektorbündel. (link.springer.com).

Weblinks Bearbeiten

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Das mathematische Teilgebiet der K Theorie beschaftigt sich mit dem Studium von Vektorbundeln auf topologischen Raumen topologische K Theorie oder von Ringen bzw Schemata algebraische K Theorie Der Name K Theorie wurde von Alexander Grothendieck kreiert das K steht fur Klasse in einem sehr allgemeinen Sinn Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Topologische K Theorie 3 Algebraische K Theorie 4 K Theorie fur Banachalgebren 5 Siehe auch 6 Literatur 7 WeblinksGeschichte BearbeitenUm seine Arbeiten zum Satz von Riemann Roch zu verallgemeinern entwickelte Grothendieck einen neuen Funktor K X displaystyle K X nbsp auf der Kategorie der glatten algebraischen Varietaten X displaystyle X nbsp Die Elemente von K X displaystyle K X nbsp waren Klassen algebraischer Vektorbundel uber X displaystyle X nbsp Diese Theorie hatte analoge Eigenschaften zu klassischen Kohomologietheorien Charakteristische Klassen insbesondere der Chern Charakter definieren Morphismen von K X displaystyle K X nbsp in Kohomologietheorien Unmittelbar nach Grothendieck betrachteten Atiyah und Hirzebruch eine analoge Konstruktion fur beliebige kompakte Raume X displaystyle X nbsp die topologische K Theorie K t o p X displaystyle K top X nbsp heute meist als K X displaystyle K X nbsp bezeichnet Diese topologische K Theorie ist einfacher zu berechnen als Grothendiecks K Gruppen zum Beispiel gibt der Chern Charakter einen Isomorphismus K t o p X Q H X Q displaystyle K top X otimes mathbb Q simeq H X mathbb Q nbsp und man hat Bott Periodizitat Topologische K Theorie hat Kohomologie Operationen die mittels ausserer Produkte von Vektorbundeln definiert werden sogenannte Adams Operationen und damit eine geometrischere Natur haben als die Steenrod Operationen in singularer Kohomologie Diese Operationen hatten in den 60er Jahren spektakulare Anwendungen Zum Beispiel berechnete Frank Adams mit ihrer Hilfe die maximale Anzahl linear unabhangiger Vektorfelder auf Spharen beliebiger Dimension Andere Anwendungen ergaben sich in globaler Analysis einer der Beweise des Atiyah Singer Indexsatzes benutzte topologische K Theorie und der Theorie der C Algebren Die Verallgemeinerung der topologischen K Theorie in der nichtkommutativen Geometrie fuhrte zur K Theorie von Banachalgebren Die algebraischen K Gruppen K 1 displaystyle K 1 nbsp wurden von Bass definiert sie hatten Anwendungen bei Losungen des congruence subgroup problem und beim s Kobordismus Satz Als nachstes gab Milnor eine Definition der algebraischen K Gruppen K 2 displaystyle K 2 nbsp Ihre Berechnung fur Korper Satz von Matsumoto war die Grundlage fur Anwendungen von K 2 displaystyle K 2 nbsp in Algebra und Zahlentheorie in Zusammenhang mit der Brauer Gruppe und Galois Kohomologie Es gab dann verschiedene Ansatze zur Definition hoherer K Gruppen Die heute allgemein verwandte Definition wurde 1974 von Daniel Quillen auf dem Internationalen Mathematiker Kongress vorgeschlagen Topologische K Theorie Bearbeiten Hauptartikel Topologische K Theorie Es sei X displaystyle X nbsp ein fester kompakter Hausdorffraum Dann ist K X displaystyle K X nbsp der Quotient der freien abelschen Gruppe auf den Isomorphieklassen von komplexen Vektorbundeln uber X displaystyle X nbsp nach der Untergruppe die von Elementen der Form E F E F displaystyle E oplus F E F nbsp fur Vektorbundel E F displaystyle E F nbsp erzeugt wird Diese Konstruktion die der Konstruktion der ganzen Zahlen aus den naturlichen Zahlen nachempfunden ist heisst Grothendieck Gruppe nach Alexander Grothendieck Zwei Vektorbundel E displaystyle E nbsp und F displaystyle F nbsp auf X displaystyle X nbsp definieren genau dann dasselbe Element in K X displaystyle K X nbsp wenn sie stabil aquivalent sind d h wenn es ein triviales Vektorbundel G displaystyle G nbsp gibt so dass E G F G displaystyle E oplus G cong F oplus G nbsp Mit dem Tensorprodukt von Vektorbundeln wird K X displaystyle K X nbsp zu einem kommutativen Ring mit Einselement Der Begriff des Ranges eines Vektorbundels ubertragt sich auf Elemente der K displaystyle K nbsp Theorie Die reduzierte K Theorie K X displaystyle tilde K X nbsp ist die Untergruppe der Elemente von Rang 0 Weiter fuhrt man die Bezeichnung K n X K S n X displaystyle tilde K n X tilde K S n X nbsp ein dabei bezeichnet S displaystyle S nbsp die reduzierte Einhangung K ist ein kontravarianter Funktor auf der Kategorie der kompakten Hausdorffraume Er erfullt Bott Periodizitat mit Periode 2 Wenn man die analogen Konstruktionen mit reellen Vektorbundeln durchfuhrt erhalt man die Reelle K Theorie K O X displaystyle KO X nbsp Fur diese gilt Bott Periodizitat mit Periode 8 displaystyle 8 nbsp d h K O n 8 X K O n X displaystyle tilde K O n 8 X tilde K O n X nbsp Algebraische K Theorie Bearbeiten Hauptartikel Algebraische K Theorie Sei R displaystyle R nbsp ein unitarer Ring G L R n 0 G L n R displaystyle textstyle GL R bigcup n geq 0 GL n R nbsp die Gruppe der invertierbaren Matrizen uber R displaystyle R nbsp und B G L R displaystyle BGL R nbsp der klassifizierende Raum von G L R displaystyle GL R nbsp das heisst ein aspharischer Raum mit Fundamentalgruppe G L R displaystyle GL R nbsp Weil die Gruppe der Elementarmatrizen E R G L R G L R displaystyle E R left GL R GL R right nbsp perfekt und ein Normalteiler ist kann man die Plus Konstruktion anwenden Die algebraische K Theorie des Ringes R displaystyle R nbsp ist definiert als K i R p i B G L R displaystyle K i R pi i BGL R nbsp fur i 1 displaystyle i geq 1 nbsp Eine fur i gt 2 displaystyle i gt 2 nbsp nicht zur oben definierten isomorphe Variante der algebraischen K Theorie ist Milnors K Theorie Ihr Zusammenhang mit etaler Kohomologie ist Gegenstand der Milnorvermutung fur deren Beweis Wladimir Wojewodski auf dem internationalen Mathematikerkongress 2002 die Fieldsmedaille verliehen wurde Der Beweis basiert auf der von Wojewodski entwickelten Homotopietheorie algebraischer Varietaten und der von Beilinson und Lichtenbaum entworfenen motivischen Kohomologie Die umfassendste Definition einer algebraischen K displaystyle K nbsp Theorie wurde von D Quillen angegeben und benutzt die Q Konstruktion K Theorie fur Banachalgebren Bearbeiten Hauptartikel K Theorie von Banachalgebren Die topologische K Theorie lasst sich auf allgemeine Banachalgebren ausdehnen wobei die C Algebren eine wichtige Rolle spielen Die topologische K Theorie kompakter Raume X displaystyle X nbsp kann als K Theorie der Banachalgebren C X displaystyle C X nbsp der stetigen Funktionen X C displaystyle X rightarrow mathbb C nbsp umformuliert und dann auf beliebige Banachalgebren ubertragen werden sogar auf das Einselement der Algebren kann man verzichten Da die Zuordnung X C X displaystyle X mapsto C X nbsp ein kontravianter Funktor von der Kategorie der kompakten Hausdorffraume in die Kategorie der Banachalgebren ist und da die topologische K Theorie ebenfalls kontravariant ist erhalten wir insgesamt einen kovarianten Funktor von der Kategorie der Banachalgebren in die Kategorie der abelschen Gruppen Da hier auch nicht kommutative Algebren auftreten konnen spricht man von nicht kommutativer Topologie Die K Theorie ist ein wichtiger Untersuchungsgegenstand in der Theorie der C Algebren Siehe auch BearbeitenKK TheorieLiteratur BearbeitenMichael Atiyah K theory Notes by D W Anderson Second edition Advanced Book Classics Addison Wesley Publishing Company Advanced Book Program Redwood City CA 1989 ISBN 0 201 09394 4 Jacek Brodzki An Introduction to K theory and Cyclic Cohomology arxiv funct an 9606001 Allen Hatcher Vector bundles and K theory math cornell edu Daniel Quillen Higher algebraic K theory I In H Bass Hrsg Higher K Theories Lecture Notes in Mathematics Band 341 Springer Verlag Berlin 1973 ISBN 3 540 06434 6 Charles Weibel An introduction to algebraic K theory math rutgers edu Bruce Blackadar K Theory for Operator Algebras Springer Verlag 1986 ISBN 3 540 96391 X Karlheinz Knapp Vektorbundel link springer com Weblinks BearbeitenMax Karoubi Lectures on K theory PDF 400 kB Christian Voigt K Theorie von Operatoralgebren PDF 579 kB Daniel Grayson On the K theory of fields PDF 1 4 MB Abgerufen von https de wikipedia org w index php title K Theorie amp oldid 216738780