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Einhängung In der Topologie einem Teilgebiet der Mathematik ist die 1 oder Suspension eine Methode um aus einem topologi

Einhängung

In der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Einhängung oder Suspension eine Methode um aus einem topologischen Raum einen neuen Raum zu konstruieren. Dabei wird der Ausgangsraum mit zwei Kegeln verklebt. Es gibt eine Variante der Einhängung für punktierte Räume, die als reduzierte Einhängung bezeichnet wird.

Einhängung eines Kreises. Der Original-Raum ist blau, die kollabierten Endpunkte sind grün.

Definition Bearbeiten

Die Einhängung eines topologischen Raums ist definiert als der Quotientenraum

des Produkts von mit dem Einheitsintervall .

Anschaulich wird X erst zu einem »Zylinder«  ausgedehnt, dessen Enden dann zu Punkten zusammengefasst werden, und man betrachtet X als zwischen diesen Endpunkten »eingehängt«. Man kann die Einhängung auch als zwei geometrische Kegel über X, die auf ihrer Grundseite miteinander verklebt sind, betrachten. Eine dritte Möglichkeit ist ihre Betrachtung als Quotient des topologischen Kegels über X, bei dem die Punkte der Grundseite als äquivalent zusammengefasst werden.

Reduzierte Einhängung Bearbeiten

Sei ein punktierter Raum (mit Basispunkt ), so gibt es eine abgewandelte Einhängung von , die wieder punktiert ist: Die reduzierte Einhängung von ist der Quotientenraum:

Die Konstruktion kollabiert die Gerade (x0 × I) in SX, wobei die Enden zu einem Punkt zusammengefasst werden. Der Basispunkt von ΣX ist die Äquivalenzklasse von (x0, 0). Σ ist Endofunktor in der Kategorie punktierter Räume.

Man kann zeigen, dass die reduzierte Einhängung von X homöomorph zum Smash-Produkt von X mit dem Einheitskreis S1 ist:

allgemeiner ist die -fach iterierte reduzierte Einhängung im Wesentlichen das Smash-Produkt mit der -Sphäre:

Für CW-Komplexe ist die reduzierte Einhängung homotopieäquivalent zur gewöhnlichen.

Eigenschaften Bearbeiten

Insbesondere gilt
  • Die Funktorialität der Einhängung induziert Abbildungen
zwischen Homotopiegruppen. Der Freudenthalsche Einhängungssatz besagt, dass diese Abbildungen für -zusammenhängende Räume im Bereich Isomorphismen und für Epimorphismen sind. Der direkte Limes
über diese Abbildungen ist die -te stabile Homotopiegruppe von . Ist insbesondere , so ist das induktive System für im Wesentlichen konstant, d. h.
wegen nennt man die Gruppen auch einfach stabile Homotopiegruppen der Sphären.
  • Für alle gilt
beziehungsweise
Wenn man reduzierte Homologie bzw. reduzierte Kohomologie verwendet, gilt sogar für alle
Dieser Einhängungsisomorphismus (oder Suspensions-Isomorphismus) gilt auch für alle verallgemeinerten Kohomologietheorien.

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Fridtjof Toenniessen: Topologie: Ein Lesebuch von den elementaren Grundlagen bis zur Homologie und Kohomologie. Springer-Verlag, 2017, ISBN 978-3-662-54964-3, S. 41 (google.com [abgerufen am 24. September 2022]).
  2. ↑ Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. Springer New York, New York, NY 1981, ISBN 978-1-4684-9322-1, S. 41.
  3. Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge 2002, ISBN 0-521-79160-X, S. 12.
  4. Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. Springer New York, New York, NY 1981, ISBN 978-1-4684-9322-1, S. 42.
  5. Wolfgang Lück: Algebraische Topologie: Homologie und Mannigfaltigkeiten. Springer-Verlag, 2012, ISBN 978-3-322-80241-5, S. 9 (google.com [abgerufen am 24. September 2022]).
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In der Topologie einem Teilgebiet der Mathematik ist die Einhangung 1 oder Suspension eine Methode um aus einem topologischen Raum einen neuen Raum zu konstruieren Dabei wird der Ausgangsraum mit zwei Kegeln verklebt Es gibt eine Variante der Einhangung fur punktierte Raume die als reduzierte Einhangung bezeichnet wird Einhangung eines Kreises Der Original Raum ist blau die kollabierten Endpunkte sind grun Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Reduzierte Einhangung 3 Eigenschaften 4 Siehe auch 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDie Einhangung S X displaystyle SX nbsp eines topologischen Raums X displaystyle X nbsp ist definiert als der Quotientenraum S X X I x y X x 0 y 0 x 1 y 1 displaystyle SX X times I forall x y in X x 0 sim y 0 x 1 sim y 1 nbsp des Produkts von X displaystyle X nbsp mit dem Einheitsintervall I 0 1 displaystyle I 0 1 nbsp 2 Anschaulich wird X erst zu einem Zylinder X I displaystyle X times I nbsp ausgedehnt dessen Enden dann zu Punkten zusammengefasst werden und man betrachtet X als zwischen diesen Endpunkten eingehangt Man kann die Einhangung auch als zwei geometrische Kegel uber X die auf ihrer Grundseite miteinander verklebt sind betrachten Eine dritte Moglichkeit ist ihre Betrachtung als Quotient des topologischen Kegels uber X bei dem die Punkte der Grundseite als aquivalent zusammengefasst werden Reduzierte Einhangung BearbeitenSei X x 0 displaystyle X x 0 nbsp ein punktierter Raum mit Basispunkt x 0 displaystyle x 0 nbsp so gibt es eine abgewandelte Einhangung von X displaystyle X nbsp die wieder punktiert ist Die reduzierte Einhangung S X displaystyle Sigma X nbsp von X displaystyle X nbsp ist der Quotientenraum 2 S X X I X 0 X 1 x 0 I displaystyle Sigma X X times I X times 0 cup X times 1 cup x 0 times I nbsp Die Konstruktion kollabiert die Gerade x0 I in SX wobei die Enden zu einem Punkt zusammengefasst werden Der Basispunkt von SX ist die Aquivalenzklasse von x0 0 S ist Endofunktor in der Kategorie punktierter Raume 2 Man kann zeigen dass die reduzierte Einhangung von X homoomorph zum Smash Produkt von X mit dem Einheitskreis S1 ist 3 S X S 1 X displaystyle Sigma X cong S 1 wedge X nbsp allgemeiner ist die n displaystyle n nbsp fach iterierte reduzierte Einhangung im Wesentlichen das Smash Produkt mit der n displaystyle n nbsp Sphare S n X S n X displaystyle Sigma n X cong S n wedge X nbsp Fur CW Komplexe ist die reduzierte Einhangung homotopieaquivalent zur gewohnlichen Eigenschaften BearbeitenDie reduzierte Einhangung ist linksadjungiert zur Bildung des Schleifenraumes Sind X Y displaystyle X Y nbsp kompakt erzeugt so gibt es einen naturlichen Isomorphismus 4 S X Y X W Y displaystyle Sigma X Y X Omega Y nbsp dd Insbesondere giltp n 1 Y p n W Y displaystyle pi n 1 Y pi n Omega Y nbsp dd Die Funktorialitat der Einhangung induziert Abbildungenp k X S k X S S k S X p k 1 S X displaystyle pi k X S k X to Sigma S k Sigma X pi k 1 Sigma X nbsp dd zwischen Homotopiegruppen Der Freudenthalsche Einhangungssatz besagt dass diese Abbildungen fur n displaystyle n nbsp zusammenhangende Raume X displaystyle X nbsp im Bereich k 2 n displaystyle k leq 2n nbsp Isomorphismen und fur k 2 n 1 displaystyle k 2n 1 nbsp Epimorphismen sind Der direkte Limesp k s X colim m p k m S m X displaystyle pi k s X operatorname colim m pi k m Sigma m X nbsp dd uber diese Abbildungen ist die k displaystyle k nbsp te stabile Homotopiegruppe von X displaystyle X nbsp Ist insbesondere X S 0 displaystyle X S 0 nbsp so ist das induktive System fur m k 2 displaystyle m geq k 2 nbsp im Wesentlichen konstant d h p 2 k 2 S k 2 p 2 k 3 S k 3 p k s S 0 p k s displaystyle pi 2k 2 S k 2 pi 2k 3 S k 3 ldots pi k s S 0 pi k s nbsp dd wegen p k s S n p k n s displaystyle pi k s S n pi k n s nbsp nennt man die Gruppen p k s displaystyle pi k s nbsp auch einfach stabile Homotopiegruppen der Spharen Fur alle n 1 displaystyle n geq 1 nbsp giltH n X H n 1 S X displaystyle H n X H n 1 SX nbsp dd beziehungsweiseH n X H n 1 S X displaystyle H n X H n 1 SX nbsp dd Wenn man reduzierte Homologie bzw reduzierte Kohomologie verwendet gilt sogar fur alle n 0 displaystyle n geq 0 nbsp 5 H n X H n 1 S X displaystyle tilde H n X tilde H n 1 SX nbsp beziehungsweise H n X H n 1 S X displaystyle tilde H n X tilde H n 1 SX nbsp dd Dieser Einhangungsisomorphismus oder Suspensions Isomorphismus gilt auch fur alle verallgemeinerten Kohomologietheorien Siehe auch BearbeitenPuppe FolgeEinzelnachweise Bearbeiten Fridtjof Toenniessen Topologie Ein Lesebuch von den elementaren Grundlagen bis zur Homologie und Kohomologie Springer Verlag 2017 ISBN 978 3 662 54964 3 S 41 google com abgerufen am 24 September 2022 a b c Edwin H Spanier Algebraic Topology Springer New York New York NY 1981 ISBN 978 1 4684 9322 1 S 41 Allen Hatcher Algebraic topology Cambridge University Press Cambridge 2002 ISBN 0 521 79160 X S 12 Edwin H Spanier Algebraic Topology Springer New York New York NY 1981 ISBN 978 1 4684 9322 1 S 42 Wolfgang Luck Algebraische Topologie Homologie und Mannigfaltigkeiten Springer Verlag 2012 ISBN 978 3 322 80241 5 S 9 google com abgerufen am 24 September 2022 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Einhangung amp oldid 226444284