www.wikidata.de-de.nina.az

Spektrum Topologie Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie werden Spektren zur Definition verallgemeine

Spektrum (Topologie)

Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie werden Spektren zur Definition verallgemeinerter Homologietheorien benutzt.

Definition Bearbeiten

Ein Spektrum ist eine Folge punktierter Räume mit punktierten stetigen Abbildungen

Hierbei bezeichnet die reduzierte Einhängung von .

Weil die reduzierte Einhängung linksadjungiert zur Bildung des Schleifenraums ist, entspricht einer bis auf Homotopie eindeutigen stetigen Abbildung . Ein Spektrum ist ein -Spektrum, wenn die Abbildungen Homöomorphismen sind.

Man findet in der Literatur auch andere Definitionen. Zum Beispiel werden die oben definierten Spektren als Präspektrum und die -Spektren dann als Spektrum bezeichnet. Mit diesen Bezeichnungen kann man jedem Präspektrum durch ein Spektrum zuordnen, seine Spektrifizierung.

Ein Morphismus zwischen Spektren und ist eine Familie stetiger Abbildungen mit für alle .

Beispiele Bearbeiten

  • Einhängungsspektren: Für einen topologischen Raum bildet mit den kanonischen Homöomorphismen ein Spektrum. Es wird als Einhängungsspektrum des Raumes bezeichnet. Allgemeiner werden Spektren der Form mit als Einhängungsspektren bezeichnet, wobei für ein Spektrum mit das Spektrum gemeint ist.
  • Sphärenspektrum: Das Einhängungsspektrum der -dimensionalen Sphäre heißt Sphärenspektrum und wird mit bezeichnet. In diesem Fall ist also und der kanonische Homöomorphismus.
  • Eilenberg-MacLane-Spektrum: Für eine abelsche Gruppe bilden die Eilenberg-MacLane-Räume ein Spektrum mit und der durch den Satz von Whitehead gegebenen Homotopieäquivalenz. Dieses Spektrum wird auch mit bezeichnet.
  • Thom-Spektrum: Die Thom-Räume der universellen Vektorbündel über den Graßmann-Mannigfaltigkeiten bilden ein Spektrum . Die Strukturabbildung ist in diesem Fall die von der klassifizierenden Abbildung des Vektorbündels induzierte Abbildung
  • Topologisches K-Theorie-Spektrum: Dieses Spektrum ist definiert durch für alle , wobei die aufsteigende Vereinigung der unitären Gruppen und ihr klassifizierender Raum ist.
  • -Spektren: Sei ein unendlicher Schleifenraum, dann definiert ein -Spektrum.
  • Algebraisches K-Theorie-Spektrum: Für einen kommutativen Ring mit Eins ist , die Anwendung der Plus-Konstruktion auf den klassifizierenden Raum von , ein unendlicher Schleifenraum und definiert deshalb ein -Spektrum.

Homotopiegruppen von Spektren Bearbeiten

Die k-te Homotopiegruppe eines Spektrums ist definiert durch

Die Homotopiegruppen eines Einhängungsspektrums werden als stabile Homotopiegruppen von bezeichnet:

Für -Spektren gilt bereits .

Beispiele Bearbeiten

  • Die stabilen Homotopiegruppen der Sphären sind die Homotopiegruppen des Sphärenspektrums .
  • Die algebraische K-Theorie eines kommutativen Ringes mit Eins erhält man für per Definition als Homotopiegruppen des algebraischen K-Theorie-Spektrums.
  • Die Kobordismusgruppe unorientierter -Mannigfaltigkeiten ist isomorph zur -ten Homotopiegruppe des Thom-Spektrums.

Äquivalenzen Bearbeiten

Für Morphismen von Spektren gilt das folgende Analogon zum Satz von Whitehead:

Ein Morphismus von Spektren induziert genau dann einen Isomorphismus aller Homotopiegruppen, wenn der induzierte Morphismus in der Homotopie-Kategorie der Spektren ein Isomorphismus ist. Solche Abbildungen heißen Äquivalenzen.

Verallgemeinerte Homologietheorien Bearbeiten

Ein Spektrum definiert eine (reduzierte) verallgemeinerte Homologietheorie durch

wobei das mit Hilfe des Smash-Produktes durch definierte Spektrum bezeichnet.

Insbesondere ist .

Beispiel Bearbeiten

ist isomorph zur Kobordismusgruppe singulärer -Mannigfaltigkeiten in .

Verallgemeinerte Kohomologietheorien Bearbeiten

Jedes Spektrum definiert eine verallgemeinerte (reduzierte) Kohomologietheorie durch

für topologische Räume , wobei die Homotopieklassen punktierter stetiger Abbildungen bezeichnet. (Man sagt, die Kohomologietheorie wird durch das Spektrum dargestellt.)

Die zugehörige unreduzierte Kohomologietheorie wird mit bezeichnet.

Beispiele Bearbeiten

Das Eilenberg-MacLane-Spektrum definiert die singuläre Kohomologie , das topologische K-Theorie-Spektrum definiert topologische K-Theorie.

Berechnung Bearbeiten

Verallgemeinerte Kohomologiegruppen eines Raumes können oft mit Hilfe der Atiyah-Hirzebruch-Spektralsequenz berechnet werden. Diese ist eine gegen konvergierende Spektralsequenz mit -Term

wobei singuläre Kohomologie mit Koeffizienten-Gruppe bezeichnet.

Brownscher Darstellbarkeitssatz Bearbeiten

Aus dem Brownschen Darstellbarkeitssatz folgt, dass sich jede reduzierte verallgemeinerte Kohomologietheorie durch ein -Spektrum darstellen lässt.

Smash-Produkt Bearbeiten

Für ein Spektrum und einen Raum definiert man das Spektrum durch und die Strukturabbildungen .

Es gibt eine auf Adams zurückgehende Konstruktion, die zwei Spektren und ein Smash-Produkt zuordnet, welches die folgenden Eigenschaften hat:

  • Das Smash-Produkt ist ein kovarianter Funktor beider Argumente.
  • Es gibt natürliche Äquivalenzen .
  • Für jedes Spektrum und jeden CW-Komplex gibt es eine natürliche Äquivalenz . Insbesondere für alle CW-Komplexe .
  • Wenn eine Äquivalenz ist, dann auch .
  • Für eine Familie von Spektra ist eine Äquivalenz.
  • Wenn eine Kofaserung von Spektra ist, dann auch .

Ringspektren Bearbeiten

Ein Ringspektrum ist ein Spektrum mit einem Smash-Produkt und mit Morphismen

die den Bedingungen

genügen.

Literatur Bearbeiten

  • Spanier, E. H.; Whitehead, J. H. C.: A first approximation to homotopy theory. Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 39, (1953). 655–660. pdf
  • Lima, Elon L.: Stable Postnikov invariants and their duals. Summa Brasil. Math. 4 1960 193–251.
  • Adams, J. F.: Stable homotopy and generalised homology. Reprint of the 1974 original. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1995. ISBN 0-226-00524-0

Weblinks Bearbeiten

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie werden Spektren zur Definition verallgemeinerter Homologietheorien benutzt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Homotopiegruppen von Spektren 3 1 Beispiele 3 2 Aquivalenzen 4 Verallgemeinerte Homologietheorien 4 1 Beispiel 5 Verallgemeinerte Kohomologietheorien 5 1 Beispiele 5 2 Berechnung 5 3 Brownscher Darstellbarkeitssatz 6 Smash Produkt 7 Ringspektren 8 Literatur 9 WeblinksDefinition BearbeitenEin Spektrum ist eine Folge punktierter Raume E n displaystyle E n nbsp mit punktierten stetigen Abbildungen s n S E n E n 1 displaystyle sigma n colon SE n to E n 1 nbsp Hierbei bezeichnet S E n displaystyle SE n nbsp die reduzierte Einhangung von E n displaystyle E n nbsp Weil die reduzierte Einhangung linksadjungiert zur Bildung des Schleifenraums ist entspricht s n displaystyle sigma n nbsp einer bis auf Homotopie eindeutigen stetigen Abbildung E n W E n 1 displaystyle E n to Omega E n 1 nbsp Ein Spektrum ist ein W displaystyle Omega nbsp Spektrum wenn die Abbildungen E n W E n 1 displaystyle E n to Omega E n 1 nbsp Homoomorphismen sind Man findet in der Literatur auch andere Definitionen Zum Beispiel werden die oben definierten Spektren als Praspektrum und die W displaystyle Omega nbsp Spektren dann als Spektrum bezeichnet Mit diesen Bezeichnungen kann man jedem Praspektrum E n displaystyle E n nbsp durch colim k W k E n k displaystyle operatorname colim k to infty Omega k E n k nbsp ein Spektrum zuordnen seine Spektrifizierung Ein Morphismus zwischen Spektren E n s n displaystyle E n sigma n nbsp und E n s n displaystyle E n prime sigma n prime nbsp ist eine Familie stetiger Abbildungen f n E n E n displaystyle f n colon E n to E n prime nbsp mit f n 1 s n s n S f n displaystyle f n 1 circ sigma n sigma n prime circ Sf n nbsp fur alle n displaystyle n nbsp Beispiele BearbeitenEinhangungsspektren Fur einen topologischen Raum X displaystyle X nbsp bildet E n S n X displaystyle E n S n X nbsp mit den kanonischen Homoomorphismen s n S E n E n 1 displaystyle sigma n colon SE n to E n 1 nbsp ein Spektrum Es wird als Einhangungsspektrum S X displaystyle Sigma infty X nbsp des Raumes X displaystyle X nbsp bezeichnet Allgemeiner werden Spektren der Form S k S X displaystyle Sigma k Sigma infty X nbsp mit k Z displaystyle k in mathbb Z nbsp als Einhangungsspektren bezeichnet wobei fur ein Spektrum E E n s n displaystyle E E n sigma n nbsp mit S k E displaystyle Sigma k E nbsp das Spektrum E n k s n k displaystyle E n k sigma n k nbsp gemeint ist Spharenspektrum Das Einhangungsspektrum der 0 displaystyle 0 nbsp dimensionalen Sphare heisst Spharenspektrum und wird mit S displaystyle mathbf S nbsp bezeichnet In diesem Fall ist also E n S n displaystyle E n S n nbsp und s n S S n S n 1 displaystyle sigma n colon SS n to S n 1 nbsp der kanonische Homoomorphismus Eilenberg MacLane Spektrum Fur eine abelsche Gruppe G displaystyle G nbsp bilden die Eilenberg MacLane Raume ein Spektrum mit E n K G n displaystyle E n K G n nbsp und s n S K G n K G n 1 displaystyle sigma n colon SK G n to K G n 1 nbsp der durch den Satz von Whitehead gegebenen Homotopieaquivalenz Dieses Spektrum wird auch mit H G displaystyle HG nbsp bezeichnet Thom Spektrum Die Thom Raume T h t n displaystyle Th tau n nbsp der universellen Vektorbundel t n B O n displaystyle tau n to BO n nbsp uber den Grassmann Mannigfaltigkeiten B O n displaystyle BO n nbsp bilden ein Spektrum M O n displaystyle MO n nbsp Die Strukturabbildung ist in diesem Fall die von der klassifizierenden Abbildung B O n B O n 1 displaystyle BO n to BO n 1 nbsp des Vektorbundels t n R B O n displaystyle tau n oplus underline mathbb R to BO n nbsp induzierte Abbildung s n S M O n S T h t n T h t n R T h t n 1 M O n 1 displaystyle sigma n SMO n STh tau n Th tau n oplus underline mathbb R to Th tau n 1 MO n 1 nbsp Topologisches K Theorie Spektrum Dieses Spektrum ist definiert durch E 2 n U E 2 n 1 Z B U displaystyle E 2n U E 2n 1 mathbb Z times BU nbsp fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp wobei U displaystyle U nbsp die aufsteigende Vereinigung der unitaren Gruppen und B U displaystyle BU nbsp ihr klassifizierender Raum ist W displaystyle Omega nbsp Spektren Sei X displaystyle X nbsp ein unendlicher Schleifenraum dann definiert E n W n X displaystyle E n Omega n X nbsp ein W displaystyle Omega nbsp Spektrum Algebraisches K Theorie Spektrum Fur einen kommutativen Ring R displaystyle R nbsp mit Eins ist X B G L R displaystyle X BGL R nbsp die Anwendung der Plus Konstruktion auf den klassifizierenden Raum von G L R displaystyle GL R nbsp ein unendlicher Schleifenraum und definiert deshalb ein W displaystyle Omega nbsp Spektrum Homotopiegruppen von Spektren BearbeitenDie k te Homotopiegruppe eines Spektrums ist definiert durch p k E colim n p n k E n displaystyle pi k E operatorname colim n to infty pi n k E n nbsp Die Homotopiegruppen eines Einhangungsspektrums E n S n X displaystyle E n S n X nbsp werden als stabile Homotopiegruppen von X displaystyle X nbsp bezeichnet p k s X p k S X displaystyle pi k s X pi k Sigma infty X nbsp Fur W displaystyle Omega nbsp Spektren gilt bereits p k E p k E 0 displaystyle pi k E pi k E 0 nbsp Beispiele Bearbeiten Die stabilen Homotopiegruppen der Spharen sind die Homotopiegruppen des Spharenspektrums S displaystyle mathbf S nbsp Die algebraische K Theorie K i R displaystyle K i R nbsp eines kommutativen Ringes R displaystyle R nbsp mit Eins erhalt man fur i 1 displaystyle i geq 1 nbsp per Definition als Homotopiegruppen des algebraischen K Theorie Spektrums Die Kobordismusgruppe unorientierter n displaystyle n nbsp Mannigfaltigkeiten ist isomorph zur n displaystyle n nbsp ten Homotopiegruppe des Thom Spektrums Aquivalenzen Bearbeiten Fur Morphismen von Spektren gilt das folgende Analogon zum Satz von Whitehead Ein Morphismus von Spektren induziert genau dann einen Isomorphismus aller Homotopiegruppen wenn der induzierte Morphismus in der Homotopie Kategorie der Spektren ein Isomorphismus ist Solche Abbildungen heissen Aquivalenzen Verallgemeinerte Homologietheorien BearbeitenEin Spektrum definiert eine reduzierte verallgemeinerte Homologietheorie durch E k X S k S E X displaystyle tilde E k X left Sigma k mathbf S E wedge X right nbsp wobei E X displaystyle E wedge X nbsp das mit Hilfe des Smash Produktes durch E X n E n X displaystyle E wedge X n E n wedge X nbsp definierte Spektrum bezeichnet Insbesondere ist E k S 0 p k E displaystyle tilde E k S 0 pi k E nbsp Beispiel Bearbeiten M O k X displaystyle MO k X nbsp ist isomorph zur Kobordismusgruppe singularer k displaystyle k nbsp Mannigfaltigkeiten in X displaystyle X nbsp Verallgemeinerte Kohomologietheorien BearbeitenJedes Spektrum E displaystyle E nbsp definiert eine verallgemeinerte reduzierte Kohomologietheorie durch E k X colim n S n X E n k displaystyle widetilde E k X operatorname colim n to infty left S n X E n k right nbsp fur topologische Raume X displaystyle X nbsp wobei displaystyle left right nbsp die Homotopieklassen punktierter stetiger Abbildungen bezeichnet Man sagt die Kohomologietheorie wird durch das Spektrum dargestellt Die zugehorige unreduzierte Kohomologietheorie wird mit E X displaystyle E X nbsp bezeichnet Beispiele Bearbeiten Das Eilenberg MacLane Spektrum K G n displaystyle K G n nbsp definiert die singulare Kohomologie H X G displaystyle H X G nbsp das topologische K Theorie Spektrum definiert topologische K Theorie Berechnung Bearbeiten Verallgemeinerte Kohomologiegruppen E displaystyle E nbsp eines Raumes X displaystyle X nbsp konnen oft mit Hilfe der Atiyah Hirzebruch Spektralsequenz berechnet werden Diese ist eine gegen E X displaystyle E X nbsp konvergierende Spektralsequenz mit E 2 displaystyle E 2 nbsp Term E 2 p q H p X E q X displaystyle E 2 pq H p X E q X nbsp wobei H E q X displaystyle H E q X nbsp singulare Kohomologie mit Koeffizienten Gruppe E q X displaystyle E q X nbsp bezeichnet Brownscher Darstellbarkeitssatz Bearbeiten Aus dem Brownschen Darstellbarkeitssatz folgt dass sich jede reduzierte verallgemeinerte Kohomologietheorie durch ein W displaystyle Omega nbsp Spektrum darstellen lasst Smash Produkt BearbeitenFur ein Spektrum E E n s n displaystyle E E n sigma n nbsp und einen Raum X displaystyle X nbsp definiert man das Spektrum E X displaystyle E wedge X nbsp durch E X n E n X displaystyle E wedge X n E n wedge X nbsp und die Strukturabbildungen S n i d X displaystyle Sigma n wedge id X nbsp Es gibt eine auf Adams zuruckgehende Konstruktion die zwei Spektren E displaystyle E nbsp und F displaystyle F nbsp ein Smash Produkt E F displaystyle E wedge F nbsp zuordnet welches die folgenden Eigenschaften hat Das Smash Produkt ist ein kovarianter Funktor beider Argumente Es gibt naturliche Aquivalenzen a E F G E F G t E F F E l S E E r E S E S S E F S E F displaystyle alpha colon E wedge F wedge G to E wedge F wedge G tau colon E wedge F to F wedge E l colon mathbf S wedge E to E r colon E wedge mathbf S to E Sigma colon Sigma E wedge F to Sigma E wedge F nbsp Fur jedes Spektrum E displaystyle E nbsp und jeden CW Komplex X displaystyle X nbsp gibt es eine naturliche Aquivalenz e E X E S X displaystyle e colon E wedge X to E wedge Sigma infty X nbsp Insbesondere S X Y S X S Y displaystyle Sigma infty X wedge Y simeq Sigma infty X wedge Sigma infty Y nbsp fur alle CW Komplexe X Y displaystyle X Y nbsp Wenn f E F displaystyle f colon E to F nbsp eine Aquivalenz ist dann auch f i d G E G F G displaystyle f wedge id G colon E wedge G to F wedge G nbsp Fur eine Familie E L displaystyle left E Lambda right nbsp von Spektra ist i L i d F L E L F L E L F displaystyle left i Lambda wedge id F right colon vee Lambda E Lambda wedge F to vee Lambda E Lambda wedge F nbsp eine Aquivalenz Wenn A B C displaystyle A to B to C nbsp eine Kofaserung von Spektra ist dann auch A E B E C E displaystyle A wedge E to B wedge E to C wedge E nbsp Ringspektren BearbeitenEin Ringspektrum ist ein Spektrum R displaystyle R nbsp mit einem Smash Produkt displaystyle wedge nbsp und mit Morphismen m R R R ϵ S R displaystyle mu colon R wedge R to R epsilon colon mathbf S to R nbsp a R R R R R R l S R R r R S R displaystyle alpha colon R wedge R wedge R to R wedge R wedge R lambda colon mathbf S wedge R to R rho colon R wedge mathbf S to R nbsp die den Bedingungen m m i d a m i d m R R R R displaystyle mu circ mu wedge id circ alpha mu circ id wedge mu colon R wedge R wedge R to R nbsp m ϵ i d l S R R m i d ϵ r R S R displaystyle mu circ epsilon wedge id lambda colon mathbf S wedge R to R mu circ id wedge epsilon rho colon R wedge mathbf S to R nbsp genugen Literatur BearbeitenSpanier E H Whitehead J H C A first approximation to homotopy theory Proc Nat Acad Sci U S A 39 1953 655 660 pdf Lima Elon L Stable Postnikov invariants and their duals Summa Brasil Math 4 1960 193 251 Adams J F Stable homotopy and generalised homology Reprint of the 1974 original Chicago Lectures in Mathematics University of Chicago Press Chicago IL 1995 ISBN 0 226 00524 0Weblinks BearbeitenGreenlees Spectra for commutative algebraists Rognes The sphere spectrum Malkiewich The stable homotopy category Schwede Symmetric spectra Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Spektrum Topologie amp oldid 200053574 Verallgemeinerte Kohomologietheorien