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Graßmann Mannigfaltigkeit en auch Grassmann Mannigfaltigkeiten sind in der Mathematik ein grundlegender Begriff sowohl d

Graßmann-Mannigfaltigkeit

Graßmann-Mannigfaltigkeiten (auch Grassmann-Mannigfaltigkeiten) sind in der Mathematik ein grundlegender Begriff sowohl der Differentialgeometrie als auch der algebraischen Geometrie. Sie parametrisieren die Unterräume eines Vektorraumes und stellen damit eine Verallgemeinerung des projektiven Raumes dar. Benannt sind sie nach Hermann Graßmann.

Definition Bearbeiten

Sei ein Vektorraum über einem Körper . Dann bezeichnet

die Menge der -dimensionalen Untervektorräume von . Falls -dimensional ist, bezeichnet man auch mit

Wirkung der orthogonalen/unitären und linearen Gruppe Bearbeiten

Im Fall wirkt die orthogonale Gruppe

auf durch

Die Wirkung ist transitiv, die Stabilisatoren sind konjugiert zu

Man erhält also eine Bijektion zwischen und dem homogenen Raum

Im Fall wirkt die unitäre Gruppe transitiv und liefert eine Bijektion der Graßmann-Mannigfaltigkeit mit

Topologie Bearbeiten

Als reelle Graßmann-Mannigfaltigkeit (der -dimensionalen Unterräume im ) bezeichnet man mit der durch die Identifikation mit

gegebenen Topologie.

Als komplexe Graßmann-Mannigfaltigkeit bezeichnet man entsprechend

Die kanonische Inklusion induziert eine Inklusion . Man definiert

als induktiven Limes der mit der Limes-Topologie.

Algebraische Varietät Bearbeiten

Grassmann-Mannigfaltigkeiten sind projektive Varietäten mittels Plücker-Einbettung.

Tautologisches Bündel Bearbeiten

Sei der projektive Limes bezüglich der kanonischen Inklusionen und definiere

Dann ist die Projektion auf den ersten Faktor ein Vektorbündel

welches als tautologisches oder universelles r-dimensionales Vektorbündel bezeichnet wird.

Klassifizierende Abbildung Bearbeiten

Zu jedem r-dimensionalen Vektorbündel gibt es eine stetige Abbildung

so dass das Pullback des tautologischen Bündels unter ist.

Im Fall des Tangentialbündels einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit hat man die folgende explizite Beschreibung der klassifizierenden Abbildung: Nach dem Einbettungssatz von Whitney kann man annehmen, dass eine Untermannigfaltigkeit eines ist. Die Tangentialebene in einem Punkt ist dann von der Form

für einen Untervektorraum . Die Zuordnung

definiert eine stetige Abbildung

und man kann zeigen, dass

ist.

Klassifizierender Raum für Prinzipalbündel Bearbeiten

Die Graßmann-Mannigfaltigkeit ist der klassifizierende Raum für Prinzipalbündel mit Strukturgruppen . Und damit auch für Prinzipalbündel mit Strukturgruppe , denn weil die Inklusion eine Homotopieäquivalenz ist, lässt sich jedes -Bündel auf die Strukturgruppe reduzieren. Es gilt also:

Die kanonische Projektion von der Stiefel-Mannigfaltigkeit nach , welche Repere jeweils auf den von ihnen erzeugten Unterraum abbildet, ist das universelle -Bündel. (Das tautologische Bündel ergibt sich aus dem universellen -Bündel als assoziiertes Vektorbündel durch die kanonische Wirkung von auf dem Vektorraum .)

Der Kolimes der Folge von Inklusionen

wird als oder bezeichnet. Gebräuchlich sind auch die Bezeichnungen

Mittels Bott-Periodizität kann man die Homotopiegruppen dieses Raumes berechnen.

Schubert-Kalkül Bearbeiten

Das Cup-Produkt im Kohomologiering der Graßmann-Mannigfaltigkeiten kann mittels Schubert-Kalkül bestimmt werden.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Grassmann Mannigfaltigkeiten auch Grassmann Mannigfaltigkeiten sind in der Mathematik ein grundlegender Begriff sowohl der Differentialgeometrie als auch der algebraischen Geometrie Sie parametrisieren die Unterraume eines Vektorraumes und stellen damit eine Verallgemeinerung des projektiven Raumes dar Benannt sind sie nach Hermann Grassmann Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Wirkung der orthogonalen unitaren und linearen Gruppe 1 2 Topologie 1 3 Algebraische Varietat 2 Tautologisches Bundel 3 Klassifizierende Abbildung 4 Klassifizierender Raum fur Prinzipalbundel 5 Schubert Kalkul 6 Siehe auch 7 WeblinksDefinition BearbeitenSei V displaystyle V nbsp ein Vektorraum uber einem Korper K displaystyle mathbb K nbsp Dann bezeichnet G r r V displaystyle Gr r V nbsp die Menge der r displaystyle r nbsp dimensionalen Untervektorraume von V displaystyle V nbsp Falls V displaystyle V nbsp n displaystyle n nbsp dimensional ist bezeichnet man G r r V displaystyle Gr r V nbsp auch mit G r r n displaystyle Gr r n nbsp Wirkung der orthogonalen unitaren und linearen Gruppe Bearbeiten Im Fall K R displaystyle mathbb K mathbb R nbsp wirkt die orthogonale Gruppe O n displaystyle O n nbsp auf G r r n displaystyle Gr r n nbsp durch A W A W displaystyle A W rightarrow A W nbsp Die Wirkung ist transitiv die Stabilisatoren sind konjugiert zu O r O n r displaystyle O r times O n r nbsp Man erhalt also eine Bijektion zwischen G r r n displaystyle Gr r n nbsp und dem homogenen Raum O n O r O n r displaystyle O n O r times O n r nbsp Im Fall K C displaystyle mathbb K mathbb C nbsp wirkt die unitare Gruppe U n displaystyle U n nbsp transitiv und liefert eine Bijektion der Grassmann Mannigfaltigkeit mit U n U r U n r displaystyle U n U r times U n r nbsp Topologie Bearbeiten Als reelle Grassmann Mannigfaltigkeit der r displaystyle r nbsp dimensionalen Unterraume im R n displaystyle mathbb R n nbsp bezeichnet man G r r n displaystyle Gr r n nbsp mit der durch die Identifikation mit O n O r O n r displaystyle O n O r times O n r nbsp gegebenen Topologie Als komplexe Grassmann Mannigfaltigkeit G r r n displaystyle Gr r n nbsp bezeichnet man entsprechend U n U r U n r displaystyle U n U r times U n r nbsp Die kanonische Inklusion K n K n 1 displaystyle mathbb K n subset mathbb K n 1 nbsp induziert eine Inklusion G r r n G r r n 1 displaystyle Gr r n subset Gr r n 1 nbsp Man definiert G r r lim n G r r n displaystyle Gr r infty lim n Gr r n nbsp als induktiven Limes der G r r n displaystyle Gr r n nbsp mit der Limes Topologie Algebraische Varietat Bearbeiten Grassmann Mannigfaltigkeiten sind projektive Varietaten mittels Plucker Einbettung Tautologisches Bundel BearbeitenSei K lim n K n displaystyle mathbb K infty lim n mathbb K n nbsp der projektive Limes bezuglich der kanonischen Inklusionen und definiere g r W x G r r K x W G r r K displaystyle gamma r left W x in Gr r infty times mathbb K infty x in W right subset Gr r infty times mathbb K infty nbsp Dann ist die Projektion auf den ersten Faktor ein Vektorbundel g r G r r displaystyle gamma r rightarrow Gr r infty nbsp welches als tautologisches oder universelles r dimensionales Vektorbundel bezeichnet wird Klassifizierende Abbildung BearbeitenZu jedem r dimensionalen Vektorbundel E B displaystyle E rightarrow B nbsp gibt es eine stetige Abbildung f B G r r displaystyle f colon B rightarrow Gr r infty nbsp so dass E displaystyle E nbsp das Pullback des tautologischen Bundels g r displaystyle gamma r nbsp unter f displaystyle f nbsp ist Im Fall des Tangentialbundels T M displaystyle TM nbsp einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp hat man die folgende explizite Beschreibung der klassifizierenden Abbildung Nach dem Einbettungssatz von Whitney kann man annehmen dass M displaystyle M nbsp eine Untermannigfaltigkeit eines R m displaystyle mathbb R m nbsp ist Die Tangentialebene T x M displaystyle T x M nbsp in einem Punkt x M displaystyle x in M nbsp ist dann von der Form T x M x W x displaystyle T x M x W x nbsp fur einen Untervektorraum W x R m displaystyle W x subset mathbb R m nbsp Die Zuordnung x W x displaystyle x rightarrow W x nbsp definiert eine stetige Abbildung f M G r r m G r r displaystyle f colon M rightarrow Gr r m subset Gr r infty nbsp und man kann zeigen dass f g r T M displaystyle f gamma r TM nbsp ist Klassifizierender Raum fur Prinzipalbundel BearbeitenDie Grassmann Mannigfaltigkeit G r r displaystyle Gr r infty nbsp ist der klassifizierende Raum fur Prinzipalbundel mit Strukturgruppen O r displaystyle O r nbsp Und damit auch fur Prinzipalbundel mit Strukturgruppe GL r displaystyle operatorname GL r nbsp denn weil die Inklusion O r GL r displaystyle O r rightarrow operatorname GL r nbsp eine Homotopieaquivalenz ist lasst sich jedes GL r displaystyle operatorname GL r nbsp Bundel auf die Strukturgruppe O r displaystyle O r nbsp reduzieren Es gilt also G r r BGL r K BO r K displaystyle Gr r infty simeq operatorname BGL r mathbb K simeq operatorname BO r mathbb K nbsp Die kanonische Projektion von der Stiefel Mannigfaltigkeit V r displaystyle V r infty nbsp nach G r displaystyle G r infty nbsp welche Repere jeweils auf den von ihnen erzeugten Unterraum abbildet ist das universelle O r displaystyle O r nbsp Bundel Das tautologische Bundel g r displaystyle gamma r nbsp ergibt sich aus dem universellen O r displaystyle O r nbsp Bundel als assoziiertes Vektorbundel durch die kanonische Wirkung von O r displaystyle O r nbsp auf dem Vektorraum R r displaystyle mathbb R r nbsp Der Kolimes der Folge von Inklusionen G r 1 2 G r 2 4 G r n 2 n displaystyle Gr 1 2 subset Gr 2 4 subset ldots subset Gr n 2n subset ldots nbsp wird als BGL K displaystyle operatorname BGL mathbb K nbsp oder BO K displaystyle operatorname BO mathbb K nbsp bezeichnet Gebrauchlich sind auch die Bezeichnungen B O BO R B U BO C displaystyle mathrm BO operatorname BO mathbb R mathrm BU operatorname BO mathbb C nbsp Mittels Bott Periodizitat kann man die Homotopiegruppen dieses Raumes berechnen Schubert Kalkul BearbeitenDas Cup Produkt im Kohomologiering der Grassmann Mannigfaltigkeiten kann mittels Schubert Kalkul bestimmt werden Siehe auch BearbeitenStiefel Mannigfaltigkeit FahnenmannigfaltigkeitWeblinks BearbeitenGrassmann manifold In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Eric W Weisstein Grassmann Manifold In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Grassmann Mannigfaltigkeit amp oldid 223730785