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Fahnenmannigfaltigkeit In der Mathematik ist eine der Raum der vollständigen Fahnen in einem Vektorraum oder allgemeiner

Fahnenmannigfaltigkeit

In der Mathematik ist eine Fahnenmannigfaltigkeit der Raum der vollständigen Fahnen in einem Vektorraum oder allgemeiner der Quotient einer halbeinfachen algebraischen Gruppe nach einer borelschen Untergruppe. Fahnenmannigfaltigkeiten sind projektive Varietäten.

Fahnenmannigfaltigkeit eines Vektorraums Bearbeiten

Eine vollständige Fahne in einem endlichdimensionalen (reellen oder komplexen) Vektorraum ist eine Folge

von Untervektorräumen von mit und , so dass jeder Unterraum im nachfolgenden echt enthalten ist, d. h.

und so dass

für gilt, insbesondere also .

Die allgemeine lineare Gruppe wirkt transitiv auf der Menge aller vollständigen Fahnen, die Stabilisatoren einer Fahne sind konjugiert zur Gruppe der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen. Es gibt also eine Bijektion zwischen und der Menge aller vollständigen Fahnen. Deshalb wird

als Fahnenmannigfaltigkeit bezeichnet.

Die kanonische Einbettung in das Produkt von Graßmann-Mannigfaltigkeiten

macht die Fahnenmannigfaltigkeit zu einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit und (vermittels der Plücker-Einbettung der Graßmann-Mannigfaltigkeiten) zu einer projektiven Varietät.

Verallgemeinerte Fahnenmannigfaltigkeiten Bearbeiten

Es sei eine halbeinfache Liegruppe und eine Borel-Gruppe, d. h. eine minimale parabolische Untergruppe von . Dann heißt der homogene Raum verallgemeinerte Fahnenmannigfaltigkeit. Falls eine algebraische Gruppe ist, ist eine projektive Varietät.

Die obigen Beispiele der Fahnenmannigfaltigkeiten eines Vektorraums erhält man für oder und die Untergruppe der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen.

Literatur Bearbeiten

  • Charles Ehresmann: Sur la topologie de certains espaces homogènes. Ann. of Math. (2) 35 (1934), no. 2, 396–443.
  • Shiing-Shen Chern: On the characteristic classes of complex sphere bundles and algebraic varieties. Amer. J. Math. 75, (1953). 565–597.
  • Armand Borel: Cohomologie des espaces homogènes. Séminaire Bourbaki, Vol. 1, Exp. No. 45, 371–378, Soc. Math. France, Paris, 1995.
  • D. V. Alekseevsky: Flag manifolds. 11th Yugoslav Geometrical Seminar (Divčibare, 1996). Zb. Rad. Mat. Inst. Beograd. (N.S.) 6(14) (1997), 3–35. online (PDF; 1,2 MB)

Weblinks Bearbeiten

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In der Mathematik ist eine Fahnenmannigfaltigkeit der Raum der vollstandigen Fahnen in einem Vektorraum oder allgemeiner der Quotient einer halbeinfachen algebraischen Gruppe nach einer borelschen Untergruppe Fahnenmannigfaltigkeiten sind projektive Varietaten Inhaltsverzeichnis 1 Fahnenmannigfaltigkeit eines Vektorraums 2 Verallgemeinerte Fahnenmannigfaltigkeiten 3 Literatur 4 WeblinksFahnenmannigfaltigkeit eines Vektorraums BearbeitenEine vollstandige Fahne in einem endlichdimensionalen reellen oder komplexen Vektorraum V displaystyle V nbsp ist eine Folge V 0 V 1 V n displaystyle V 0 V 1 ldots V n nbsp von Untervektorraumen von V displaystyle V nbsp mit V 0 0 displaystyle V 0 0 nbsp und V n V displaystyle V n V nbsp so dass jeder Unterraum im nachfolgenden echt enthalten ist d h V 0 V 1 V n displaystyle V 0 subsetneq V 1 subsetneq ldots subsetneq V n nbsp und so dass dim V i i displaystyle dim V i i nbsp fur i 0 n displaystyle i 0 ldots n nbsp gilt insbesondere also n dim V displaystyle n dim V nbsp Die allgemeine lineare Gruppe GL V displaystyle operatorname GL V nbsp wirkt transitiv auf der Menge aller vollstandigen Fahnen die Stabilisatoren einer Fahne sind konjugiert zur Gruppe B displaystyle B nbsp der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen Es gibt also eine Bijektion zwischen GL V B displaystyle operatorname GL V B nbsp und der Menge aller vollstandigen Fahnen Deshalb wird F l V GL V B displaystyle mathcal F l V operatorname GL V B nbsp als Fahnenmannigfaltigkeit bezeichnet Die kanonische Einbettung in das Produkt von Grassmann Mannigfaltigkeiten F l V G r 1 n G r 2 n G r n n displaystyle mathcal F l V subset Gr 1 n times Gr 2 n times ldots times Gr n n nbsp macht die Fahnenmannigfaltigkeit zu einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit und vermittels der Plucker Einbettung der Grassmann Mannigfaltigkeiten zu einer projektiven Varietat Verallgemeinerte Fahnenmannigfaltigkeiten BearbeitenEs sei G displaystyle G nbsp eine halbeinfache Liegruppe und B G displaystyle B subset G nbsp eine Borel Gruppe d h eine minimale parabolische Untergruppe von G displaystyle G nbsp Dann heisst der homogene Raum G B displaystyle G B nbsp verallgemeinerte Fahnenmannigfaltigkeit Falls G displaystyle G nbsp eine algebraische Gruppe ist ist G B displaystyle G B nbsp eine projektive Varietat Die obigen Beispiele der Fahnenmannigfaltigkeiten eines Vektorraums erhalt man fur G GL n R displaystyle G operatorname GL n mathbb R nbsp oder G GL n C displaystyle G operatorname GL n mathbb C nbsp und B displaystyle B nbsp die Untergruppe der invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen Literatur BearbeitenCharles Ehresmann Sur la topologie de certains espaces homogenes Ann of Math 2 35 1934 no 2 396 443 Shiing Shen Chern On the characteristic classes of complex sphere bundles and algebraic varieties Amer J Math 75 1953 565 597 Armand Borel Cohomologie des espaces homogenes Seminaire Bourbaki Vol 1 Exp No 45 371 378 Soc Math France Paris 1995 D V Alekseevsky Flag manifolds 11th Yugoslav Geometrical Seminar Divcibare 1996 Zb Rad Mat Inst Beograd N S 6 14 1997 3 35 online PDF 1 2 MB Weblinks BearbeitenFlag Manifold MathWorld Flag Variety nLab What are flag manifolds and why are they interesting Australian Mathematical Society Web Site the Gazette Brion Lectures on the geometry of flag varieties Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fahnenmannigfaltigkeit amp oldid 217072931