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Cup Produkt Das bezeichnet in der Algebraischen Topologie eine multiplikative Struktur auf einer Kohomologie Dadurch erh

Cup-Produkt

Das Cup-Produkt bezeichnet in der Algebraischen Topologie eine multiplikative Struktur auf einer Kohomologie. Dadurch erhält man auf der Kohomologie eine Ringstruktur, die als Kohomologiering bezeichnet wird. Ein analoges Produkt für Homologien gibt es nicht.

Für topologische Räume und natürliche Zahlen definiert das Cup-Produkt ein Produkt

mit den Eigenschaften

Definition Bearbeiten

Im Folgenden werden drei Definitionen für das Cup-Produkt dargestellt. Die Definition des Cup-Produkts für die singuläre Kohomologie ist die allgemeinste der drei und umfasst die Definitionen für die De-Rham- und die simpliziale Kohomologie.

De-Rham-Kohomologie Bearbeiten

Diese Definition setzt voraus, dass eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.

In der De-Rham-Kohomologie werden Kohomologieklassen durch Differentialformen repräsentiert. Für das äußere Produkt von Differentialformen gilt die Leibniz-Regel . Man kann deshalb das Cup-Produkt der von und repräsentierten Kohomologieklassen durch

definieren und erhält wegen der Leibniz-Regel eine wohldefinierte Abbildung der Kohomologiegruppen.

Simpliziale Kohomologie Bearbeiten

Diese Definition setzt voraus, dass ein Simplizialkomplex ist.

In der simplizialen Kohomologie werden Kohomologieklassen durch Homomorphismen repräsentiert, wobei die -te Kettengruppe, also die freie abelsche Gruppe über der Menge der -Simplizes des Simplizialkomplexes ist. Für einen -Simplex bezeichnen wir mit bzw. die von den ersten bzw. letzten Ecken aufgespannten Untersimplizes. Fūr zwei Homomorphismen , definiert man durch

Diese Verknüpfung erfüllt die Leibniz-Regel , man erhält also eine wohldefinierte Abbildung der Kohomologiegruppen, indem man das Cup-Produkt der Kohomologieklassen von und als die Kohomologieklasse von definiert.

Singuläre Kohomologie Bearbeiten

Diese Definition funktioniert für beliebige topologische Räume, im Falle von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten bzw. Simplizialkomplexen ist die so definierte Ringstruktur auf der singulären Kohomologie isomorph zu den oben definierten Ringstrukturen auf De-Rham- bzw. simplizialer Kohomologie.

Sei ein Ring und die singuläre Kohomologie mit Koeffizienten in . Kohomologieklassen werden durch Homomorphismen repräsentiert, wobei die -te singuläre Kettengruppe, also die freie abelsche Gruppe über der Menge aller stetigen Abbildungen des Standard--Simplexes nach ist. Man bezeichnet mit beziehungsweise die Inklusionen des Standard-- beziehungsweise -Simplexes als "vordere -dimensionale Seite" beziehungsweise "hintere -dimensionale Seite" in den Standard--Simplex. Für einen singulären -Simplex und Koketten , definiert man

Diese Verknüpfung erfüllt die Leibniz-Regel , man erhält also eine wohldefinierte Abbildung der Kohomologiegruppen, indem man das Cup-Produkt der Kohomologieklassen von und als die Kohomologieklasse von definiert.

Das Cup-Produkt definiert eine zusätzliche, multiplikative Struktur auf den Kohomologiegruppen. Man kann mit Hilfe dieser multiplikativen Struktur manchmal Räume unterscheiden, deren Kohomologiegruppen als (additive) abelsche Gruppen isomorph sind.

Schnittform und Signatur Bearbeiten

Für eine geschlossene, orientierbare -dimensionale Mannigfaltigkeit existiert ein Isomorphismus . Das Cup-Produkt definiert somit eine symmetrische Bilinearform

die sogenannte Schnittform.

Die Signatur von ist per Definition die Signatur dieser symmetrischen Bilinearform. Der Hirzebruchsche Signatursatz besagt, dass man die Signatur als Polynom in den Pontrjagin-Klassen darstellen kann.

Einfach zusammenhängende differenzierbare 4-Mannigfaltigkeiten werden bis auf Homöomorphie (aber nicht Diffeomorphie) durch ihre Schnittform klassifiziert. Für die Klassifikation einfach zusammenhängender topologischer 4-Mannigfaltigkeiten benötigt man neben der Schnittform noch die Kirby-Siebenmann-Invariante.

Literatur Bearbeiten

  • A. Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge Univ. Press, Cambridge 2010, ISBN 978-0-521-79160-1. Chapter 3.2 (auf: math.cornell.edu, PDF; 539 kB).

Belege Bearbeiten

  1. H. Weyl: Analisis situs combinatorio. In: Revista Matematica HispanoAmericana. 5, 1923, S. 390–432.
  2. Friedrich Hirzebruch: Neue topologische Methoden in der algebraischen Geometrie. In: Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. (N.F.), Heft 9. Springer-Verlag, Berlin/ Göttingen/ Heidelberg 1956, Kapitel 2.
  3. Michael Freedman: The topology of four-dimensional manifolds. In: J. Differential Geom. 17, no. 3, 1982, S. 357–453.
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Das Cup Produkt bezeichnet in der Algebraischen Topologie eine multiplikative Struktur auf einer Kohomologie Dadurch erhalt man auf der Kohomologie eine Ringstruktur die als Kohomologiering bezeichnet wird Ein analoges Produkt fur Homologien gibt es nicht Fur topologische Raume X displaystyle X und naturliche Zahlen p q displaystyle p q definiert das Cup Produkt ein Produkt H p X H q X H p q X displaystyle H p X times H q X rightarrow H p q X a b a b displaystyle alpha beta rightarrow alpha cup beta mit den Eigenschaften a b 1 p q b a displaystyle alpha cup beta 1 pq beta cup alpha graduierte Kommutativitat f a b f a f b displaystyle f alpha cup beta f alpha cup f beta fur alle stetigen Abbildungen f Y X displaystyle f colon Y rightarrow X Naturlichkeit a b 1 b 2 a b 1 a b 2 displaystyle alpha cup beta 1 beta 2 alpha cup beta 1 alpha cup beta 2 Distributivitat a b g a b g displaystyle alpha cup beta cup gamma alpha cup beta cup gamma Assoziativitat Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 De Rham Kohomologie 1 2 Simpliziale Kohomologie 1 3 Singulare Kohomologie 2 Schnittform und Signatur 3 Literatur 4 BelegeDefinition BearbeitenIm Folgenden werden drei Definitionen fur das Cup Produkt dargestellt Die Definition des Cup Produkts fur die singulare Kohomologie ist die allgemeinste der drei und umfasst die Definitionen fur die De Rham und die simpliziale Kohomologie De Rham Kohomologie Bearbeiten Diese Definition setzt voraus dass X displaystyle X nbsp eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist In der De Rham Kohomologie werden Kohomologieklassen durch Differentialformen reprasentiert Fur das aussere Produkt von Differentialformen w W p X h W q X displaystyle omega in Omega p X eta in Omega q X nbsp gilt die Leibniz Regel d w h d w h 1 p w d h displaystyle d omega wedge eta d omega wedge eta 1 p omega wedge d eta nbsp Man kann deshalb das Cup Produkt der von w displaystyle omega nbsp und h displaystyle eta nbsp reprasentierten Kohomologieklassen a w b h displaystyle alpha left omega right beta left eta right nbsp durch w h w h displaystyle left omega right cup left eta right left omega wedge eta right nbsp definieren und erhalt wegen der Leibniz Regel eine wohldefinierte Abbildung der Kohomologiegruppen Simpliziale Kohomologie Bearbeiten Diese Definition setzt voraus dass X displaystyle X nbsp ein Simplizialkomplex ist In der simplizialen Kohomologie werden Kohomologieklassen a H n X R displaystyle alpha in H n X R nbsp durch Homomorphismen f C n X R displaystyle f colon C n X rightarrow R nbsp reprasentiert wobei C n X displaystyle C n X nbsp die n displaystyle n nbsp te Kettengruppe also die freie abelsche Gruppe uber der Menge der n displaystyle n nbsp Simplizes des Simplizialkomplexes X displaystyle X nbsp ist Fur einen p q displaystyle p q nbsp Simplex v 0 v p q displaystyle left v 0 ldots v p q right nbsp bezeichnen wir mit v 0 v p displaystyle left v 0 ldots v p right nbsp bzw v p v p q displaystyle left v p ldots v p q right nbsp die von den ersten p displaystyle p nbsp bzw letzten q displaystyle q nbsp Ecken aufgespannten Untersimplizes Fur zwei Homomorphismen f C p X R displaystyle f colon C p X rightarrow R nbsp g C q X R displaystyle g colon C q X rightarrow R nbsp definiert man f g C p q X R displaystyle f cup g C p q X rightarrow R nbsp durch f g v 0 v n f v 0 v p g v p v p q displaystyle f cup g left v 0 ldots v n right f left v 0 ldots v p right g left v p ldots v p q right nbsp Diese Verknupfung erfullt die Leibniz Regel d f g d f g 1 p f d g displaystyle d f cup g df cup g 1 p f cup dg nbsp man erhalt also eine wohldefinierte Abbildung der Kohomologiegruppen indem man das Cup Produkt der Kohomologieklassen von f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp als die Kohomologieklasse von f g displaystyle f cup g nbsp definiert Singulare Kohomologie Bearbeiten Diese Definition funktioniert fur beliebige topologische Raume im Falle von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten bzw Simplizialkomplexen ist die so definierte Ringstruktur auf der singularen Kohomologie isomorph zu den oben definierten Ringstrukturen auf De Rham bzw simplizialer Kohomologie Sei R displaystyle R nbsp ein Ring und H X R displaystyle H bullet X R nbsp die singulare Kohomologie mit Koeffizienten in R displaystyle R nbsp Kohomologieklassen a H n X R displaystyle alpha in H n X R nbsp werden durch Homomorphismen f C n X R displaystyle f colon C n X rightarrow R nbsp reprasentiert wobei C n X displaystyle C n X nbsp die n displaystyle n nbsp te singulare Kettengruppe also die freie abelsche Gruppe uber der Menge aller stetigen Abbildungen des Standard n displaystyle n nbsp Simplexes D n displaystyle Delta n nbsp nach X displaystyle X nbsp ist Man bezeichnet mit i 0 p D p D p q displaystyle iota 0 ldots p colon Delta p rightarrow Delta p q nbsp beziehungsweise i p p q D q D p q displaystyle iota p ldots p q colon Delta q rightarrow Delta p q nbsp die Inklusionen des Standard p displaystyle p nbsp beziehungsweise q 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Kohomologiegruppen Man kann mit Hilfe dieser multiplikativen Struktur manchmal Raume unterscheiden deren Kohomologiegruppen als additive abelsche Gruppen isomorph sind Schnittform und Signatur BearbeitenFur eine geschlossene orientierbare 4 n displaystyle 4n nbsp dimensionale Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp existiert ein Isomorphismus H 4 n M Z Z displaystyle H 4n M mathbb Z cong mathbb Z nbsp Das Cup Produkt definiert somit eine symmetrische Bilinearform H 2 n M Z H 2 n M Z Z displaystyle H 2n M mathbb Z times H 2n M mathbb Z rightarrow mathbb Z nbsp die sogenannte Schnittform Die Signatur von M displaystyle M nbsp ist per Definition die Signatur dieser symmetrischen Bilinearform 1 Der Hirzebruchsche Signatursatz besagt dass man die Signatur als Polynom in den Pontrjagin Klassen darstellen kann 2 Einfach zusammenhangende differenzierbare 4 Mannigfaltigkeiten werden bis auf Homoomorphie aber nicht Diffeomorphie durch ihre Schnittform klassifiziert Fur die Klassifikation einfach zusammenhangender topologischer 4 Mannigfaltigkeiten benotigt man neben der Schnittform noch die Kirby Siebenmann Invariante 3 Literatur BearbeitenA Hatcher Algebraic Topology Cambridge Univ Press Cambridge 2010 ISBN 978 0 521 79160 1 Chapter 3 2 auf math cornell edu PDF 539 kB Belege Bearbeiten H Weyl Analisis situs combinatorio In Revista Matematica HispanoAmericana 5 1923 S 390 432 Friedrich Hirzebruch Neue topologische Methoden in der algebraischen Geometrie In Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete N F Heft 9 Springer Verlag Berlin Gottingen Heidelberg 1956 Kapitel 2 Michael Freedman The topology of four dimensional manifolds In J Differential Geom 17 no 3 1982 S 357 453 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Cup Produkt amp oldid 238531290