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Signatursatz von Hirzebruch Der ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der globalen Analysis Er ist benannt

Signatursatz von Hirzebruch

Der Signatursatz von Hirzebruch ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der globalen Analysis. Er ist benannt nach dem Mathematiker Friedrich Hirzebruch und kann als Spezialfall des Atiyah-Singer-Indexsatzes angewandt auf den Signatur-Operator aufgefasst werden. Der Signatursatz gibt einen Zusammenhang zwischen der Signatur und dem L-Geschlecht einer Mannigfaltigkeit. Bewiesen wurde er 1953 von Friedrich Hirzebruch mittels Kobordismustheorie.

Aussage des Signatursatzes Bearbeiten

Sei eine orientierte kompakte glatte Mannigfaltigkeit der Dimension . Mit wird die Signatur von bezeichnet, die als Signatur der Schnittform definiert ist. Dann gilt

wobei das L-Geschlecht von ist. Es ist definiert als

wobei der Raum der -Differentialformen und die Riemannsche Krümmung ist.

Signatur-Operator und Signatur-Komplex Bearbeiten

In diesem Abschnitt wird ein bestimmter Dirac-Operator, der Signatur-Operator genannt wird, definiert. Er steht in einem engen Zusammenhang zum Signatursatz. Sein Fredholm-Index ist nämlich gerade die auf der linken Seite des hirzebruchschen Satzes auftretende Signatur. Um den Signatur-Operator zu definieren, wird eine -Graduierung auf dem Raum der Differentialformen benötigt. Der Signatur-Operator ist nun ein Dirac-Operator, der diese Graduierung beachtet. Mit ihm kann ein Komplex mit zwei Termen induziert werden, der ein elliptischer Komplex ist. Dieser Komplex wird Signatur-Komplex genannt.

In diesem Abschnitt wird mit eine kompakte orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension bezeichnet. Das komplexifizierte Kotangentialbündel von wird daher mit notiert und mit wird die Algebra der Differentialformen über dem komplexifizierten Kotangentialbündel notiert.

Graduierung der Algebra der Differentialformen Bearbeiten

Eine -Graduierung von wird durch den involutiven Operator für induziert, wobei der Hodge-Stern-Operator ist. Die Graduierung ist also durch mit

und

gegeben.

Signatur-Operator Bearbeiten

Der Signatur-Operator ist nun der zum äußeren Bündel assoziierte Dirac-Operator. Mit Hilfe der äußeren Ableitung kann dieser konkret angegeben werden. Mit wird der zur äußeren Ableitung adjungierte Operator bezeichnet. Dieser heißt auch Hodge-Ableitung. Auf kompakten orientierbaren Riemannschen Mannigfaltigkeiten gilt die Beziehung . Der Operator respektiert die zuvor definierte Graduierung und ist somit der gesuchte Signatur-Operator

Da er ein Dirac-Operator ist, ist er auch elliptisch und besitzt einen analytischen Index. Dieser ist durch die Signatur der Mannigfaltigkeit gegeben.

Signatur-Komplex Bearbeiten

Der Signatur-Komplex ist der Komplex

Dies ist ein elliptischer Komplex, das heißt, neben dem oben dargestellten Komplex ist auch der Komplex seiner Symbole

exakt.

Beweisidee und Bezug zum Atiyah-Singer-Indexsatz Bearbeiten

Mittels der Hodge-Theorie kann gezeigt werden, dass die Signatur der kompakten riemannschen Mannigfaltigkeit mit dem Fredholm-Index des Signatur-Operators übereinstimmt. Aus dem Atiyah-Singer-Indexsatz oder seinem Spezialfall für Dirac-Operatoren folgt, dass sich der Index eines Dirac-Operators als Polynom in den Pontrjagin-Klassen darstellen lässt. Im Fall des Signatur-Operators ist dieses Polynom gerade das L-Geschlecht. Hirzebruch selbst bewies 1953 den Signatursatz mit Methoden der Kobordismustheorie, bevor Atiyah und Singer ihren Indexsatz veröffentlichten.

Verallgemeinerung Bearbeiten

Der Signatursatz von Hirzebruch wurde im Jahr 1975 von Michael Francis Atiyah, Vijay Kumar Patodi und Isadore M. Singer für eine spezielle Klasse von riemannschen Mannigfaltigkeiten mit Rand verallgemeinert. Im Gegensatz zum hirzebruchschen Signatursatz tritt in dieser verallgemeinerten Fassung eine weitere Invariante, die -Invariante auf. Diese Invariante ist weder eine topologische noch eine differentialgeometrische. Die -Invariante wird aus den Eigenwerten eines zum Signatur-Operator assoziierten Differentialoperators, dem sogenannten tangentialen Signatur-Operator berechnet.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat kernels and Dirac operators (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298). Berlin u. a. Springer 1992, ISBN 0-387-53340-0, S. 161.
  2. Hirzebruch The Signature Theorem. Reminiscences and recreation. Prospects in Mathematics, Annals of Mathematical Studies, Band 70, 1971, S. 3–31.
  3. ↑ Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat kernels and Dirac operators (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298). Berlin u. a. Springer 1992, ISBN 0-387-53340-0, S. 146.
  4. ↑ Nicole Berline, Ezra Getzler, Michèle Vergne: Heat kernels and Dirac operators (= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298). Berlin u. a. Springer 1992, ISBN 0-387-53340-0, S. 127–129.
  5. Charles Nash: Differential Topology and Quantum Field Theory. 1992, S. 110.
  6. Atiyah, Patodi, Singer: Spectral asymmetry and Riemannian Geometry. I. Math. Proc. Camp. Phil. Soc. (1975), 77, 43–69.
  7. Peter B. Gilkey: Invariance theory, the heat equation, and the Atiyah-Singer index theorem (= Mathematics Lecture Series 11). Publish or Perish Inc., Wilmington DE 1984, ISBN 0-914098-20-9, S. 269 (Online)
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Veröffentlichungsdatum:
Der Signatursatz von Hirzebruch ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der globalen Analysis Er ist benannt nach dem Mathematiker Friedrich Hirzebruch und kann als Spezialfall des Atiyah Singer Indexsatzes angewandt auf den Signatur Operator aufgefasst werden Der Signatursatz gibt einen Zusammenhang zwischen der Signatur und dem L Geschlecht einer Mannigfaltigkeit Bewiesen wurde er 1953 von Friedrich Hirzebruch mittels Kobordismustheorie 1 2 Inhaltsverzeichnis 1 Aussage des Signatursatzes 2 Signatur Operator und Signatur Komplex 2 1 Graduierung der Algebra der Differentialformen 2 2 Signatur Operator 2 3 Signatur Komplex 3 Beweisidee und Bezug zum Atiyah Singer Indexsatz 4 Verallgemeinerung 5 EinzelnachweiseAussage des Signatursatzes BearbeitenSei X displaystyle X nbsp eine orientierte kompakte glatte Mannigfaltigkeit der Dimension n 4 k displaystyle n 4k nbsp Mit s M displaystyle sigma M nbsp wird die Signatur von M displaystyle M nbsp bezeichnet die als Signatur der Schnittform definiert ist Dann gilt s M p i n 2 M L M displaystyle sigma M pi i frac n 2 int M L M nbsp wobei L M displaystyle L M nbsp das L Geschlecht von M displaystyle M nbsp ist Es ist definiert als L M det 1 2 R 2 tanh R 2 A 4 M displaystyle L M det nolimits frac 1 2 left frac R 2 tanh R 2 right in mathcal A 4 bullet M nbsp wobei A 4 M displaystyle mathcal A 4 bullet M nbsp der Raum der 4 k displaystyle 4k nbsp Differentialformen und R displaystyle R nbsp die Riemannsche Krummung ist 3 Signatur Operator und Signatur Komplex BearbeitenIn diesem Abschnitt wird ein bestimmter Dirac Operator der Signatur Operator genannt wird definiert Er steht in einem engen Zusammenhang zum Signatursatz Sein Fredholm Index ist namlich gerade die auf der linken Seite des hirzebruchschen Satzes auftretende Signatur Um den Signatur Operator zu definieren wird eine Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp Graduierung auf dem Raum der Differentialformen benotigt Der Signatur Operator ist nun ein Dirac Operator der diese Graduierung beachtet Mit ihm kann ein Komplex mit zwei Termen induziert werden der ein elliptischer Komplex ist Dieser Komplex wird Signatur Komplex genannt In diesem Abschnitt wird mit X displaystyle X nbsp eine kompakte orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension 2 k displaystyle 2k nbsp bezeichnet Das komplexifizierte Kotangentialbundel von X displaystyle X nbsp wird daher mit T X C displaystyle T X otimes mathbb C nbsp notiert und mit A X G L T X C displaystyle mathcal A X Gamma Lambda T X otimes mathbb C nbsp wird die Algebra der Differentialformen uber dem komplexifizierten Kotangentialbundel notiert Graduierung der Algebra der Differentialformen Bearbeiten Eine Z 2 displaystyle mathbb Z 2 nbsp Graduierung von A X displaystyle mathcal A X nbsp wird durch den involutiven Operator t ϕ i p p 1 k ϕ displaystyle tau phi i p p 1 k star phi nbsp fur ϕ A p T X C displaystyle phi in mathcal A p T X otimes mathbb C nbsp induziert wobei displaystyle star nbsp der Hodge Stern Operator ist Die Graduierung ist also durch A X A X A X displaystyle mathcal A X mathcal A X oplus mathcal A X nbsp mit A X v A X t v v displaystyle mathcal A X left v in mathcal A X tau v v right nbsp und A X v A X t v v displaystyle mathcal A X left v in mathcal A X tau v v right nbsp gegeben 4 Signatur Operator Bearbeiten Der Signatur Operator ist nun der zum ausseren Bundel assoziierte Dirac Operator Mit Hilfe der ausseren Ableitung d displaystyle mathrm d nbsp kann dieser konkret angegeben werden Mit d t displaystyle mathrm d t nbsp wird der zur ausseren Ableitung adjungierte Operator bezeichnet Dieser heisst auch Hodge Ableitung Auf kompakten orientierbaren Riemannschen Mannigfaltigkeiten gilt die Beziehung d t t d t displaystyle mathrm d t tau mathrm d tau nbsp Der Operator d d t A X A X displaystyle mathrm d mathrm d t colon mathcal A X to mathcal A X nbsp respektiert die zuvor definierte Graduierung und ist somit der gesuchte Signatur Operator 4 d d t A X A X displaystyle mathrm d mathrm d t colon mathcal A pm X to mathcal A mp X nbsp Da er ein Dirac Operator ist ist er auch elliptisch und besitzt einen analytischen Index Dieser ist durch die Signatur s X displaystyle sigma X nbsp der Mannigfaltigkeit X displaystyle X nbsp gegeben 4 Signatur Komplex Bearbeiten Der Signatur Komplex ist der Komplex 0 A X d d A X 0 displaystyle 0 longrightarrow mathcal A X stackrel mathrm d mathrm d longrightarrow mathcal A X longrightarrow 0 nbsp Dies ist ein elliptischer Komplex das heisst neben dem oben dargestellten Komplex ist auch der Komplex seiner Symbole 0 p A X s d d p A X 0 displaystyle 0 longrightarrow pi mathcal A X stackrel sigma mathrm d mathrm d longrightarrow pi mathcal A X longrightarrow 0 nbsp exakt 5 Beweisidee und Bezug zum Atiyah Singer Indexsatz BearbeitenMittels der Hodge Theorie kann gezeigt werden dass die Signatur s M displaystyle sigma M nbsp der kompakten riemannschen Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp mit dem Fredholm Index des Signatur Operators ubereinstimmt 4 Aus dem Atiyah Singer Indexsatz oder seinem Spezialfall fur Dirac Operatoren folgt dass sich der Index eines Dirac Operators als Polynom in den Pontrjagin Klassen darstellen lasst Im Fall des Signatur Operators ist dieses Polynom gerade das L Geschlecht 3 Hirzebruch selbst bewies 1953 den Signatursatz mit Methoden der Kobordismustheorie bevor Atiyah und Singer ihren Indexsatz veroffentlichten Verallgemeinerung BearbeitenDer Signatursatz von Hirzebruch wurde im Jahr 1975 von Michael Francis Atiyah Vijay Kumar Patodi und Isadore M Singer fur eine spezielle Klasse von riemannschen Mannigfaltigkeiten mit Rand verallgemeinert 6 Im Gegensatz zum hirzebruchschen Signatursatz tritt in dieser verallgemeinerten Fassung eine weitere Invariante die h displaystyle eta nbsp Invariante auf Diese Invariante ist weder eine topologische noch eine differentialgeometrische Die h displaystyle eta nbsp Invariante wird aus den Eigenwerten eines zum Signatur Operator assoziierten Differentialoperators dem sogenannten tangentialen Signatur Operator berechnet 7 Einzelnachweise Bearbeiten Nicole Berline Ezra Getzler Michele Vergne Heat kernels and Dirac operators Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298 Berlin u a Springer 1992 ISBN 0 387 53340 0 S 161 Hirzebruch The Signature Theorem Reminiscences and recreation Prospects in Mathematics Annals of Mathematical Studies Band 70 1971 S 3 31 a b Nicole Berline Ezra Getzler Michele Vergne Heat kernels and Dirac operators Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298 Berlin u a Springer 1992 ISBN 0 387 53340 0 S 146 a b c d Nicole Berline Ezra Getzler Michele Vergne Heat kernels and Dirac operators Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 298 Berlin u a Springer 1992 ISBN 0 387 53340 0 S 127 129 Charles Nash Differential Topology and Quantum Field Theory 1992 S 110 Atiyah Patodi Singer Spectral asymmetry and Riemannian Geometry I Math Proc Camp Phil Soc 1975 77 43 69 Peter B Gilkey Invariance theory the heat equation and the Atiyah Singer index theorem Mathematics Lecture Series 11 Publish or Perish Inc Wilmington DE 1984 ISBN 0 914098 20 9 S 269 Online Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Signatursatz von Hirzebruch amp oldid 232815370