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Dirac Operator Der ist ein Differentialoperator der eine Quadratwurzel aus dem Laplace Operator ist Der ursprüngliche Fa

Dirac-Operator

Der Dirac-Operator ist ein Differentialoperator, der eine Quadratwurzel aus dem Laplace-Operator ist. Der ursprüngliche Fall, mit dem sich Paul Dirac beschäftigte, war die formale Faktorisierung eines Operators für den Minkowski-Raum, der die Quantentheorie mit der speziellen Relativitätstheorie verträglich macht.

Definition Bearbeiten

Es sei ein geometrischer Differentialoperator erster Ordnung, der auf ein Vektorbündel über einer riemannschen Mannigfaltigkeit wirkt. Wenn dann

gilt, wobei ein verallgemeinerter Laplace-Operator auf ist, so heißt Dirac-Operator.

Geschichte Bearbeiten

Ursprünglich hatte Paul Dirac die Wurzel aus dem D’Alembertoperator betrachtet und damit die relativistische Quantenfeldtheorie eines Elektrons begründen wollen.

Dirac betrachtete für n=3 den Differentialoperator

wobei die Dirac-Matrizen sind. Dieser ist jedoch nach heutigem Verständnis kein Dirac-Operator mehr.

In den 1960ern griffen Michael Francis Atiyah und Isadore M. Singer diesen von Dirac definierten Differentialoperator auf und entwickelten daraus den hier im Artikel hauptsächlich beschriebenen (verallgemeinerten) Dirac-Operator. Der Name Dirac-Operator wurde von Atiyah und Singer geprägt. Der Operator beeinflusste die Mathematik und die mathematische Physik des 20. Jahrhunderts stark.

Der Dirac-Operator eines Dirac-Bündels Bearbeiten

Es sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit und ein Dirac-Bündel, bestehend aus einem Clifford-Modul einer hermiteschen Metrik auf und einem Clifford-Zusammenhang auf . Dann ist der Operator

der zum Dirac-Bündel assoziierte Dirac-Operator. In lokalen Koordinaten hat er die Darstellung

Beispiele Bearbeiten

Elementares Beispiel Bearbeiten

Der Operator ist ein Dirac-Operator über dem Tangentialbündel von .

Spin-Dirac-Operator Bearbeiten

Betrachtet werde der Konfigurationsraum eines Teilchens mit Spin 1/2, das auf die Ebene beschränkt ist, welche die Basis-Mannigfaltigkeit bildet. Der Zustand wird durch eine Wellenfunktion ψG mit zwei komplexen Komponenten beschrieben, für die also jeweils gelten soll, wobei Gesamtzustände, die sich nur um einen komplexen Faktor unterscheiden, identifiziert werden. Der Gesamtzustand ist also:

Dabei sind und die üblichen kartesischen Koordinaten auf : definiert die Wahrscheinlichkeitsamplitude für die aufwärts gerichteten Spin-Komponente (Spin-Up), und analog für die Spin-Down-Komponente. Der sogenannte Spin-Dirac-Operator kann dann geschrieben werden als

wobei σx und σy die Pauli-Matrizen sind. Man beachte, dass die antikommutativen Beziehungen der Pauli-Matrizen einen Beweis der obigen Definition trivial machen. Diese Beziehungen definieren den Begriff der Clifford-Algebra#Beispiele am Beispiel der Quaternionen-Algebra. Lösungen der Dirac-Gleichung für Spinor-Felder werden oft harmonische Spinoren genannt.

Hodge-De-Rham-Operator Bearbeiten

Sei eine orientierbare riemannsche Mannigfaltigkeit und sei die äußere Ableitung und der zur äußeren Ableitung bezüglich der L²-Metrik adjungierte Operator. Dann ist

ein Dirac-Operator.

Atiyah-Singer-Dirac-Operator Bearbeiten

Es gibt auch einen Dirac-Operator in der Clifford-Analysis. Im n-dimensionalen euklidischen Raum, d. h. für ist das
    
wobei
    
eine Orthonormal-Basis des euklidischen Raumes ist und in eine Clifford-Algebra eingebettet ist. Dies ist ein Spezialfall des Atiyah-Singer-Dirac-Operators, der auf den Schnitten eines Spinor-Bündels wirkt.

Für eine Spin-Mannigfaltigkeit , ist der Atiyah-Singer-Dirac-Operator lokal folgendermaßen definiert:
Für und eine lokale Orthonormalbasis für den Tangentenraum von in ist der Atiyah-Singer-Dirac-Operator
    ,
wobei ein Paralleltransport des Levi-Civita-Zusammenhangs auf für das Spinor-Bündel über ist.

Eigenschaften Bearbeiten

Das Hauptsymbol eines verallgemeinerten Laplace-Operators ist . Entsprechend ist das Hauptsymbol eines Dirac-Operators und somit sind beide Klassen von Differentialoperatoren elliptisch.

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Der Operator , der auf die nachfolgend definierten spinorwertige Funktionen wirkt,

wird in der Clifford-Analysis oft als Dirac-Operator in k CliffordVariablen genannt. In dieser Notation ist S der Raum von Spinoren, sind n-dimensionale Variablen und ist der Dirac-Operator in der -ten Variablen. Dies ist eine gebräuchliche Verallgemeinerung des Dirac-Operators (k=1) und der Dolbeault-Kohomologie (n=2, k beliebig). Er ist ein Differentialoperator, der invariant zu der Operation der Gruppe ist. Die Injektive Auflösung von D ist nur für einige Spezialfälle bekannt.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Thomas Friedrich: Dirac Operators in Riemannian Geometry (Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie, 1997). American Mathematical Society, Providence, R.I. 2000, ISBN 978-0-8218-2055-1.
  • Fabrizio Colombo, Irene Sabadini: Analysis of Dirac Systems and Computational Algebra (Progress in mathematical physics; Bd. 39). Birkhäuser, Boston, Mass. 2004, ISBN 978-0-8176-4255-6.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Liviu I. Nicolaescu: Lectures on the geometry of manifolds. 2nd edition. World Scientific Pub Co., Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270853-3, S. 498
  2. Herbert Schröder: Funktionalanalysis. 2. korr. Auflage. Harri Deutsch, 2000, ISBN 3-8171-1623-3, S. 364.
  3. Yanlin Yu: The index theorem & the heat equation method. 1. Auflage. World Scientify, Singapur 2001, ISBN 981-02-4610-2, S. 195.
  4. D. V. Alekseevskii (originator): Spinor structure. Encyclopedia of Mathematics
  5. Liviu I. Nicolaescu: Lectures on the geometry of manifolds. 2nd edition. World Scientific Pub Co., Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270853-3, S. 499
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Veröffentlichungsdatum:
Der Dirac Operator ist ein Differentialoperator der eine Quadratwurzel aus dem Laplace Operator ist Der ursprungliche Fall mit dem sich Paul Dirac beschaftigte war die formale Faktorisierung eines Operators fur den Minkowski Raum der die Quantentheorie mit der speziellen Relativitatstheorie vertraglich macht Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Geschichte 3 Der Dirac Operator eines Dirac Bundels 4 Beispiele 4 1 Elementares Beispiel 4 2 Spin Dirac Operator 4 3 Hodge De Rham Operator 4 4 Atiyah Singer Dirac Operator 5 Eigenschaften 6 Verallgemeinerungen 7 Siehe auch 8 Literatur 9 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEs sei D Diff 1 V V displaystyle D in operatorname Diff 1 V V nbsp ein geometrischer Differentialoperator erster Ordnung der auf ein Vektorbundel V M displaystyle V to M nbsp uber einer riemannschen Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp wirkt Wenn dann D 2 D displaystyle D 2 Delta nbsp gilt wobei D displaystyle Delta nbsp ein verallgemeinerter Laplace Operator auf V displaystyle V nbsp ist so heisst D displaystyle D nbsp Dirac Operator 1 Geschichte BearbeitenUrsprunglich hatte Paul Dirac die Wurzel aus dem D Alembertoperator displaystyle square nbsp betrachtet und damit die relativistische Quantenfeldtheorie eines Elektrons begrunden wollen Dirac betrachtete fur n 3 den Differentialoperator i 0 n g i x i displaystyle sum i 0 n gamma i frac partial partial x i nbsp wobei g i displaystyle gamma i nbsp die Dirac Matrizen sind Dieser ist jedoch nach heutigem Verstandnis kein Dirac Operator mehr 2 In den 1960ern griffen Michael Francis Atiyah und Isadore M Singer diesen von Dirac definierten Differentialoperator auf und entwickelten daraus den hier im Artikel hauptsachlich beschriebenen verallgemeinerten Dirac Operator Der Name Dirac Operator wurde von Atiyah und Singer gepragt Der Operator beeinflusste die Mathematik und die mathematische Physik des 20 Jahrhunderts stark 3 Der Dirac Operator eines Dirac Bundels BearbeitenEs sei M g displaystyle M g nbsp eine riemannsche Mannigfaltigkeit und E h E displaystyle mathcal E h nabla mathcal E nbsp ein Dirac Bundel bestehend aus einem Clifford Modul E M displaystyle mathcal E to M nbsp einer hermiteschen Metrik h displaystyle h nbsp auf E displaystyle mathcal E nbsp und einem Clifford Zusammenhang E displaystyle nabla mathcal E nbsp auf E displaystyle mathcal E nbsp Dann ist der Operator D G M E E G M T M E c G M E displaystyle D colon Gamma M mathcal E xrightarrow nabla mathcal E Gamma M T M otimes mathcal E xrightarrow c Gamma M mathcal E nbsp der zum Dirac Bundel E h E displaystyle E h nabla mathcal E nbsp assoziierte Dirac Operator In lokalen Koordinaten hat er die Darstellung D i 1 n c d x i i E displaystyle D sum i 1 n c mathrm d x i nabla partial i mathcal E nbsp Beispiele BearbeitenElementares Beispiel Bearbeiten Der Operator i x displaystyle i partial x nbsp ist ein Dirac Operator uber dem Tangentialbundel von R displaystyle mathbb R nbsp Spin Dirac Operator Bearbeiten Betrachtet werde der Konfigurationsraum eines Teilchens mit Spin 1 2 das auf die Ebene R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp beschrankt ist welche die Basis Mannigfaltigkeit bildet Der Zustand wird durch eine Wellenfunktion psG mit zwei komplexen Komponenten beschrieben fur die also jeweils R 2 C displaystyle mathbb R 2 to mathbb C nbsp gelten soll wobei Gesamtzustande die sich nur um einen komplexen Faktor unterscheiden identifiziert werden Der Gesamtzustand ist also ps G x x y h x y displaystyle psi G begin bmatrix chi uparrow x y eta downarrow x y end bmatrix nbsp Dabei sind x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp die ublichen kartesischen Koordinaten auf R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp x displaystyle chi uparrow nbsp definiert die Wahrscheinlichkeitsamplitude fur die aufwarts gerichteten Spin Komponente Spin Up und analog h displaystyle eta downarrow nbsp fur die Spin Down Komponente Der sogenannte Spin Dirac Operator kann dann geschrieben werden als D i s x x i s y y displaystyle D i sigma x partial x i sigma y partial y nbsp wobei sx und sy die Pauli Matrizen sind Man beachte dass die antikommutativen Beziehungen der Pauli Matrizen einen Beweis der obigen Definition trivial machen Diese Beziehungen definieren den Begriff der Clifford Algebra Beispiele am Beispiel der Quaternionen Algebra Losungen der Dirac Gleichung fur Spinor Felder werden oft harmonische Spinoren genannt 4 Hodge De Rham Operator Bearbeiten Sei M g displaystyle M g nbsp eine orientierbare riemannsche Mannigfaltigkeit und sei d A M 1 A M displaystyle mathrm d colon mathcal A M bullet 1 to mathcal A bullet M nbsp die aussere Ableitung und d t A M A 1 M displaystyle mathrm d t colon mathcal A bullet M to mathcal A bullet 1 M nbsp der zur ausseren Ableitung bezuglich der L Metrik adjungierte Operator Dann ist d d t A M A M displaystyle mathrm d mathrm d t colon mathcal A bullet M to mathcal A bullet M nbsp ein Dirac Operator 5 Atiyah Singer Dirac Operator Bearbeiten Es gibt auch einen Dirac Operator in der Clifford Analysis Im n dimensionalen euklidischen Raum d h fur R n R n displaystyle mathbb R n to mathbb R n nbsp ist das D j 1 n e j x j displaystyle D sum j 1 n e j frac partial partial x j nbsp wobei e j j 1 n displaystyle e j j 1 ldots n nbsp eine Orthonormal Basis des euklidischen Raumes ist und R n displaystyle mathbb R n nbsp in eine Clifford Algebra eingebettet ist Dies ist ein Spezialfall des Atiyah Singer Dirac Operators der auf den Schnitten eines Spinor Bundels wirkt Fur eine Spin Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp ist der Atiyah Singer Dirac Operator lokal folgendermassen definiert Fur x M displaystyle x in M nbsp und e 1 x e j x displaystyle e 1 x ldots e j x nbsp eine lokale Orthonormalbasis fur den Tangentenraum von M displaystyle M nbsp in x displaystyle x nbsp ist der Atiyah Singer Dirac Operator j 1 n e j x G e j x displaystyle sum j 1 n e j x tilde Gamma e j x nbsp wobei G displaystyle tilde Gamma nbsp ein Paralleltransport des Levi Civita Zusammenhangs auf M displaystyle M nbsp fur das Spinor Bundel uber M displaystyle M nbsp ist Eigenschaften BearbeitenDas Hauptsymbol eines verallgemeinerten Laplace Operators ist 3 3 2 displaystyle xi mapsto xi 2 nbsp Entsprechend ist das Hauptsymbol eines Dirac Operators 3 3 displaystyle xi mapsto xi nbsp und somit sind beide Klassen von Differentialoperatoren elliptisch Verallgemeinerungen BearbeitenDer Operator D C R k R n S C R k R n C k S displaystyle D colon C infty mathbb R k otimes mathbb R n S to C infty mathbb R k otimes mathbb R n mathbb C k otimes S nbsp der auf die nachfolgend definierten spinorwertige Funktionen wirkt f x 1 x k x 1 f x 2 f x k f displaystyle f x 1 ldots x k mapsto begin pmatrix partial underline x 1 f partial underline x 2 f ldots partial underline x k f end pmatrix nbsp wird in der Clifford Analysis oft als Dirac Operator in k CliffordVariablen genannt In dieser Notation ist S der Raum von Spinoren x i x i 1 x i 2 x i n displaystyle x i x i1 x i2 ldots x in nbsp sind n dimensionale Variablen und x i j e j x i j displaystyle textstyle partial underline x i sum j e j cdot partial x ij nbsp ist der Dirac Operator in der i displaystyle i nbsp ten Variablen Dies ist eine gebrauchliche Verallgemeinerung des Dirac Operators k 1 und der Dolbeault Kohomologie n 2 k beliebig Er ist ein Differentialoperator der invariant zu der Operation der Gruppe SL k Spin n displaystyle operatorname SL k times operatorname Spin n nbsp ist Die Injektive Auflosung von D ist nur fur einige Spezialfalle bekannt Siehe auch BearbeitenAtiyah Singer IndexsatzLiteratur BearbeitenThomas Friedrich Dirac Operators in Riemannian Geometry Dirac Operatoren in der Riemannschen Geometrie 1997 American Mathematical Society Providence R I 2000 ISBN 978 0 8218 2055 1 Fabrizio Colombo Irene Sabadini Analysis of Dirac Systems and Computational Algebra Progress in mathematical physics Bd 39 Birkhauser Boston Mass 2004 ISBN 978 0 8176 4255 6 Einzelnachweise Bearbeiten Liviu I Nicolaescu Lectures on the geometry of manifolds 2nd edition World Scientific Pub Co Singapore u a 2007 ISBN 978 981 270853 3 S 498 Herbert Schroder Funktionalanalysis 2 korr Auflage Harri Deutsch 2000 ISBN 3 8171 1623 3 S 364 Yanlin Yu The index theorem amp the heat equation method 1 Auflage World Scientify Singapur 2001 ISBN 981 02 4610 2 S 195 D V Alekseevskii originator Spinor structure Encyclopedia of Mathematics Liviu I Nicolaescu Lectures on the geometry of manifolds 2nd edition World Scientific Pub Co Singapore u a 2007 ISBN 978 981 270853 3 S 499 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dirac Operator amp oldid 226335853