Dolbeault Kohomologie Die ist eine mathematische Konstruktion aus dem Bereich der Differentialtopologie und der komplexe

Dolbeault-Kohomologie

Die Dolbeault-Kohomologie ist eine mathematische Konstruktion aus dem Bereich der Differentialtopologie und der komplexen Geometrie. Benannt wurde sie nach dem Mathematiker Pierre Dolbeault, der sie 1953 definierte und untersuchte. Die Dolbeault-Kohomologie ist eine spezielle Kohomologietheorie. Als Analogon zur De-Rham-Kohomologie auf komplexen Mannigfaltigkeiten ist sie ebenfalls zentral in der Hodge-Theorie.

Dolbeault-Komplex Bearbeiten

Im Folgenden werde mit die Menge der -Differentialformen bezeichnet. Sei eine -dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit, eine offene Teilmenge und

der Dolbeault-Quer-Operator. Dann heißt die Sequenz

-ter Dolbeault-Komplex. Dieser Komplex ist ein Kokettenkomplex, denn es gilt Da die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit endlichdimensional ist, bricht der Komplex nach Schritten ab. Außerdem ist der Dolbeault-Komplex elliptisch, das heißt der Kokettenkomplex der Hauptsymbole von ist exakt.

Dolbeault-Kohomologie Bearbeiten

Aus diesem -ten Kokettenkomplex erhält man auf gewohnte Weise eine Kohomologie. Diese Kohomologie heißt -te Dolbeault-Kohomologie und wird durch notiert. Die -te Kohomologiegruppe der -ten Dolbeault-Kohomologie oder kurz die -te Dolbeault-Gruppe ist also definiert als

Genauso wie bei der De-Rham-Kohomologie sind die Kohomologiegruppen auch Vektorräume.

Satz von Dolbeault Bearbeiten

Der Satz von Dolbeault ist ein komplexes Analogon zum Satz von de Rham. Mit wird die Garbe der holomorphen -Formen auf der komplexen Mannigfaltigkeit bezeichnet. Der Satz von Dolbeault besagt nun, dass die -te Garbenkohomologiegruppe mit Werten in den holomorphen -Formen isomorph zur -ten Kohomologiegruppe der -ten Dolbeault-Kohomologie ist. In mathematischer Kürze bedeutet dies

Literatur Bearbeiten

P. Dolbeault: Sur la cohomologie des variétés analytiques complexes. In: Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences. 236, 1953, ISSN 0001-4036, S. 175–277.
Klaus Fritzsche, Hans Grauert: From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. Springer-Verlag, New York NY 2002, ISBN 0-387-95395-7 (Graduate Texts in Mathematics 213).

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Veröffentlichungsdatum: November 30, 2023, 09:49 am

Die Dolbeault Kohomologie ist eine mathematische Konstruktion aus dem Bereich der Differentialtopologie und der komplexen Geometrie Benannt wurde sie nach dem Mathematiker Pierre Dolbeault der sie 1953 definierte und untersuchte Die Dolbeault Kohomologie ist eine spezielle Kohomologietheorie Als Analogon zur De Rham Kohomologie auf komplexen Mannigfaltigkeiten ist sie ebenfalls zentral in der Hodge Theorie Inhaltsverzeichnis 1 Dolbeault Komplex 2 Dolbeault Kohomologie 3 Satz von Dolbeault 4 LiteraturDolbeault Komplex BearbeitenIm Folgenden werde mit A p q displaystyle mathcal A p q nbsp die Menge der p q displaystyle p q nbsp Differentialformen bezeichnet Sei M displaystyle M nbsp eine n displaystyle n nbsp dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit U M displaystyle U subset M nbsp eine offene Teilmenge und A p q U A p q 1 U displaystyle overline partial colon mathcal A p q U to mathcal A p q 1 U nbsp der Dolbeault Quer Operator Dann heisst die Sequenz 0 A p 0 U 0 A p 1 U 1 A p 2 U 2 n 1 A p n U 0 displaystyle 0 longrightarrow mathcal A p 0 U stackrel overline partial 0 longrightarrow mathcal A p 1 U stackrel overline partial 1 longrightarrow mathcal A p 2 U stackrel overline partial 2 longrightarrow ldots stackrel overline partial n 1 longrightarrow mathcal A p n U longrightarrow 0 nbsp p displaystyle p nbsp ter Dolbeault Komplex Dieser Komplex ist ein Kokettenkomplex denn es gilt k 1 k 0 displaystyle overline partial k 1 circ overline partial k 0 nbsp Da die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit endlichdimensional ist bricht der Komplex nach n displaystyle n nbsp Schritten ab Ausserdem ist der Dolbeault Komplex elliptisch das heisst der Kokettenkomplex der Hauptsymbole von displaystyle overline partial nbsp ist exakt Dolbeault Kohomologie BearbeitenAus diesem p displaystyle p nbsp ten Kokettenkomplex erhalt man auf gewohnte Weise eine Kohomologie Diese Kohomologie heisst p displaystyle p nbsp te Dolbeault Kohomologie und wird durch H p U displaystyle H overline partial p U nbsp notiert Die q displaystyle q nbsp te Kohomologiegruppe der p displaystyle p nbsp ten Dolbeault Kohomologie oder kurz die q p displaystyle q p nbsp te Dolbeault Gruppe ist also definiert als H p q U K e r n q B i l d q 1 displaystyle H overline partial p q U mathrm Kern left overline partial q right mathrm Bild left overline partial q 1 right nbsp Genauso wie bei der De Rham Kohomologie sind die Kohomologiegruppen auch Vektorraume Satz von Dolbeault BearbeitenDer Satz von Dolbeault ist ein komplexes Analogon zum Satz von de Rham Mit W p M displaystyle Omega p M nbsp wird die Garbe der holomorphen p displaystyle p nbsp Formen auf der komplexen Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp bezeichnet Der Satz von Dolbeault besagt nun dass die q displaystyle q nbsp te Garbenkohomologiegruppe mit Werten in den holomorphen p displaystyle p nbsp Formen H G q M W p M displaystyle H G q M Omega p M nbsp isomorph zur q displaystyle q nbsp ten Kohomologiegruppe der p displaystyle p nbsp ten Dolbeault Kohomologie H p q M displaystyle H overline partial p q M nbsp ist In mathematischer Kurze bedeutet dies H p q M H G q M W p M displaystyle H overline partial p q M cong H G q M Omega p M nbsp Literatur BearbeitenP Dolbeault Sur la cohomologie des varietes analytiques complexes In Comptes rendus hebdomadaires des seances de l Academie des Sciences 236 1953 ISSN 0001 4036 S 175 277 Klaus Fritzsche Hans Grauert From Holomorphic Functions to Complex Manifolds Springer Verlag New York NY 2002 ISBN 0 387 95395 7 Graduate Texts in Mathematics 213 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dolbeault Kohomologie amp oldid 210749265