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Garbenkohomologie ist in der Mathematik hauptsächlich in der algebraischen Geometrie und in der komplexen Analysis eine

Garbenkohomologie

Garbenkohomologie ist in der Mathematik, hauptsächlich in der algebraischen Geometrie und in der komplexen Analysis, eine Technik, mit der man globale Eigenschaften topologischer Räume und auf ihnen definierter Garben studieren kann. Im einfachsten Fall beschreibt die erste Kohomologiegruppe die Schwierigkeiten, um aus lokalen Lösungen eine globale Lösung zu erhalten.

Definition Bearbeiten

Konkret ist eine Garbenkohomologie auf einem topologischen Raum ein Delta-Funktor von der Kategorie der Garben abelscher Gruppen in die Kategorie der abelschen Gruppen. Das bedeutet: Jeder Garbe abelscher Gruppen wird auf funktorielle Weise eine Folge abelscher Gruppen für zugeordnet, und für jede kurze exakte Sequenz

von Garben abelscher Gruppen gibt es eine natürliche lange exakte Sequenz

Außerdem ist die Gruppe der globalen Schnitte von .

Anwendungsbeispiele Bearbeiten

Logarithmus einer holomorphen Funktion Bearbeiten

Problemstellung: Es sei ein Gebiet und eine holomorphe, nirgends verschwindende Funktion. Gesucht ist eine holomorphe Funktion , so dass für alle gilt.

Lokal existiert ein solches immer: Ist fest und so klein gewählt, dass , dann kann man auf Grund der Wegunabhängigkeit des Integrals

setzen, wobei derart gewählt ist, dass gilt. Will man nach demselben Prinzip global definieren, benötigt man, dass

für jeden geschlossenen Weg verschwindet. Teilt man noch durch , erhält man einen Homomorphismus

dessen Verschwinden notwendig und hinreichend für die Existenz einer globalen Lösung ist (dabei ist die Fundamentalgruppe von ).

Mit dem Begriff der Garbe ausgedrückt besagt die lokale Lösbarkeit, dass der Homomorphismus von Garben von der Garbe der holomorphen Funktionen (mit der Addition als Verknüpfung) in die Garbe der nichtverschwindenden holomorphen Funktionen (mit der Multiplikation) surjektiv ist. Sein Kern ist die Garbe der Funktionen, die lokal konstant ganzzahlige Vielfache von sind, also bis auf die Multiplikation mit die konstante Garbe . Zusammen ergibt sich die kurze exakte Sequenz

Die vorgegebene Funktion ist nun ein Element von , und gesucht ist ein Urbild unter in . Die Garbenkohomologie liefert eine exakte Sequenz

Also besitzt genau dann einen holomorphen Logarithmus, wenn das Bild von in verschwindet. Dieses Bild kann mit dem oben erklärten Homomorphismus identifiziert werden.

Existenz von Funktionen mit vorgegebenen Werten Bearbeiten

Problemstellung: Es sei eine Folge komplexer Zahlen ohne Häufungspunkt sowie eine weitere Folge beliebiger komplexer Zahlen vorgegeben. Existiert dann eine ganze Funktion mit für alle ?

Es sei , und die konstante Garbe auf werde mit ihrem direkten Bild auf identifiziert. Dann ist der Homomorphismus , der durch die Auswertung einer Funktion in den Punkten in gegeben ist, surjektiv. Denn in einer ausreichend kleinen Umgebung von liegen keine anderen Punkte aus , so dass man zu einem vorgegebenen Wert als Urbild in die konstante Funktion mit Wert wählen kann. Der Kern von sei mit bezeichnet, so dass wir die kurze exakte Sequenz

erhalten. Aus der Garbenkohomologie erhält man eine exakte Sequenz

Man kann nun zeigen, dass verschwindet, also besitzt jedes Element ein Urbild in , d. h. jede Werteverteilung wird durch eine ganze Funktion realisiert.

Konstruktionen Bearbeiten

Es seien ein fest gewählter topologischer Raum und eine Garbe abelscher Gruppen auf , mit sei der Halm von über bezeichnet.

Die Godement-Auflösung Bearbeiten

Definiere eine Garbe auf durch

mit den Projektionen als Einschränkungsabbildungen. Es gibt einen kanonischen injektiven Homomorphismus , der einem Schnitt die Familie seiner Keime zuordnet. Die Definition von Garben als etale Räume erklärt die Bezeichnung „Garbe der unstetigen Schnitte“ für . Setze nun

und iterativ

Wir erhalten eine Auflösung

Dann ist die Garbenkohomologie als die -te Kohomologie des Komplexes definiert.

Die Godement-Auflösung hat den Vorteil, dass sie einfach zu definieren ist und keinerlei Wahlen erfordert. Für konkrete Berechnungen ist sie aber meistens ungeeignet.

Kohomologie einer Überdeckung Bearbeiten

Es sei eine Familie offener Teilmengen von , so dass . Für und setze . Damit erhält man einen kosimplizialen topologischen Raum und durch Anwendung von eine simpliziale abelsche Gruppe, die gemäß der Dold-Kan-Korrespondenz einem Kokettenkomplex in nichtnegativen Graden entspricht. Seine Kohomologie ist die Kohomologie von bezüglich der Überdeckung .

Konkret ist der Komplex gegeben durch

mit dem Differential

wobei die Einschränkung von Schnitten von bezeichnet.

1-Kozykel sind Familien mit auf (mit impliziten Einschränkungen). Zwei 1-Kozykel sind kohomolog, wenn es eine Familie gibt mit für alle .

Ist eine Überdeckung mit für alle , dann ist der kanonische Homomorphismus für alle bijektiv. Diese als Satz von Leray bekannte Aussage gilt insbesondere für offene affine Überdeckungen separierter Schemata, wenn darüber hinaus eine quasikohärente Modulgarbe ist.

Čech-Kohomologie Bearbeiten

Ist eine Überdeckung wie im vorherigen Abschnitt, so ist eine Verfeinerung von eine Überdeckung zusammen mit einer Abbildung , so dass für alle gilt. Dann erhält man Homomorphismen für alle . Im Prinzip ist Čech-Kohomologie der direkte Limes über diese Verfeinerungen. Aus technischen Gründen betrachtet man aber Überdeckungen mit für alle und Verfeinerungen mit für alle . Dann heißt

die Čech-Kohomologie von .

Es gibt kanonische Homomorphismen , die für bijektiv und für injektiv sind. Ist ein parakompakter Hausdorffraum, sind sie für alle bijektiv.

Garbenkohomologie als derivierter Funktor Bearbeiten

Es sei eine Garbe von Ringen und eine -Modulgarbe. (Der Fall von Garben abelscher Gruppen ist durch mit abgedeckt.) Dann hat die Kategorie der -Modulgarben genügend viele injektive Objekte, so dass man den derivierten Funktor zum Funktor der globalen Schnitte bilden kann. Allgemein gilt, dass man den derivierten Funktor über azyklische Auflösungen berechnen kann, und man kann zeigen, dass welke Garben azyklisch sind. (Eine Garbe heißt welk, wenn für alle offenen Teilmengen surjektiv ist.) Die Godement-Auflösung besteht aus welken -Modulgarben, also ist ein derivierter Funktor, und es kommt nicht darauf an, ob man den derivierten Funktor für -Modulgarben oder für Garben abelscher Gruppen bildet.

Auf einem Schema kann man den Funktor auf die Kategorie der quasikohärenten Modulgarben einschränken. Wenn quasikompakt und separiert ist, besitzt genügend viele injektive Objekte, und der auf berechnete derivierte Funktor stimmt mit dem auf der Kategorie aller -Moduln berechneten überein.

Weitere Auflösungen Bearbeiten

Weitere Klassen von azyklischen Garben, die damit für Auflösungen herangezogen werden können, sind weiche Garben und besonders in der (komplexen) Analysis feine Garben.

Nichtabelsches H1 Bearbeiten

Ist eine Garbe nicht notwendigerweise abelscher Gruppen (im Folgenden multiplikativ geschrieben), kann man die Überdeckungskonstruktion zumindest für übertragen. 1-Kozykel für eine Überdeckung sind Familien , die für alle erfüllen. Zwei Kozykel und heißen kohomolog, wenn es gibt, so dass für alle gilt. Kohomolog zu sein, ist eine Äquivalenzrelation auf den 1-Kozykeln, und die Menge der Äquivalenzklassen wird wieder mit bezeichnet. Sie enthält als ausgezeichnetes Element die Klasse des trivialen Kozykels. Im direkten Limes erhält man eine punktierte Menge .

Es gibt im nichtabelschen Fall unter verschiedenen Voraussetzungen immer noch exakte Sequenzen, die die lange exakte Sequenz für abelsche Garben verallgemeinern. Es gibt auch ein für nichtabelsche Garben. Siehe dazu Giraud.

Vergleich mit singulärer Kohomologie Bearbeiten

Ist ein topologischer Raum und eine abelsche Gruppe, kann man einerseits die singuläre Kohomologie bilden, andererseits die Garbenkohomologie der konstanten Garbe. Die Bedingung, dass ein CW-Komplex ist, ist hinreichend dafür, dass man kanonisch isomorphe Gruppen erhält, aber auch schwächere Voraussetzungen genügen.

H1 und Torsore Bearbeiten

Ist ein geringter Raum, d. h. ein topologischer Raum zusammen mit einer Garbe von Ringen, dann gibt es eine kanonische Bijektion zwischen und der Menge der Isomorphieklassen von Geradenbündeln auf .

Diese Aussage erlaubt eine weitreichende Verallgemeinerung: Für jede Garbe von Gruppen gibt es eine kanonische Bijektion zwischen und der Menge der Isomorphieklassen von -Torsoren. Der Bezug zu Geradenbündeln entsteht folgendermaßen: Ist ein Objekt auf , dann gibt es eine Korrespondenz zwischen lokal zu isomorphen Objekten und -Torsoren. Die Korrespondenz ordnet einem Objekt den Torsor zu.

Ein Torsor für eine Garbe von (nicht notwendigerweise abelschen) Gruppen auf einem Raum ist eine Garbe von Mengen auf zusammen mit einer -(Links-)Operation, so dass eine offene Überdeckung von existiert, auf der trivial wird. Ausführlicher bedeutet das: Gegeben ist ein Garbenmorphismus , der für jede offene Teilmenge eine Operation von auf induziert. Für jedes soll nun als Garbe mit -Operation isomorph zu mit der Linkstranslation als Operation sein. Ein Torsor ist genau dann trivial, d. h. global isomorph zu mit der Linkstranslation, wenn nicht leer ist.

Ist ein System von Trivialisierungen, erhält man durch einen 1-Kozykel, umgekehrt kann man Kozykel verwenden, um triviale Torsore zu verkleben.

Im Logarithmus-Beispiel bilden die Logarithmen von einen -Torsor: Für jeden Logarithmus auf einer Teilmenge und jede ganze Zahl ist auch ein Logarithmus, und wenn zusammenhängend ist, kann es auch keine anderen geben. Die Klasse dieses Torsors in ist genau dann trivial, wenn er ein globaler Logarithmus existiert.

Höhere direkte Bilder Bearbeiten

Ist eine stetige Abbildung und eine Garbe abelscher Gruppen auf , dann ist das direkte Bild ein linksexakter Funktor, und man kann den derivierten Funktor bilden. Er ist die Vergarbung der Prägarbe .

Die Kohomologie von und die Kohomologie von hängen über die Leray-Spektralsequenz miteinander zusammen: Es existiert eine Spektralsequenz mit , die gegen konvergiert.

Wichtige Sätze über Garbenkohomologie Bearbeiten

Algebraische Geometrie Bearbeiten

  • Ist eine quasikohärente Modulgarbe auf einem affinen Schema , dann ist für alle .
  • Ist ein Schema, dessen zugrundeliegender Raum noethersch ist und Dimension hat, dann ist für und jede Garbe abelscher Gruppen .
  • Kohärenzsatz von Grothendieck: Ist eigentlich über einem noetherschen Ring und eine kohärente Modulgarbe, dann ist für jedes ein endlich erzeugter -Modul.
  • Verschwindungssatz von Serre: Für eine kohärente Garbe auf einem projektiven Schema ist für und .
  • Serre-Dualität
  • Halbstetigkeitssatz von Hans Grauert
  • Serres GAGA und Grothendiecks GFGA

Komplexe Analysis Bearbeiten

  • Theorem B von Henri Cartan: Für kohärente Garben auf steinschen Räumen verschwindet die höhere Kohomologie
  • Endlichkeitssatz von Cartan-Serre: Kohomologiegruppen kohärenter Garben auf kompakten komplexen Räumen sind endlichdimensional (als -Vektorräume), verallgemeinert im Kohärenzsatz von Grauert
  • Halbstetigkeitssatz von Grauert
  • Hodge-Theorie

Literatur Bearbeiten

Fußnoten Bearbeiten

  1. Godement, II, 5.9
  2. Siehe Thomason, Trobaugh, Appendix B
  3. Siehe Bredon, III, 1.
  4. Siehe Giraud, III, 2.5.1 für die genauen Voraussetzungen.
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Garbenkohomologie ist in der Mathematik hauptsachlich in der algebraischen Geometrie und in der komplexen Analysis eine Technik mit der man globale Eigenschaften topologischer Raume und auf ihnen definierter Garben studieren kann Im einfachsten Fall beschreibt die erste Kohomologiegruppe die Schwierigkeiten um aus lokalen Losungen eine globale Losung zu erhalten Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Anwendungsbeispiele 2 1 Logarithmus einer holomorphen Funktion 2 2 Existenz von Funktionen mit vorgegebenen Werten 3 Konstruktionen 3 1 Die Godement Auflosung 3 2 Kohomologie einer Uberdeckung 3 3 Cech Kohomologie 3 4 Garbenkohomologie als derivierter Funktor 3 5 Weitere Auflosungen 3 6 Nichtabelsches H1 4 Vergleich mit singularer Kohomologie 5 H1 und Torsore 6 Hohere direkte Bilder 7 Wichtige Satze uber Garbenkohomologie 7 1 Algebraische Geometrie 7 2 Komplexe Analysis 8 Literatur 9 FussnotenDefinition BearbeitenKonkret ist eine Garbenkohomologie auf einem topologischen Raum X displaystyle X nbsp ein Delta Funktor von der Kategorie der Garben abelscher Gruppen in die Kategorie der abelschen Gruppen Das bedeutet Jeder Garbe F displaystyle F nbsp abelscher Gruppen wird auf funktorielle Weise eine Folge abelscher Gruppen H k X F displaystyle H k X F nbsp fur k 0 1 2 displaystyle k 0 1 2 dots nbsp zugeordnet und fur jede kurze exakte Sequenz 0 F F F 0 displaystyle 0 to F to F to F to 0 nbsp von Garben abelscher Gruppen gibt es eine naturliche lange exakte Sequenz 0 H 0 X F H 0 X F H 0 X F displaystyle 0 to H 0 X F to H 0 X F to H 0 X F to nbsp H 1 X F H 1 X F H 1 X F displaystyle to H 1 X F to H 1 X F to H 1 X F to nbsp H 2 X F displaystyle to H 2 X F to dots nbsp Ausserdem ist H 0 X F G X F displaystyle H 0 X F Gamma X F nbsp die Gruppe der globalen Schnitte von F displaystyle F nbsp Anwendungsbeispiele BearbeitenLogarithmus einer holomorphen Funktion Bearbeiten Problemstellung Es sei U C displaystyle U subseteq mathbb C nbsp ein Gebiet und f U C displaystyle f colon U to mathbb C nbsp eine holomorphe nirgends verschwindende Funktion Gesucht ist eine holomorphe Funktion g U C displaystyle g colon U to mathbb C nbsp so dass f z e g z displaystyle f z e g z nbsp fur alle z U displaystyle z in U nbsp gilt Lokal existiert ein solches g displaystyle g nbsp immer Ist z 0 U displaystyle z 0 in U nbsp fest und ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp so klein gewahlt dass U ϵ z 0 U displaystyle U epsilon z 0 subseteq U nbsp dann kann man auf Grund der Wegunabhangigkeit des Integrals g z a z 0 z f z f z d z displaystyle g z a int z 0 z frac f zeta f zeta d zeta nbsp fur z U ϵ z 0 displaystyle z in U epsilon z 0 nbsp setzen wobei a displaystyle a nbsp derart gewahlt ist dass f z 0 e a displaystyle f z 0 e a nbsp gilt Will man g displaystyle g nbsp nach demselben Prinzip global definieren benotigt man dass g f z f z d z displaystyle int gamma frac f zeta f zeta d zeta nbsp fur jeden geschlossenen Weg g displaystyle gamma nbsp verschwindet Teilt man noch durch 2 p i 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xrightarrow 2 pi i mathcal O xrightarrow exp mathcal O to 0 nbsp Die vorgegebene Funktion f displaystyle f nbsp ist nun ein Element von G U O displaystyle Gamma U mathcal O nbsp und gesucht ist ein Urbild unter exp displaystyle exp nbsp in G U O displaystyle Gamma U mathcal O nbsp Die Garbenkohomologie liefert eine exakte Sequenz G U O G U O H 1 U Z displaystyle Gamma U mathcal O to Gamma U mathcal O to H 1 U underline mathbb Z nbsp Also besitzt f displaystyle f nbsp genau dann einen holomorphen Logarithmus wenn das Bild von f displaystyle f nbsp in H 1 U Z displaystyle H 1 U underline mathbb Z nbsp verschwindet Dieses Bild kann mit dem oben erklarten Homomorphismus c f displaystyle c f nbsp identifiziert werden Existenz von Funktionen mit vorgegebenen Werten Bearbeiten Problemstellung Es sei eine Folge a 1 a 2 displaystyle a 1 a 2 dots nbsp komplexer Zahlen ohne Haufungspunkt sowie eine weitere Folge b 1 b 2 displaystyle b 1 b 2 dots nbsp beliebiger komplexer Zahlen vorgegeben Existiert dann eine ganze Funktion f displaystyle f nbsp mit f a k b k displaystyle f a k b k nbsp fur alle k displaystyle k nbsp Es sei A a 1 a 2 displaystyle A a 1 a 2 dots nbsp und die konstante Garbe C A displaystyle underline mathbb C A nbsp auf A displaystyle A nbsp werde mit ihrem direkten Bild auf C displaystyle mathbb C nbsp identifiziert Dann ist der Homomorphismus O C A displaystyle mathcal O to underline mathbb C A nbsp der durch die Auswertung einer Funktion in den Punkten in A displaystyle A nbsp gegeben ist surjektiv Denn in einer ausreichend kleinen Umgebung U displaystyle U nbsp von a k displaystyle a k nbsp liegen keine anderen Punkte aus A displaystyle A nbsp so dass man zu einem vorgegebenen Wert b k displaystyle b k nbsp als Urbild in G U O displaystyle Gamma U mathcal O nbsp die konstante Funktion mit Wert b k displaystyle b k nbsp wahlen kann Der Kern von O C A displaystyle mathcal O to underline mathbb C A nbsp sei mit O A displaystyle mathcal O A nbsp bezeichnet so dass wir die kurze exakte Sequenz 0 O A O C A 0 displaystyle 0 to mathcal O A to mathcal O to underline mathbb C A to 0 nbsp erhalten Aus der Garbenkohomologie erhalt man eine exakte Sequenz G C O G A C H 1 C O A displaystyle Gamma mathbb C mathcal O to Gamma A underline mathbb C to H 1 mathbb C mathcal O A nbsp Man kann nun zeigen dass H 1 C O A displaystyle H 1 mathbb C mathcal O A nbsp verschwindet also besitzt jedes Element b G A C displaystyle b in Gamma A underline mathbb C nbsp ein Urbild in G C O displaystyle Gamma mathbb C mathcal O nbsp d h jede Werteverteilung b 1 b 2 displaystyle b 1 b 2 dots nbsp wird durch eine ganze Funktion realisiert Konstruktionen BearbeitenEs seien X displaystyle X nbsp ein fest gewahlter topologischer Raum und F displaystyle F nbsp eine Garbe abelscher Gruppen auf X displaystyle X nbsp mit F x displaystyle F x nbsp sei der Halm von F displaystyle F nbsp uber x displaystyle x nbsp bezeichnet Die Godement Auflosung Bearbeiten Definiere eine Garbe C 0 F displaystyle C 0 F nbsp auf X displaystyle X nbsp durch C 0 F U x U F x displaystyle C 0 F U prod x in U F x nbsp mit den Projektionen als Einschrankungsabbildungen Es gibt einen kanonischen injektiven Homomorphismus F C 0 F displaystyle F to C 0 F nbsp der einem Schnitt s displaystyle s nbsp die Familie s x displaystyle s x nbsp seiner Keime zuordnet Die Definition von Garben als etale Raume erklart die Bezeichnung Garbe der unstetigen Schnitte fur C 0 F displaystyle C 0 F nbsp Setze nun Z 1 F C 0 F F C 1 F C 0 Z 1 F displaystyle Z 1 F C 0 F F qquad C 1 F C 0 Z 1 F nbsp und iterativ Z k 1 F C k F Z k F C k 1 F C 0 Z k 1 F displaystyle Z k 1 F C k F Z k F qquad C k 1 F C 0 Z k 1 F nbsp Wir erhalten eine Auflosung 0 F C 0 F C 1 F C 2 F displaystyle 0 to F to C 0 F to C 1 F to C 2 F to dots nbsp Dann ist die Garbenkohomologie H k X F displaystyle H k X F nbsp als die k displaystyle k nbsp te Kohomologie des Komplexes G X C k F displaystyle Gamma X C k F nbsp definiert Die Godement Auflosung hat den Vorteil dass sie einfach zu definieren ist und keinerlei Wahlen erfordert Fur konkrete Berechnungen ist sie aber meistens ungeeignet Kohomologie einer Uberdeckung Bearbeiten Es sei U i i I displaystyle U i i in I nbsp eine Familie offener Teilmengen von X displaystyle X nbsp so dass X i I U i displaystyle textstyle X bigcup i in I U i nbsp Fur k 0 displaystyle k geq 0 nbsp und j i 0 i k I k 1 displaystyle j i 0 dots i k in I k 1 nbsp setze U j n 0 k U i n displaystyle textstyle U j bigcap nu 0 k U i nu nbsp Damit erhalt man einen kosimplizialen topologischen Raum und durch Anwendung von F displaystyle F nbsp eine simpliziale abelsche Gruppe die gemass der Dold Kan Korrespondenz einem Kokettenkomplex in nichtnegativen Graden entspricht Seine Kohomologie ist die Kohomologie H U F displaystyle H U F nbsp von F displaystyle F nbsp bezuglich der Uberdeckung U displaystyle U nbsp Konkret ist der Komplex gegeben durch C k U F j I k 1 G U j F displaystyle C k U F prod j in I k 1 Gamma U j F nbsp mit dem Differential d k s i 0 i k 1 n 0 k 1 1 k r U i 0 i k 1 U i 0 i n i k 1 s i 0 i n i k 1 displaystyle d k s i 0 dots i k 1 sum nu 0 k 1 1 k rho U i 0 dots i k 1 U i 0 dots widehat i nu dots i k 1 s i 0 dots widehat i nu dots i k 1 nbsp wobei r displaystyle rho nbsp die Einschrankung von Schnitten von F displaystyle F nbsp bezeichnet 1 Kozykel sind Familien s i j G U i j F displaystyle s ij in Gamma U ij F nbsp mit s i k s i j s j k displaystyle s ik s ij s jk nbsp auf U i j k displaystyle U ijk nbsp mit impliziten Einschrankungen Zwei 1 Kozykel sind kohomolog wenn es eine Familie t i G U i F displaystyle t i in Gamma U i F nbsp gibt mit s i j t i t j displaystyle s ij t i t j nbsp fur alle i j displaystyle i j nbsp Ist U i i I displaystyle U i i in I nbsp eine Uberdeckung mit H k U i 1 i m F 0 displaystyle H k U i 1 dots i m F 0 nbsp fur alle k 1 displaystyle k geq 1 nbsp dann ist der kanonische Homomorphismus H k U F H k X F displaystyle H k U F to H k X F nbsp fur alle k 0 displaystyle k geq 0 nbsp bijektiv Diese als Satz von Leray bekannte Aussage gilt insbesondere fur offene affine Uberdeckungen separierter Schemata wenn daruber hinaus F displaystyle F nbsp eine quasikoharente Modulgarbe ist Cech Kohomologie Bearbeiten Ist U i i I displaystyle U i i in I nbsp eine Uberdeckung wie im vorherigen Abschnitt so ist eine Verfeinerung von U displaystyle U nbsp eine Uberdeckung V j j J displaystyle V j j in J nbsp zusammen mit einer Abbildung h J I displaystyle h colon J to I nbsp so dass V j U h j displaystyle V j subseteq U h j nbsp fur alle j J displaystyle j in J nbsp gilt Dann erhalt man Homomorphismen H k U F H k V F displaystyle H k U F to H k V F nbsp fur alle k displaystyle k nbsp Im Prinzip ist Cech Kohomologie der direkte Limes uber diese Verfeinerungen Aus technischen Grunden betrachtet man aber Uberdeckungen U x x X displaystyle U x x in X nbsp mit x U x displaystyle x in U x nbsp fur alle x X displaystyle x in X nbsp und Verfeinerungen V x x X displaystyle V x x in X nbsp mit V x U x displaystyle V x subseteq U x nbsp fur alle x X displaystyle x in X nbsp Dann heisst H ˇ k X F lim U H k U F displaystyle check H k X F varinjlim U H k U F nbsp die Cech Kohomologie von F displaystyle F nbsp Es gibt kanonische Homomorphismen H ˇ k X F H k X F displaystyle check H k X F to H k X F nbsp die fur k 0 1 displaystyle k 0 1 nbsp bijektiv und fur k 2 displaystyle k 2 nbsp injektiv sind 1 Ist X displaystyle X nbsp ein parakompakter Hausdorffraum sind sie fur alle k displaystyle k nbsp bijektiv Garbenkohomologie als derivierter Funktor Bearbeiten Es sei O displaystyle O nbsp eine Garbe von Ringen und F displaystyle F nbsp eine O displaystyle O nbsp Modulgarbe Der Fall von Garben abelscher Gruppen ist durch O Z displaystyle O underline mathbb Z nbsp mit abgedeckt Dann hat die Kategorie der O displaystyle O nbsp Modulgarben genugend viele injektive Objekte so dass man den derivierten Funktor zum Funktor G X displaystyle Gamma X nbsp der globalen Schnitte bilden kann Allgemein gilt dass man den derivierten Funktor uber azyklische Auflosungen berechnen kann und man kann zeigen dass welke Garben azyklisch sind Eine Garbe F displaystyle F nbsp heisst welk wenn G X F G U F displaystyle Gamma X F to Gamma U F nbsp fur alle offenen Teilmengen U X displaystyle U subseteq X nbsp surjektiv ist Die Godement Auflosung besteht aus welken O displaystyle O nbsp Modulgarben also ist H k X displaystyle H k X nbsp ein derivierter Funktor und es kommt nicht darauf an ob man den derivierten Funktor fur O displaystyle O nbsp Modulgarben oder fur Garben abelscher Gruppen bildet Auf einem Schema kann man den Funktor G X displaystyle Gamma X nbsp auf die Kategorie Q c o h X displaystyle mathrm Qcoh X nbsp der quasikoharenten Modulgarben einschranken Wenn X displaystyle X nbsp quasikompakt und separiert ist besitzt Q c o h X displaystyle mathrm Qcoh X nbsp genugend viele injektive Objekte und der auf Q c o h X displaystyle mathrm Qcoh X nbsp berechnete derivierte Funktor stimmt mit dem auf der Kategorie aller O X displaystyle O X nbsp Moduln berechneten uberein 2 Weitere Auflosungen Bearbeiten Weitere Klassen von azyklischen Garben die damit fur Auflosungen herangezogen werden konnen sind weiche Garben und besonders in der komplexen Analysis feine Garben Nichtabelsches H1 Bearbeiten Ist F displaystyle F nbsp eine Garbe nicht notwendigerweise abelscher Gruppen im Folgenden multiplikativ geschrieben kann man die Uberdeckungskonstruktion zumindest fur H 1 displaystyle H 1 nbsp ubertragen 1 Kozykel fur eine Uberdeckung U i i I displaystyle U i i in I nbsp sind Familien c i j F U i j displaystyle c ij in F U ij nbsp die c i j c j k c i k displaystyle c ij c jk c ik nbsp fur alle i j k I displaystyle i j k in I nbsp erfullen Zwei Kozykel c i j displaystyle c ij nbsp und d i j displaystyle d ij nbsp heissen kohomolog wenn es f i F U i displaystyle f i in F U i nbsp gibt so dass c i j f i d i j f j 1 displaystyle c ij f i d ij f j 1 nbsp fur alle i j displaystyle i j nbsp gilt Kohomolog zu sein ist eine Aquivalenzrelation auf den 1 Kozykeln und die Menge der Aquivalenzklassen wird wieder mit H 1 U F displaystyle H 1 U F nbsp bezeichnet Sie enthalt als ausgezeichnetes Element die Klasse des trivialen Kozykels Im direkten Limes erhalt man eine punktierte Menge H 1 X F displaystyle H 1 X F nbsp Es gibt im nichtabelschen Fall unter verschiedenen Voraussetzungen immer noch exakte Sequenzen die die lange exakte Sequenz fur abelsche Garben verallgemeinern Es gibt auch ein H 2 X F displaystyle H 2 X F nbsp fur nichtabelsche Garben Siehe dazu Giraud Vergleich mit singularer Kohomologie BearbeitenIst X displaystyle X nbsp ein topologischer Raum und A displaystyle A nbsp eine abelsche Gruppe kann man einerseits die singulare Kohomologie H X A displaystyle H X A nbsp bilden andererseits die Garbenkohomologie H X A displaystyle H X underline A nbsp der konstanten Garbe Die Bedingung dass X displaystyle X nbsp ein CW Komplex ist ist hinreichend dafur dass man kanonisch isomorphe Gruppen erhalt aber auch schwachere Voraussetzungen genugen 3 H1 und Torsore BearbeitenIst X displaystyle X nbsp ein geringter Raum d h ein topologischer Raum zusammen mit einer Garbe O X displaystyle O X nbsp von Ringen dann gibt es eine kanonische Bijektion zwischen H 1 X O X displaystyle H 1 X O X times nbsp und der Menge der Isomorphieklassen von Geradenbundeln auf X displaystyle X nbsp Diese Aussage erlaubt eine weitreichende Verallgemeinerung Fur jede Garbe von Gruppen G displaystyle G nbsp gibt es eine kanonische Bijektion zwischen H 1 X G displaystyle H 1 X G nbsp und der Menge der Isomorphieklassen von G displaystyle G nbsp Torsoren Der Bezug zu Geradenbundeln entsteht folgendermassen Ist E displaystyle E nbsp ein Objekt auf X displaystyle X nbsp dann gibt es eine Korrespondenz zwischen lokal zu E displaystyle E nbsp isomorphen Objekten E displaystyle E nbsp und A u t E displaystyle mathrm Aut E nbsp Torsoren Die Korrespondenz ordnet einem Objekt E displaystyle E nbsp den Torsor I s o m E E displaystyle mathrm Isom E E nbsp zu 4 Ein Torsor fur eine Garbe G displaystyle G nbsp von nicht notwendigerweise abelschen Gruppen auf einem Raum X displaystyle X nbsp ist eine Garbe P displaystyle P nbsp von Mengen auf X displaystyle X nbsp zusammen mit einer G displaystyle G nbsp Links Operation so dass eine offene Uberdeckung U i i I displaystyle U i i in I nbsp von X displaystyle X nbsp existiert auf der P displaystyle P nbsp trivial wird Ausfuhrlicher bedeutet das Gegeben ist ein Garbenmorphismus G P P displaystyle G times P to P nbsp der fur jede offene Teilmenge U X displaystyle U subseteq X nbsp eine Operation von G U displaystyle G U nbsp auf P U displaystyle P U nbsp induziert Fur jedes i I displaystyle i in I nbsp soll nun P U i displaystyle P U i nbsp als Garbe mit G U i displaystyle G U i nbsp Operation isomorph zu G U i displaystyle G U i nbsp mit der Linkstranslation als Operation sein Ein Torsor ist genau dann trivial d h global isomorph zu G displaystyle G nbsp mit der Linkstranslation wenn P X displaystyle P X nbsp nicht leer ist Ist f i G U i P U i displaystyle f i G U i to P U i nbsp ein System von Trivialisierungen erhalt man durch c i j f i U i j 1 f j U i j displaystyle c ij f i U ij 1 circ f j U ij nbsp einen 1 Kozykel umgekehrt kann man Kozykel verwenden um triviale Torsore zu verkleben Im Logarithmus Beispiel bilden die Logarithmen von f displaystyle f nbsp einen Z displaystyle underline mathbb Z nbsp Torsor Fur jeden Logarithmus g displaystyle g nbsp auf einer Teilmenge V displaystyle V nbsp und jede ganze Zahl k displaystyle k nbsp ist auch g 2 p i k displaystyle g 2 pi ik nbsp ein Logarithmus und wenn V displaystyle V nbsp zusammenhangend ist kann es auch keine anderen geben Die Klasse dieses Torsors in H 1 U Z displaystyle H 1 U underline mathbb Z nbsp ist genau dann trivial wenn er ein globaler Logarithmus existiert Hohere direkte Bilder BearbeitenIst f X Y displaystyle f colon X to Y nbsp eine stetige Abbildung und F displaystyle F nbsp eine Garbe abelscher Gruppen auf X displaystyle X nbsp dann ist das direkte Bild f displaystyle f nbsp ein linksexakter Funktor und man kann den derivierten Funktor R k f displaystyle R k f nbsp bilden Er ist die Vergarbung der Pragarbe U H k f 1 U F displaystyle U mapsto H k f 1 U F nbsp Die Kohomologie von F displaystyle F nbsp und die Kohomologie von f F displaystyle f F nbsp hangen uber die Leray Spektralsequenz miteinander zusammen Es existiert eine Spektralsequenz mit E 2 p q H p Y R q f F displaystyle E 2 pq H p Y R q f F nbsp die gegen H X F displaystyle H X F nbsp konvergiert Wichtige Satze uber Garbenkohomologie BearbeitenAlgebraische Geometrie Bearbeiten Ist F displaystyle F nbsp eine quasikoharente Modulgarbe auf einem affinen Schema X displaystyle X nbsp dann ist H k X F 0 displaystyle H k X F 0 nbsp fur alle k 1 displaystyle k geq 1 nbsp Ist X displaystyle X nbsp ein Schema dessen zugrundeliegender Raum noethersch ist und Dimension n displaystyle n nbsp hat dann ist H k X F 0 displaystyle H k X F 0 nbsp fur k gt n displaystyle k gt n nbsp und jede Garbe abelscher Gruppen F displaystyle F nbsp Koharenzsatz von Grothendieck Ist X displaystyle X nbsp eigentlich uber einem noetherschen Ring A displaystyle A nbsp und F displaystyle F nbsp eine koharente Modulgarbe dann ist H k X F displaystyle H k X F nbsp fur jedes k displaystyle k nbsp ein endlich erzeugter A displaystyle A nbsp Modul Verschwindungssatz von Serre Fur eine koharente Garbe F displaystyle F nbsp auf einem projektiven Schema X displaystyle X nbsp ist H k X F n 0 displaystyle H k X F n 0 nbsp fur k 1 displaystyle k geq 1 nbsp und n 0 displaystyle n gg 0 nbsp Serre Dualitat Halbstetigkeitssatz von Hans Grauert Serres GAGA und Grothendiecks GFGAKomplexe Analysis Bearbeiten Theorem B von Henri Cartan Fur koharente Garben auf steinschen Raumen verschwindet die hohere Kohomologie Endlichkeitssatz von Cartan Serre Kohomologiegruppen koharenter Garben auf kompakten komplexen Raumen sind endlichdimensional als C displaystyle mathbb C nbsp Vektorraume verallgemeinert im Koharenzsatz von Grauert Halbstetigkeitssatz von Grauert Hodge TheorieLiteratur BearbeitenGlen Bredon Sheaf Theory New York 1997 Jean Giraud Cohomologie non abelienne Berlin 1971 Roger Godement Topologie algebrique et theorie des faisceaux Paris 1958 Phillip Griffiths Joseph Harris Principles of Algebraic Geometry New York 1994 Alexander Grothendieck Jean Dieudonne Elements de geometrie algebrique Publications mathematiques de l IHES 4 8 11 17 20 24 28 32 1960 1967 Alexander Grothendieck Sur quelques points d algebre homologique Tohoku Math J II Ser 9 119 221 1957 Masaki Kashiwara Pierre Schapira Sheaves on Manifolds Berlin 1990 Robert Wayne Thomason Thomas Trobaugh Higher Algebraic K Theory of Schemes and of Derived Categories In The Grothendieck Festschrift Volume III Boston 1990Fussnoten Bearbeiten Godement II 5 9 Siehe Thomason Trobaugh Appendix B Siehe Bredon III 1 Siehe Giraud III 2 5 1 fur die genauen Voraussetzungen Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Garbenkohomologie amp oldid 185897245