Eine komplexe Differentialform ist ein mathematisches Objekt aus der komplexen Geometrie Eine komplexe Differentialform ist eine Entsprechung der reellen Differentialformen auf komplexen Mannigfaltigkeiten Genauso wie im reellen Fall bilden auch die komplexen Differentialform eine graduierte Algebra Eine komplexe Differentialform vom Grad k displaystyle k oder kurz k Form kann auf eindeutige Art und Weise in zwei Differentialformen zerlegt werden die dann den Grad p displaystyle p beziehungsweise q displaystyle q mit p q k displaystyle p q k haben Um diese Zerlegung zu betonen spricht man auch von p q Formen Bei dieser kurzen Sprechweise wird auch klar dass es sich um komplexe Differentialformen handelt denn reelle Formen besitzen keine solche Zerlegung Eine wichtige Rolle spielt der Kalkul der komplexen Differentialformen in der Hodge Theorie Inhaltsverzeichnis 1 Komplexe Differentialformen 2 Dolbeault Operatoren 2 1 Definition 2 2 Holomorphe Differentialformen 2 3 Eigenschaften 3 LiteraturKomplexe Differentialformen BearbeitenSei M displaystyle M nbsp eine komplexe Mannigfaltigkeit der komplexen Dimension n displaystyle n nbsp Wahle d z j d x j i d y j d z j d x j i d y j 1 j n displaystyle mathrm d z j dx j idy j mathrm d bar z j dx j idy j 1 leq j leq n nbsp als eine lokale Basis des komplexifizierten Kotangentialraums Die Kovektoren haben die lokale Darstellung j 1 n f j d z j g j d z j displaystyle sum j 1 n f j mathrm d z j g j mathrm d overline z j nbsp Die Raume in denen nur Basisvektoren der Form d z j displaystyle textstyle mathrm d z j nbsp vorkommen werden verbal als 1 0 Formen und formelmassig mit A 1 0 M displaystyle mathcal A 1 0 M nbsp bezeichnet Analog dazu ist A 0 1 M displaystyle mathcal A 0 1 M nbsp der Raum der 0 1 Formen also der Kovektoren welche nur Basisvektoren der Form d z j displaystyle textstyle mathrm d overline z j nbsp haben Diese beiden Raume sind stabil das heisst unter holomorphen Koordinatenwechseln werden diese Raume in sich selbst abgebildet Aus diesem Grund sind die Raume A 1 0 M displaystyle mathcal A 1 0 M nbsp und A 0 1 M displaystyle mathcal A 0 1 M nbsp komplexe Vektorbundel uber M displaystyle M nbsp Mit Hilfe des ausseren Produktes von komplexen Differentialformen welches genauso wie fur reelle Differentialformen definiert ist kann man nun die Raume der p q displaystyle p q nbsp Formen durch A p q M j 1 p A 1 0 M j 1 q A 0 1 M displaystyle mathcal A p q M bigwedge j 1 p mathcal A 1 0 M wedge bigwedge j 1 q mathcal A 0 1 M nbsp definieren Weiter definiert man noch den Raum E r M displaystyle mathcal E r M nbsp als die direkte Summe E r M p q r A p q M displaystyle mathcal E r M bigoplus p q r mathcal A p q M nbsp der p q displaystyle p q nbsp Formen mit r p q displaystyle r p q nbsp Dies ist isomorph zur direkten Summe E r M A r M i A r M displaystyle mathcal E r M cong mathcal A r M oplus i mathcal A r M nbsp der Raume der reellen Differentialformen Ausserdem ist fur p q r displaystyle p q r nbsp eine Projektion p p q E r M A p q M displaystyle pi p q colon mathcal E r M to mathcal A p q M nbsp definiert welche jeder komplexen Differentialform vom Grad r displaystyle r nbsp ihre p q displaystyle p q nbsp Zerlegung zuordnet Eine p q displaystyle p q nbsp Form hat also in lokalen Koordinaten z 1 z n displaystyle z 1 ldots z n nbsp die eindeutige Darstellung w 1 j 1 lt lt j q q 1 i 1 lt lt i p p f i 1 i p j 1 j q d z i 1 d z i p d z j 1 d z j q displaystyle omega sum stackrel 1 leq i 1 lt ldots lt i p leq p 1 leq j 1 lt ldots lt j q leq q f i 1 ldots i p j 1 ldots j q mathrm d z i 1 wedge cdots wedge mathrm d z i p wedge mathrm d overline z j 1 wedge cdots wedge mathrm d overline z j q nbsp Da diese Darstellung doch sehr lang ist ist es ublich die Kurzschreibweise I J f I J d z I d z J 1 j 1 lt lt j q q 1 i 1 lt lt i p p f i 1 i p j 1 j q d z i 1 d z i p d z j 1 d z j q displaystyle sum I J f I J mathrm d z I wedge mathrm d overline z J sum stackrel 1 leq i 1 lt ldots lt i p leq p 1 leq j 1 lt ldots lt j q leq q f i 1 ldots i p j 1 ldots j q mathrm d z i 1 wedge cdots wedge mathrm d z i p wedge mathrm d overline z j 1 wedge cdots wedge mathrm d overline z j q nbsp zu vereinbaren Dolbeault Operatoren BearbeitenDefinition Bearbeiten Die aussere Ableitung d E r M E r 1 M displaystyle mathrm d mathcal E r M to mathcal E r 1 M nbsp was gleichbedeutend ist mit d p q r A p q M p q r A p 1 q M p q r A p q 1 M displaystyle mathrm d bigoplus p q r mathcal A p q M to bigoplus p q r mathcal A p 1 q M oplus bigoplus p q r mathcal A p q 1 M nbsp kann in d displaystyle mathrm d partial overline partial nbsp aufgespalten werden Die Dolbeault Operatoren A p q M A p 1 q M displaystyle partial mathcal A p q M to mathcal A p 1 q M nbsp und A p q M A p q 1 M displaystyle overline partial mathcal A p q M to mathcal A p q 1 M nbsp sind definiert durch p p 1 q d p p q 1 d displaystyle begin aligned partial amp pi p 1 q circ mathrm d overline partial amp pi p q 1 circ mathrm d end aligned nbsp In lokalen Koordinaten bedeutet dies I J f I J d z I d z J I J l 1 n f I J z l d z l d z I d z J displaystyle partial left sum I J f I J mathrm d z I wedge mathrm d overline z J right sum I J sum l 1 n frac partial f I J partial z l mathrm d z l wedge mathrm d z I wedge mathrm d overline z J nbsp und I J f I J d z I d z J I J l 1 n f I J z l d z l d z I d z J displaystyle overline partial left sum I J f I J mathrm d z I wedge mathrm d overline z J right sum I J sum l 1 n frac partial f I J partial overline z l mathrm d overline z l wedge mathrm d z I wedge mathrm d overline z J nbsp Dabei sind displaystyle partial nbsp und displaystyle overline partial nbsp auf den rechten Seiten der Gleichung die normalen Dolbeault Operatoren Holomorphe Differentialformen Bearbeiten Erfullt eine Differentialform w A p 0 M displaystyle omega in mathcal A p 0 M nbsp die Gleichung w 0 displaystyle overline partial omega 0 nbsp so spricht man von einer holomorphen Differentialform In lokalen Koordinaten kann man diese Formen durch I f I d z I displaystyle sum I f I mathrm d z I nbsp darstellen wobei f I displaystyle f I nbsp holomorphe Funktionen sind Der Vektorraum der holomorphen p displaystyle p nbsp Formen auf M displaystyle M nbsp wird mit W p M displaystyle Omega p M nbsp notiert Eigenschaften Bearbeiten Fur diese Operatoren gilt eine Leibniz Regel Seien w A p q displaystyle omega in mathcal A p q nbsp und n A r s displaystyle nu in mathcal A r s nbsp dann gilt w n w n 1 p q w n displaystyle partial omega wedge nu partial omega wedge nu 1 p q omega wedge partial nu nbsp dd und w n w n 1 p q w n displaystyle overline partial omega wedge nu overline partial omega wedge nu 1 p q omega wedge overline partial nu nbsp dd Aus der Identitat0 d 2 2 2 2 displaystyle 0 mathrm d 2 partial overline partial 2 partial 2 overline partial partial partial overline partial overline partial 2 nbsp dd folgt 2 0 displaystyle partial 2 0 nbsp 0 displaystyle partial overline partial overline partial partial 0 nbsp und 2 0 displaystyle overline partial 2 0 nbsp denn alle drei Terme sind von unterschiedlichem Grad Die Operatoren displaystyle partial nbsp und displaystyle overline partial nbsp eignen sich also fur eine Kohomologietheorie Diese tragt den Namen Dolbeault Kohomologie Sei M g displaystyle M g nbsp eine Kahlermannigfaltigkeit also eine komplexe Mannigfaltigkeit mit einer vertraglichen Riemann schen Metrik g displaystyle g nbsp so kann man den adjungierten Dolbeault Quer Operator displaystyle overline partial nbsp bezuglich dieser Metrik bilden Der Operator D displaystyle Delta overline partial overline partial overline partial overline partial nbsp ist dann ein verallgemeinerter Laplace Operator Anwendung findet dieser Operator in der komplexen Hodge Theorie Literatur BearbeitenEric W Weisstein Complex Form In MathWorld englisch Raymond O Wells Differential analysis on complex manifolds Prentice Hall Englewood Cliffs NJ 1973 ISBN 0 13 211508 5 Lars Hormander An Introduction to Complex Analysis in Several Variables North Holland Mathematical Library 7 2 revised edition North Holland u a Amsterdam u a 1973 ISBN 0 7204 2450 X Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Komplexe Differentialform amp oldid 239434514 Holomorphe Differentialformen
