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Kähler Mannigfaltigkeit In der Mathematik bezeichnet man mit nach Erich Kähler eine glatte Mannigfaltigkeit zusammen mit

Kähler-Mannigfaltigkeit

In der Mathematik bezeichnet man mit Kähler-Mannigfaltigkeit (nach Erich Kähler) eine glatte Mannigfaltigkeit zusammen mit einer komplexen Struktur und einer riemannschen Metrik (im Sinne einer riemannschen Mannigfaltigkeit), die miteinander verträglich sind.

Der Begriff der Kähler-Mannigfaltigkeit findet Anwendung in der Darstellungstheorie von Lie-Gruppen und ist ein zentraler Begriff der geometrischen Quantisierung. Ein auch in der Stringtheorie wichtiges Beispiel für Kähler-Mannigfaltigkeiten sind Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.

Definitionen Bearbeiten

Symplektische Sichtweise Bearbeiten

Eine Kähler-Mannigfaltigkeit ist eine symplektische Mannigfaltigkeit ausgestattet mit einer integrierbaren fast komplexen Struktur , welche mit der symplektischen Form kompatibel ist, was bedeutet, dass die bilineare Form

auf dem Tangentialraum von an jedem Punkt symmetrisch und positiv definit ist.

Komplexe Sichtweise Bearbeiten

Eine Kähler-Mannigfaltigkeit ist eine komplexe Mannigfaltigkeit mit einer hermitischen Metrik dessen zugehörige 2-Form ist geschlossen. Genauer gesagt, gibt eine positive bestimmte hermitische Form auf dem Tangentialraum an jedem Punkt von und die 2-Form ist definiert durch

für Tangentialvektoren und . Eine Kähler-Mannigfaltigkeit kann auch als Riemannsche Mannigfaltigkeit mit der Riemannschen Metrik angesehen werden definiert durch

Riemannsche Sichtweise Bearbeiten

Sei eine glatte Mannigfaltigkeit, eine komplexe Struktur, das heißt eine glatte Abbildung mit und eine riemannsche Metrik, wobei den Raum der glatten Vektorfelder auf bezeichnet. Das Tripel heißt Kähler-Mannigfaltigkeit, wenn

für alle Vektorfelder gilt und

ist. Die 2-Form heißt dann die Kähler-Form von und die Kähler-Metrik.

Falls der Ricci-Tensor proportional zur riemannschen Metrik ist, so spricht man auch von einer Kähler-Einstein- (oder Einstein-Kähler)-Mannigfaltigkeit. Für weitere Details vgl. den Artikel einsteinsche Mannigfaltigkeit.

Hodge-Theorie für Kähler-Mannigfaltigkeiten Bearbeiten

Auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit der Dimension , ist der Verallgemeinerte Laplace-Operator auf glatten -Formen als definiert, wobei die äußere Ableitung und ist und den Hodge-Stern-Operator bezeichnet. Für eine hermitesche Mannigfaltigkeit werden und zerlegt als

und es werden zwei weitere Laplace-Operatoren definiert:

Wenn Kähler-Struktur besitzt, dann sind diese verallgemeinerten Laplace-Operatoren bis auf eine Konstante identisch:

Daraus folgt, dass auf einer Kähler-Mannigfaltigkeit die Gleichheit

gilt, wobei der Raum harmonischer -Formen auf (Formen mit ) und der Raum harmonischer -Formen ist. Das heißt also, dass eine Differentialform harmonisch ist, wenn alle ihre -Komponenten harmonisch sind.

Für eine kompakte Kähler-Mannigfaltigkeit , gibt die Hodge-Theorie eine Interpretation der obigen Zerlegung, welche nicht von der Wahl der Kähler-Metrik abhängt. Nämlich teilt sich die Kohomologie von mit komplexen Koeffizienten als direkte Summe von gewissen kohärenten Garbenkohomologiegruppen:

Die Gruppe auf der linken Seite ist nur von als topologischer Raum abhängig, während die Gruppen auf der rechten Seiten von als eine komplexe Mannigfaltigkeit abhängen. Also verbindet der Hodge-Zerlegungs-Satz Topologie und komplexe Geometrie für kompakte Kähler-Mannigfaltigkeiten.

Beispiele Bearbeiten

  1. Der komplexe Raum .
  2. Ein kompakt komplexer Torus .
  3. Jede Riemannsche Metrik auf einer orientierten 2-Mannigfaltigkeit.
  4. Der komplex-projektive Raum und projektive Varietäten .
  5. Die induzierte Metrik auf einer komplexen Untermannigfaltigkeit einer Kähler-Mannigfaltigkeit ist Kähler. Jede Steinsche Mannigfaltigkeit oder glatte projektive algebraische Varietät ist Kähler.
  6. Hermetisch symmetrische Räume.
  7. Jede K-3 Oberfläche ist Kähler.
  8. Bahnen der koadjungierten Darstellung halb-einfacher Lie-Gruppen.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Alan Huckleberry, Tilman Wurzbacher (Hrsg.): Infinite Dimensional Kähler Manifolds (= DMV-Seminar. Bd. 31). Birkhäuser Verlag, Basel u. a. 2001, ISBN 3-7643-6602-8.
  • Andrei Moroianu: Lectures on Kähler Geometry (= London Mathematical Society Student Texts. Bd. 69). Cambridge University Press, Cambridge 2007, ISBN 978-0-521-68897-0.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
In der Mathematik bezeichnet man mit Kahler Mannigfaltigkeit nach Erich Kahler eine glatte Mannigfaltigkeit zusammen mit einer komplexen Struktur und einer riemannschen Metrik im Sinne einer riemannschen Mannigfaltigkeit die miteinander vertraglich sind Der Begriff der Kahler Mannigfaltigkeit findet Anwendung in der Darstellungstheorie von Lie Gruppen und ist ein zentraler Begriff der geometrischen Quantisierung Ein auch in der Stringtheorie wichtiges Beispiel fur Kahler Mannigfaltigkeiten sind Calabi Yau Mannigfaltigkeiten Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 1 1 Symplektische Sichtweise 1 2 Komplexe Sichtweise 1 3 Riemannsche Sichtweise 2 Hodge Theorie fur Kahler Mannigfaltigkeiten 3 Beispiele 4 Siehe auch 5 Literatur 6 WeblinksDefinitionen BearbeitenSymplektische Sichtweise Bearbeiten Eine Kahler Mannigfaltigkeit ist eine symplektische Mannigfaltigkeit X w displaystyle X omega nbsp ausgestattet mit einer integrierbaren fast komplexen Struktur J displaystyle J nbsp welche mit der symplektischen Form w displaystyle omega nbsp kompatibel ist was bedeutet dass die bilineare Formg u v w u J v displaystyle g u v omega u Jv nbsp auf dem Tangentialraum von X displaystyle X nbsp an jedem Punkt symmetrisch und positiv definit ist Komplexe Sichtweise Bearbeiten Eine Kahler Mannigfaltigkeit ist eine komplexe Mannigfaltigkeit X displaystyle X nbsp mit einer hermitischen Metrik h displaystyle h nbsp dessen zugehorige 2 Form w displaystyle omega nbsp ist geschlossen Genauer gesagt gibt h displaystyle h nbsp eine positive bestimmte hermitische Form auf dem Tangentialraum T X displaystyle TX nbsp an jedem Punkt von X displaystyle X nbsp und die 2 Form w displaystyle omega nbsp ist definiert durchw u v Re h i u v Im h u v displaystyle omega u v operatorname Re h iu v operatorname Im h u v nbsp fur Tangentialvektoren u displaystyle u nbsp und v displaystyle v nbsp Eine Kahler Mannigfaltigkeit kann auch als Riemannsche Mannigfaltigkeit mit der Riemannschen Metrik g displaystyle g nbsp angesehen werden definiert durchg u v Re h u v displaystyle g u v operatorname Re h u v nbsp Riemannsche Sichtweise Bearbeiten Sei M displaystyle M nbsp eine glatte Mannigfaltigkeit J T M T M displaystyle J colon TM to TM nbsp eine komplexe Struktur das heisst eine glatte Abbildung J T M T M displaystyle J colon TM to TM nbsp mit J 2 I d displaystyle J 2 Id nbsp und g V M V M C M R displaystyle g colon mathcal V M times mathcal V M to C infty M mathbb R nbsp eine riemannsche Metrik wobei V M displaystyle mathcal V M nbsp den Raum der glatten Vektorfelder auf M displaystyle M nbsp bezeichnet Das Tripel M J g displaystyle M J g nbsp heisst Kahler Mannigfaltigkeit wenn g J X J Y g X Y displaystyle g JX JY g X Y nbsp fur alle Vektorfelder X Y V M displaystyle X Y in mathcal V M nbsp gilt und w X Y g J X Y displaystyle omega X Y g JX Y nbsp eine symplektische Formist Die 2 Form w displaystyle omega nbsp heisst dann die Kahler Form von M displaystyle M nbsp und g displaystyle g nbsp die Kahler Metrik Falls der Ricci Tensor proportional zur riemannschen Metrik ist so spricht man auch von einer Kahler Einstein oder Einstein Kahler Mannigfaltigkeit Fur weitere Details vgl den Artikel einsteinsche Mannigfaltigkeit Hodge Theorie fur Kahler Mannigfaltigkeiten BearbeitenAuf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit der Dimension N displaystyle N nbsp ist der Verallgemeinerte Laplace Operator auf glatten r displaystyle r nbsp Formen als D d d d d d displaystyle Delta d dd d d nbsp definiert wobei d displaystyle d nbsp die aussere Ableitung und d 1 N r d displaystyle d 1 Nr star d star nbsp ist und displaystyle star nbsp den Hodge Stern Operator bezeichnet Fur eine hermitesche Mannigfaltigkeit X displaystyle X nbsp werden d displaystyle d nbsp und d displaystyle d nbsp zerlegt als d d displaystyle d partial bar partial d partial bar partial nbsp und es werden zwei weitere Laplace Operatoren definiert D D displaystyle Delta bar partial bar partial bar partial bar partial bar partial Delta partial partial partial partial partial nbsp Wenn X displaystyle X nbsp Kahler Struktur besitzt dann sind diese verallgemeinerten Laplace Operatoren bis auf eine Konstante identisch D d 2 D 2 D displaystyle Delta d 2 Delta bar partial 2 Delta partial nbsp Daraus folgt dass auf einer Kahler Mannigfaltigkeit X displaystyle X nbsp die Gleichheit H r X p q r H p q X displaystyle mathcal H r X bigoplus p q r mathcal H p q X nbsp gilt wobei H r displaystyle mathcal H r nbsp der Raum harmonischer r displaystyle r nbsp Formen auf X displaystyle X nbsp Formen a displaystyle alpha nbsp mit D a 0 displaystyle Delta alpha 0 nbsp und H p q displaystyle mathcal H p q nbsp der Raum harmonischer p q displaystyle p q nbsp Formen ist Das heisst also dass eine Differentialform a displaystyle alpha nbsp harmonisch ist wenn alle ihre p q displaystyle p q nbsp Komponenten harmonisch sind Fur eine kompakte Kahler Mannigfaltigkeit X displaystyle X nbsp gibt die Hodge Theorie eine Interpretation der obigen Zerlegung welche nicht von der Wahl der Kahler Metrik abhangt Namlich teilt sich die Kohomologie H r X C displaystyle H r X mathbb C nbsp von X displaystyle X nbsp mit komplexen Koeffizienten als direkte Summe von gewissen koharenten Garbenkohomologiegruppen H r X C p q r H q X W p displaystyle H r X mathbf C cong bigoplus p q r H q X Omega p nbsp Die Gruppe auf der linken Seite ist nur von X displaystyle X nbsp als topologischer Raum abhangig wahrend die Gruppen auf der rechten Seiten von X displaystyle X nbsp als eine komplexe Mannigfaltigkeit abhangen Also verbindet der Hodge Zerlegungs Satz Topologie und komplexe Geometrie fur kompakte Kahler Mannigfaltigkeiten Beispiele BearbeitenDer komplexe Raum C n displaystyle mathbb C n nbsp Ein kompakt komplexer Torus C L displaystyle mathbb C setminus Lambda nbsp Jede Riemannsche Metrik auf einer orientierten 2 Mannigfaltigkeit Der komplex projektive Raum C P n displaystyle mathbb C P n nbsp und projektive Varietaten X C n displaystyle X subset mathbb C n nbsp Die induzierte Metrik auf einer komplexen Untermannigfaltigkeit einer Kahler Mannigfaltigkeit ist Kahler Jede Steinsche Mannigfaltigkeit oder glatte projektive algebraische Varietat ist Kahler Hermetisch symmetrische Raume Jede K 3 Oberflache ist Kahler Bahnen der koadjungierten Darstellung halb einfacher Lie Gruppen Siehe auch BearbeitenQuaternionische Kahler Mannigfaltigkeit Fastkomplexe MannigfaltigkeitLiteratur BearbeitenAlan Huckleberry Tilman Wurzbacher Hrsg Infinite Dimensional Kahler Manifolds DMV Seminar Bd 31 Birkhauser Verlag Basel u a 2001 ISBN 3 7643 6602 8 Andrei Moroianu Lectures on Kahler Geometry London Mathematical Society Student Texts Bd 69 Cambridge University Press Cambridge 2007 ISBN 978 0 521 68897 0 Weblinks BearbeitenA L Onishchik Kahler manifold In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kahler Mannigfaltigkeit amp oldid 239212014