In der Differentialgeometrie einem Teilgebiet der Mathematik ist der Kotangentialraum ein Vektorraum der einem Punkt einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M displaystyle M zugeordnet wird Es ist der Dualraum des entsprechenden Tangentialraums Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Alternative Definition 3 Zusammenhang zum Tangentialraum 4 Rechtfertigung der Schreibweisen 5 LiteraturDefinition BearbeitenSei M displaystyle M nbsp eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und T p M displaystyle T p M nbsp ihr Tangentialraum am Punkt p M displaystyle p in M nbsp Dann ist der Kotangentialraum definiert als der Dualraum von T p M displaystyle T p M nbsp Das heisst der Kotangentialraum besteht aus allen Linearformen auf dem Tangentialraum T p M displaystyle T p M nbsp Alternative Definition BearbeitenIm Folgenden wird ein anderer Zugang dargestellt bei dem der Dualraum direkt definiert wird ohne Bezugnahme auf den Tangentialraum Diesem Zugang liegt folgende Idee zugrunde Man legt eine Kurve in die Mannigfaltigkeit und macht Aussagen daruber wie sich Werte einer Funktion die ebenfalls auf der Mannigfaltigkeit definiert ist beim Durchlaufen der Kurve speziell in der Umgebung eines Punktes p verandern Man betrachtet das Geschehen im Bildbereich einer Kartenabbildung Es sei M displaystyle M nbsp eine n displaystyle n nbsp dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit Weiter seien G p displaystyle Gamma p nbsp die Menge aller glatten Kurven durch p M displaystyle p in M nbsp c ϵ ϵ M c 0 p displaystyle c colon epsilon epsilon to M qquad c 0 p nbsp und C p displaystyle C p infty nbsp die Menge aller glatten Funktionen die in einer Umgebung U p displaystyle U p nbsp von p displaystyle p nbsp definiert sind f U p R displaystyle f colon U p to mathbb R nbsp Bezeichnet man mit p displaystyle sim p nbsp folgende Aquivalenzrelation auf C p displaystyle C p infty nbsp f p g U p displaystyle f sim p g qquad Leftrightarrow qquad exists U p nbsp Umgebung von p displaystyle p nbsp mit f U p g U p displaystyle f U p g U p nbsp dann ist der Faktorraum F p C p p displaystyle mathcal F p C p infty sim p nbsp der Vektorraum der Keime uber p displaystyle p nbsp Uber f p c d d t t 0 f c t displaystyle langle f p c rangle frac operatorname d operatorname d t Big t 0 f circ c t nbsp wird dann eine formale Paarung F p G p R displaystyle langle cdot cdot rangle mathcal F p times Gamma p to mathbb R nbsp definiert die in der ersten Komponente linear ist Nun ist N p n p F p c G p n p c 0 displaystyle mathcal N p n p in mathcal F p forall c in Gamma p langle n p c rangle 0 nbsp ein linearer Unterraum von F p displaystyle mathcal F p nbsp genauer gesagt der Nullraum bzgl displaystyle langle cdot cdot rangle nbsp und T p M F p N p displaystyle T p M mathcal F p mathcal N p nbsp ist der n displaystyle n nbsp dimensionale Kotangentialraum im Punkt p M displaystyle p in M nbsp Fur den Kotangentialvektor f p displaystyle f p nbsp schreibt man auch d f p displaystyle df p nbsp Zusammenhang zum Tangentialraum BearbeitenMit der obigen Definition kann man auf G p displaystyle Gamma p nbsp eine Aquivalenzrelation displaystyle sim nbsp wie folgt definieren g 1 g 2 d f p T p M d f p g 1 d f p g 2 displaystyle gamma 1 sim gamma 2 qquad Leftrightarrow qquad forall df p in T p M langle df p gamma 1 rangle langle df p gamma 2 rangle nbsp Der Faktorraum T p M G p displaystyle T p M Gamma p sim nbsp beschreibt gerade den n displaystyle n nbsp dimensionalen Tangentialraum Bilden nun d x 1 d x n displaystyle dx 1 ldots dx n nbsp eine Basis von T p M displaystyle T p M nbsp so kann man zu jedem Basisvektor einen Reprasentanten x i C p displaystyle x i in C p infty nbsp auswahlen x x 1 x n M R n displaystyle x x 1 ldots x n colon M to mathbb R n nbsp ist eine differenzierbare Karte und fur jedes i 1 n displaystyle i 1 ldots n nbsp kann man eine Kurve g i ϵ ϵ M t x 1 t e i displaystyle begin matrix gamma i colon amp epsilon epsilon amp to amp M amp t amp mapsto amp x 1 t cdot e i end matrix nbsp definieren wobei e i displaystyle e i nbsp der i displaystyle i nbsp te Einheitsvektor im R n displaystyle mathbb R n nbsp ist Wegen d x i g j d i j displaystyle langle dx i gamma j rangle delta ij nbsp sind T p M displaystyle T p M nbsp und T p M displaystyle T p M nbsp dual zueinander und man schreibt fur g i d x i displaystyle gamma i dx i nbsp auch x i displaystyle tfrac partial partial x i nbsp Rechtfertigung der Schreibweisen BearbeitenSei M R n displaystyle M mathbb R n nbsp p R n displaystyle p in mathbb R n nbsp f R n R displaystyle f colon mathbb R n to mathbb R nbsp eine beliebige Funktion und fur i 1 n displaystyle i 1 ldots n nbsp die Kurven g i h p h e i displaystyle gamma i colon h mapsto p h cdot e i nbsp wobei e i displaystyle e i nbsp die kanonischen Basisvektoren sind Dann ist in den obigen Schreibweisen f p g i d d t t 0 f g i lim h 0 f p h e i f p h x i f p displaystyle langle f p gamma i rangle frac operatorname d operatorname d t Big t 0 f circ gamma i lim h to 0 frac f p h cdot e i f p h frac partial partial x i f p nbsp Somit ist die Schreibweise g i x i displaystyle gamma i tfrac partial partial x i nbsp gerechtfertigt Weiter ist mit T p M R n displaystyle T p M mathbb R n nbsp die lineare Abbildung f p T p M R displaystyle langle f p cdot rangle colon T p M to mathbb R nbsp gerade das totale Differential d f p displaystyle df p nbsp Somit ist also auch die Schreibweise f p d f p displaystyle f p df p nbsp gerechtfertigt Literatur BearbeitenJohn M Lee Introduction to Smooth Manifolds Graduate Texts in Mathematics 218 Springer Verlag New York NY u a 2003 ISBN 0 387 95448 1 R Abraham Jerrold E Marsden T Ratiu Manifolds tensor analysis and applications Applied mathematical sciences 75 2 Auflage Springer New York NY u a 1988 ISBN 0 387 96790 7 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kotangentialraum amp oldid 234800310
