Das Smash-Produkt bezeichnet eine topologische Konstruktion. Es ist vor allem in der Homotopietheorie wichtig.
Definition Bearbeiten
Für zwei gegebene punktierte topologische Räume und mit Basispunkten und betrachtet man zunächst den Produktraum mit der Identifizierung für alle und alle . Der Quotient von unter dieser Identifizierung heißt das Smash-Produkt von und und wird mit bezeichnet. Es hängt in der Regel von den gewählten Basispunkten ab.
Wenn man den Raum mit und mit identifiziert, so schneiden sich und in und das Wedge-Produkt (also ihre disjunkte Vereinigung) liefert den Unterraum von . Das Smash-Produkt ist dann der Quotient
Beispiele Bearbeiten
- Das Smash-Produkt von zwei Sphären und ist homöomorph zur Sphäre . Das Smash-Produkt von zwei Kreisen ist demnach eine 2-Sphäre, die sich als Quotient aus einem Torus ergibt.
- Mit dem Smash-Produkt kann man die sogenannte reduzierte Einhängung erhalten als:
Eigenschaften Bearbeiten
Das Smash-Produkt ist vor allem in der Homotopietheorie wichtig, in der es die Homotopie-Kategorie zu einer symmetrischen monoidalen Kategorie macht, mit der 0-Sphäre (bestehend aus zwei Punkten) als neutralem Element. Das Smash-Produkt ist kommutativ bis auf Homöomorphie und assioziativ bis auf Homotopie, das heißt und sind zwar nicht unbedingt homöomorph, aber homotopieäquivalent.
In der Kategorie der punktierten topologischen Räume besitzt das Smash-Produkt folgende Eigenschaft, die analog zum Tensorprodukt von Moduln ist. Für lokalkompakt gilt die Adjunktionsformel
wobei den Raum der Basispunkt-erhaltenden stetigen Abbildungen versehen mit der kompakt-offenen Topologie bezeichnet. Wenn man für den Einheitskreis nimmt, so ergibt sich als Spezialfall, dass die reduzierte Einhängung links adjungiert zum Schleifenraum ist.