Kompakt Offen Topologie Die Kompakt Offene Topologie kurz KO Topologie 1 ist eine im mathematischen Teilgebiet der Topol

Kompakt-Offen-Topologie

Die Kompakt-Offene-Topologie, kurz KO-Topologie, ist eine im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtete Struktur auf Funktionenräumen stetiger Funktionen. Sind nämlich und topologische Räume, so sind die stetigen Abbildungen die strukturerhaltenden Abbildungen. Daher liegt es nahe, die Menge aller stetigen Funktionen wieder mit einer Topologie auszustatten. Unter den vielen Möglichkeiten, das zu tun, hat sich die Kompakt-Offen-Topologie als besonders geeignet herausgestellt.

Die Mathematiker R. H. Fox (1945) und Richard Friederich Arens (1946) definierten als erste diese Topologie und untersuchten sie systematisch.

Definition Bearbeiten

Seien und topologische Räume. Ist kompakt und offen, so sei .

Die Kompakt-Offen-Topologie auf ist die von allen Mengen der Form , kompakt, offen, erzeugte Topologie, d. h., die offenen Mengen dieser Topologie sind beliebige Vereinigungen endlicher Durchschnitte solcher Mengen .

Die Mengen , kompakt, offen, bilden damit eine Subbasis der Kompakt-Offen-Topologie. Diese Topologie wird oft mit abgekürzt (engl. compact-open), bezeichnet dann den Raum , der mit der Kompakt-Offen-Topologie versehen ist.

Eigenschaften Bearbeiten

Im Folgenden seien und topologische Räume.

Trennungsaxiome Bearbeiten

Ist Y T₀-Raum, T₁-Raum, Hausdorffraum, regulärer Raum oder ein vollständig regulärer Raum, so genügt demselben Trennungsaxiom.

Die Auswertungsabbildung Bearbeiten

Für jede Teilmenge hat man die Auswertungsabbildung . Ist irgendeine Topologie auf , so dass stetig ist ( trägt dabei die Produkttopologie aus und der auf gegebenen Topologie), so ist , d. h., die relative Kompakt-Offen-Topologie auf ist gröber als . In einem wichtigen Spezialfall ist die Auswertungsabbildung stetig, wenn man mit der relativen Kompakt-Offen-Topologie versieht; es gilt:

Ist lokalkompakt und ein beliebiger topologischer Raum, so ist die Kompakt-Offen-Topologie auf jeder Teilmenge die gröbste Topologie, die die Auswertungsabbildung stetig macht.

Komposition Bearbeiten

Seien und lokalkompakt, sei ein dritter topologischer Raum. Dann ist die Kompositionsabbildung

stetig.

Kompakte Konvergenz Bearbeiten

Sei lokalkompakt, uniformer Raum. Dann stimmt die Kompakt-Offen-Topologie auf mit der Topologie der kompakten Konvergenz überein.

Anwendung Bearbeiten

Als typische Anwendung in der algebraischen Topologie wird hier die rekursive Definition der höheren Homotopiegruppen vorgestellt. Es sei ein topologischer Raum mit einem ausgezeichneten Punkt . Mit werde die Fundamentalgruppe zum Basispunkt bezeichnet. Zur Definition der höheren Homotopiegruppen betrachte man den Raum aller stetigen Abbildungen des Einheitsintervalls nach , die den Rand des Einheitsintervalls auf den Basispunkt abbilden. Bezeichnet man die konstante Funktion aus , die das Einheitsintervall auf den Punkt abbildet, mit und versieht man mit der relativen Kompakt-Offen-Topologie von , so ist das Paar ein topologischer Raum mit einem ausgezeichneten Punkt.

Man definiert nun und allgemeiner rekursiv für .

Literatur Bearbeiten

Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung (= BI-Hochschultaschenbücher. Band 121). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6.
Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung (= Teubners mathematische Leitfäden. ZDB-ID 259127-3). Teubner, Stuttgart 1964, (4. Auflage. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6).

Einzelnachweise Bearbeiten

Gerd Laures, Markus Szymik: Grundkurs Topologie. Spektrum – Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2040-4, S. 72.
Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9, S. 333.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 01, 2023, 16:30 pm

Die Kompakt Offene Topologie kurz KO Topologie 1 ist eine im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtete Struktur auf Funktionenraumen stetiger Funktionen Sind namlich X displaystyle X und Y displaystyle Y topologische Raume so sind die stetigen Abbildungen die strukturerhaltenden Abbildungen Daher liegt es nahe die Menge C X Y displaystyle C X Y aller stetigen Funktionen X Y displaystyle X to Y wieder mit einer Topologie auszustatten Unter den vielen Moglichkeiten das zu tun hat sich die Kompakt Offen Topologie als besonders geeignet herausgestellt Die Mathematiker R H Fox 1945 und Richard Friederich Arens 1946 definierten als erste diese Topologie und untersuchten sie systematisch 2 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 2 1 Trennungsaxiome 2 2 Die Auswertungsabbildung 2 3 Komposition 2 4 Kompakte Konvergenz 3 Anwendung 4 Literatur 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSeien X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp topologische Raume Ist K X displaystyle K subset X nbsp kompakt und U Y displaystyle U subset Y nbsp offen so sei W K U f C X Y f K U displaystyle Omega K U f in C X Y f K subset U nbsp Die Kompakt Offen Topologie auf C X Y displaystyle C X Y nbsp ist die von allen Mengen der Form W K U displaystyle Omega K U nbsp K X displaystyle K subset X nbsp kompakt U Y displaystyle U subset Y nbsp offen erzeugte Topologie d h die offenen Mengen dieser Topologie sind beliebige Vereinigungen endlicher Durchschnitte solcher Mengen W K U displaystyle Omega K U nbsp Die Mengen W K U displaystyle Omega K U nbsp K X displaystyle K subset X nbsp kompakt U Y displaystyle U subset Y nbsp offen bilden damit eine Subbasis der Kompakt Offen Topologie Diese Topologie wird oft mit c o displaystyle co nbsp abgekurzt engl compact open C c o X Y displaystyle C co X Y nbsp bezeichnet dann den Raum C X Y displaystyle C X Y nbsp der mit der Kompakt Offen Topologie versehen ist Eigenschaften BearbeitenIm Folgenden seien X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp topologische Raume Trennungsaxiome Bearbeiten Ist Y T0 Raum T1 Raum Hausdorffraum regularer Raum oder ein vollstandig regularer Raum so genugt C c o X Y displaystyle C co X Y nbsp demselben Trennungsaxiom Die Auswertungsabbildung Bearbeiten Fur jede Teilmenge H C X Y displaystyle H subset C X Y nbsp hat man die Auswertungsabbildung j H H X Y f x f x displaystyle j H H times X to Y f x mapsto f x nbsp Ist t displaystyle tau nbsp irgendeine Topologie auf H displaystyle H nbsp so dass j H displaystyle j H nbsp stetig ist H X displaystyle H times X nbsp tragt dabei die Produkttopologie aus t displaystyle tau nbsp und der auf X displaystyle X nbsp gegebenen Topologie so ist c o H t displaystyle co H subset tau nbsp d h die relative Kompakt Offen Topologie auf H displaystyle H nbsp ist grober als t displaystyle tau nbsp In einem wichtigen Spezialfall ist die Auswertungsabbildung j H displaystyle j H nbsp stetig wenn man H displaystyle H nbsp mit der relativen Kompakt Offen Topologie versieht es gilt Ist X displaystyle X nbsp lokalkompakt und Y displaystyle Y nbsp ein beliebiger topologischer Raum so ist die Kompakt Offen Topologie auf jeder Teilmenge H C X Y displaystyle H subset C X Y nbsp die grobste Topologie die die Auswertungsabbildung j H H X Y f x f x displaystyle j H H times X to Y f x mapsto f x nbsp stetig macht Komposition Bearbeiten Seien X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp lokalkompakt Z displaystyle Z nbsp sei ein dritter topologischer Raum Dann ist die KompositionsabbildungC c o X Y C c o Y Z C c o X Z f g g f displaystyle C co X Y times C co Y Z rightarrow C co X Z f g mapsto g circ f nbsp stetig Kompakte Konvergenz Bearbeiten Sei X displaystyle X nbsp lokalkompakt Y displaystyle Y nbsp uniformer Raum Dann stimmt die Kompakt Offen Topologie auf C X Y displaystyle C X Y nbsp mit der Topologie der kompakten Konvergenz uberein Anwendung BearbeitenAls typische Anwendung in der algebraischen Topologie wird hier die rekursive Definition der hoheren Homotopiegruppen vorgestellt Es sei X displaystyle X nbsp ein topologischer Raum mit einem ausgezeichneten Punkt p X displaystyle p in X nbsp Mit p 1 X p displaystyle pi 1 X p nbsp werde die Fundamentalgruppe zum Basispunkt p displaystyle p nbsp bezeichnet Zur Definition der hoheren Homotopiegruppen p n X p displaystyle pi n X p nbsp betrachte man den Raum W X p displaystyle Omega X p nbsp aller stetigen Abbildungen g 0 1 0 1 X p displaystyle g 0 1 partial 0 1 to X p nbsp des Einheitsintervalls 0 1 displaystyle 0 1 nbsp nach X displaystyle X nbsp die den Rand 0 1 displaystyle partial 0 1 nbsp des Einheitsintervalls auf den Basispunkt p displaystyle p nbsp abbilden Bezeichnet man die konstante Funktion aus W X p displaystyle Omega X p nbsp die das Einheitsintervall auf den Punkt p displaystyle p nbsp abbildet mit p displaystyle tilde p nbsp und versieht man W X p displaystyle Omega X p nbsp mit der relativen Kompakt Offen Topologie von C 0 1 X displaystyle C 0 1 X nbsp so ist das Paar W X p p displaystyle Omega X p tilde p nbsp ein topologischer Raum mit einem ausgezeichneten Punkt Man definiert nun p 2 X p p 1 W X p p displaystyle pi 2 X p pi 1 Omega X p tilde p nbsp und allgemeiner rekursiv p n X p p n 1 W X p p displaystyle pi n X p pi n 1 Omega X p tilde p nbsp fur n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp Literatur BearbeitenJohann Cigler Hans Christian Reichel Topologie Eine Grundvorlesung BI Hochschultaschenbucher Band 121 Bibliographisches Institut Mannheim u a 1978 ISBN 3 411 00121 6 Horst Schubert Topologie Eine Einfuhrung Teubners mathematische Leitfaden ZDB ID 259127 3 Teubner Stuttgart 1964 4 Auflage Teubner Stuttgart 1975 ISBN 3 519 12200 6 Einzelnachweise Bearbeiten Gerd Laures Markus Szymik Grundkurs Topologie Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2009 ISBN 978 3 8274 2040 4 S 72 Boto von Querenburg Mengentheoretische Topologie 3 neu bearbeitete und erweiterte Auflage Springer Berlin u a 2001 ISBN 3 540 67790 9 S 333 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kompakt Offen Topologie amp oldid 235185218