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Topologische K Theorie In der Mathematik speziell in der algebraischen Topologie beschäftigt sich die mit dem Studium vo

Topologische K-Theorie

In der Mathematik, speziell in der algebraischen Topologie, beschäftigt sich die Topologische K-Theorie mit dem Studium von Vektorbündeln auf topologischen Räumen. Der Name K-Theorie wurde von Alexander Grothendieck kreiert; das K steht für „Klasse“ in einem sehr allgemeinen Sinn.

Definitionen Bearbeiten

Es sei ein fester kompakter Hausdorffraum.

Dann ist der Quotient der freien abelschen Gruppe auf den Isomorphieklassen der stabil äquivalenten komplexen Vektorbündeln über nach der Untergruppe, die von Elementen der Form

für beliebige komplexe Vektorbündel über erzeugt wird. Dabei bezeichnet die Whitney-Summe der Vektorbündel. Diese Konstruktion, die der Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen nachempfunden ist, heißt Grothendieck-Gruppe (nach Alexander Grothendieck). Man kann sich Elemente von also als formale Summen und Differenzen von (Isomorphieklassen von) komplexen Vektorbündeln denken.

Betrachtet man stattdessen reelle Vektorbündel, erhält man die reelle -Theorie . Zur besseren Abgrenzung nennt man die K-Theorie der komplexen Vektorbündel auch komplexe K-Theorie.

Zwei Vektorbündel und auf definieren genau dann dasselbe Element in , wenn sie stabil äquivalent sind, d. h. wenn es ein triviales Vektorbündel gibt, so dass

Mit dem Tensorprodukt von Vektorbündeln wird zu einem kommutativen Ring mit Einselement.

Der Begriff des Ranges eines Vektorbündels überträgt sich auf Elemente der -Theorie. Die reduzierte K-Theorie ist die Untergruppe der Elemente von Rang 0. Weiter führt man die Bezeichnung ein; dabei bezeichnet die reduzierte Einhängung.

Eigenschaften Bearbeiten

Bott-Periodizität Bearbeiten

Dieses nach Raoul Bott benannte Periodizitätsphänomen lässt sich auf die folgenden äquivalenten Arten formulieren:

In der reellen K-Theorie gibt es eine ähnliche Periodizität mit Periode 8.

Berechnung Bearbeiten

Die (komplexe oder reelle) topologische K-Theorie ist eine verallgemeinerte Kohomologietheorie und kann oft mit Hilfe der Atiyah-Hirzebruch-Spektralsequenz berechnet werden.

K-Theorie für Banachalgebren Bearbeiten

Die topologische K-Theorie lässt sich auf allgemeine Banachalgebren ausdehnen, wobei die C*-Algebren eine wichtige Rolle spielen. Die topologische K-Theorie kompakter Räume kann als K-Theorie der Banachalgebren der stetigen Funktionen umformuliert und dann auf beliebige Banachalgebren übertragen werden, sogar auf das Einselement der Algebren kann man verzichten. Da die Zuordnung ein kontravarianter Funktor von der Kategorie der kompakten Hausdorffräume in die Kategorie der Banachalgebren ist und da die topologische K-Theorie ebenfalls kontravariant ist, erhalten wir insgesamt einen kovarianten Funktor von der Kategorie der Banachalgebren in die Kategorie der abelschen Gruppen.

Da hier auch nicht-kommutative Algebren auftreten können, spricht man von nicht-kommutativer Topologie. Die K-Theorie ist ein wichtiger Untersuchungsgegenstand in der Theorie der C*-Algebren.

Siehe auch Bearbeiten

Algebraische K-Theorie

Literatur Bearbeiten

  • Michael Atiyah: K -theory. Notes by D. W. Anderson. Second edition. Advanced Book Classics. Addison-Wesley Publishing Company, Advanced Book Program, Redwood City, CA, 1989. ISBN 0-201-09394-4
  • Allen Hatcher: Vector bundles and K-theory (math.cornell.edu).
  • Karlheinz Knapp: Vektorbündel. (link.springer.com).

Weblinks Bearbeiten

Quellen Bearbeiten

  1. Atiyah, Hirzebruch: Vector bundles and homogeneous spaces. In: Proc. Sympos. Pure Math. Band III. American Mathematical Society, Providence, R.I. 1961, S. 7–38.
  2. Blackadar: K-Theory for Operator Algebras. Springer Verlag, 1986, ISBN 3-540-96391-X.
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In der Mathematik speziell in der algebraischen Topologie beschaftigt sich die Topologische K Theorie mit dem Studium von Vektorbundeln auf topologischen Raumen Der Name K Theorie wurde von Alexander Grothendieck kreiert das K steht fur Klasse in einem sehr allgemeinen Sinn Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 Eigenschaften 3 Bott Periodizitat 4 Berechnung 5 K Theorie fur Banachalgebren 6 Siehe auch 7 Literatur 8 Weblinks 9 QuellenDefinitionen BearbeitenEs sei X displaystyle X nbsp ein fester kompakter Hausdorffraum Dann ist K X displaystyle K X nbsp der Quotient der freien abelschen Gruppe auf den Isomorphieklassen der stabil aquivalenten komplexen Vektorbundeln uber X displaystyle X nbsp nach der Untergruppe die von Elementen der Form E F E F displaystyle E oplus F E F nbsp fur beliebige komplexe Vektorbundel E F displaystyle E F nbsp uber X displaystyle X nbsp erzeugt wird Dabei bezeichnet displaystyle oplus nbsp die Whitney Summe der Vektorbundel Diese Konstruktion die der Konstruktion der ganzen Zahlen aus den naturlichen Zahlen nachempfunden ist heisst Grothendieck Gruppe nach Alexander Grothendieck Man kann sich Elemente von K X displaystyle K X nbsp also als formale Summen und Differenzen von Isomorphieklassen von komplexen Vektorbundeln denken Betrachtet man stattdessen reelle Vektorbundel erhalt man die reelle K displaystyle K nbsp Theorie K O X displaystyle KO X nbsp Zur besseren Abgrenzung nennt man die K Theorie der komplexen Vektorbundel auch komplexe K Theorie Zwei Vektorbundel E displaystyle E nbsp und F displaystyle F nbsp auf X displaystyle X nbsp definieren genau dann dasselbe Element in K X displaystyle K X nbsp wenn sie stabil aquivalent sind d h wenn es ein triviales Vektorbundel G displaystyle G nbsp gibt so dass E G F G displaystyle E oplus G cong F oplus G nbsp Mit dem Tensorprodukt von Vektorbundeln wird K X displaystyle K X nbsp zu einem kommutativen Ring mit Einselement Der Begriff des Ranges eines Vektorbundels ubertragt sich auf Elemente der K displaystyle K nbsp Theorie Die reduzierte K Theorie K X displaystyle tilde K X nbsp ist die Untergruppe der Elemente von Rang 0 Weiter fuhrt man die Bezeichnung K n X K S n X displaystyle tilde K n X tilde K S n X nbsp ein dabei bezeichnet S displaystyle S nbsp die reduzierte Einhangung Eigenschaften BearbeitenK displaystyle K nbsp ist ein kontravarianter Funktor auf der Kategorie der kompakten Hausdorffraume Es gibt einen topologischen Raum B U displaystyle BU nbsp so dass Elemente von K X displaystyle K X nbsp den Homotopieklassen von Abbildungen X B U displaystyle X to BU nbsp entsprechen Es gibt einen naturlichen Ringhomomorphismus K X H X Q displaystyle K X to H X Q nbsp den Chern Charakter Bott Periodizitat BearbeitenDieses nach Raoul Bott benannte Periodizitatsphanomen lasst sich auf die folgenden aquivalenten Arten formulieren K X S 2 K X K S 2 displaystyle K X times S 2 K X otimes K S 2 nbsp und K S 2 Z H H 1 2 displaystyle K S 2 mathbb Z H H 1 2 nbsp dabei ist H displaystyle H nbsp die Klasse des tautologischen Bundels uber S 2 C P 1 displaystyle S 2 mathbb C P 1 nbsp K n 2 X K n X displaystyle tilde K n 2 X tilde K n X nbsp W 2 B U B U Z displaystyle Omega 2 mathrm BU simeq mathrm BU times mathbf Z nbsp In der reellen K Theorie gibt es eine ahnliche Periodizitat mit Periode 8 Berechnung BearbeitenDie komplexe oder reelle topologische K Theorie ist eine verallgemeinerte Kohomologietheorie und kann oft mit Hilfe der Atiyah Hirzebruch Spektralsequenz berechnet werden 1 K Theorie fur Banachalgebren Bearbeiten Hauptartikel K Theorie von Banachalgebren Die topologische K Theorie lasst sich auf allgemeine Banachalgebren ausdehnen wobei die C Algebren eine wichtige Rolle spielen Die topologische K Theorie kompakter Raume X displaystyle X nbsp kann als K Theorie der Banachalgebren C X displaystyle C X nbsp der stetigen Funktionen X C displaystyle X rightarrow mathbb C nbsp umformuliert und dann auf beliebige Banachalgebren ubertragen werden sogar auf das Einselement der Algebren kann man verzichten Da die Zuordnung X C X displaystyle X mapsto C X nbsp ein kontravarianter Funktor von der Kategorie der kompakten Hausdorffraume in die Kategorie der Banachalgebren ist und da die topologische K Theorie ebenfalls kontravariant ist erhalten wir insgesamt einen kovarianten Funktor von der Kategorie der Banachalgebren in die Kategorie der abelschen Gruppen 2 Da hier auch nicht kommutative Algebren auftreten konnen spricht man von nicht kommutativer Topologie Die K Theorie ist ein wichtiger Untersuchungsgegenstand in der Theorie der C Algebren Siehe auch BearbeitenAlgebraische K TheorieLiteratur BearbeitenMichael Atiyah K theory Notes by D W Anderson Second edition Advanced Book Classics Addison Wesley Publishing Company Advanced Book Program Redwood City CA 1989 ISBN 0 201 09394 4 Allen Hatcher Vector bundles and K theory math cornell edu Karlheinz Knapp Vektorbundel link springer com Weblinks BearbeitenMax Karoubi Lectures on K theory PDF 400 kB Quellen Bearbeiten Atiyah Hirzebruch Vector bundles and homogeneous spaces In Proc Sympos Pure Math Band III American Mathematical Society Providence R I 1961 S 7 38 Blackadar K Theory for Operator Algebras Springer Verlag 1986 ISBN 3 540 96391 X Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Topologische K Theorie amp oldid 217062539