In der Mathematik sind Kofaserungen ein wichtiger Begriff der algebraischen Topologie Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Kofaser 4 LiteraturDefinition BearbeitenEine stetige Abbildung i A X displaystyle i colon A to X nbsp ist eine Kofaserung wenn sie die Homotopieerweiterungseigenschaft erfullt d h wenn es zu stetigen Abbildungen f X Y h A 0 1 Y displaystyle f colon X to Y h colon A times left 0 1 right to Y nbsp mit f i h i 0 displaystyle f circ i h circ i 0 nbsp fur die durch i 0 x x 0 displaystyle i 0 x x 0 nbsp definierte Inklusive i 0 A A 0 1 displaystyle i 0 colon A to A times left 0 1 right nbsp immer eine stetige Abbildung h X 0 1 Y displaystyle overline h colon X times left 0 1 right to Y nbsp mit h i i d h displaystyle overline h circ i times id h nbsp und h X 0 f p X displaystyle overline h X times 0 f circ pi X nbsp fur die naturliche Projektion p X X 0 X displaystyle pi X X times 0 to X nbsp gibt Falls i A X displaystyle i colon A to X nbsp die Inklusion eines Unterraumes A X displaystyle A subset X nbsp ist dann ist diese Bedingung aquivalent dazu dass es eine Retraktion p X 0 1 A 0 1 X 0 displaystyle p colon X times left 0 1 right to A times left 0 1 right cup X times left 0 right nbsp gibt Beispiele BearbeitenDie InklusionS n 1 D n displaystyle S n 1 to D n nbsp dd ist eine Kofaserung Fur jeden CW Komplex X displaystyle X nbsp und alle m n displaystyle m leq n nbsp ist die InklusionX m X n displaystyle X m to X n nbsp dd des m Skeletts in das n Skelett eine Kofaserung Insbesondere sind CW Komplexe kofibrant Kofaser BearbeitenDie Homotopie Kofaser einer beliebigen stetigen Abbildung f A X displaystyle f colon A to X nbsp ist ihr Abbildungskegel C f displaystyle C f nbsp Fur jede verallgemeinerte Homologietheorie H displaystyle H nbsp hat man eine lange exakte Sequenz H 1 C f H A H X H C f H 1 A displaystyle ldots to H 1 C f to H A to H X to H C f to H 1 A to ldots nbsp Falls die Abbildung f displaystyle f nbsp eine Kofaserung ist bezeichnet man die Homotopie Kofaser C f displaystyle C f nbsp als Kofaser Wenn eine Inklusion f A X displaystyle f colon A to X nbsp eine Kofaserung ist dann ist die Kofaser C f displaystyle C f nbsp Homotopie aquivalent zum Quotientenraum X A displaystyle X A nbsp und es gilt H X A H C f H X A displaystyle H X A H C f H X A nbsp Literatur BearbeitenWhitehead George W Elements of homotopy theory Graduate Texts in Mathematics 61 Springer Verlag New York Berlin 1978 ISBN 0 387 90336 4 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kofaserung amp oldid 221021700
