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Witt Ring Der Begriff des s W R displaystyle W R stammt aus der Algebra Er soll die quadratischen Räume über einem Ring

Witt-Ring

Der Begriff des Witt-Rings stammt aus der Algebra. Er soll die quadratischen Räume über einem Ring , d. h. die -Moduln mit symmetrischer Bilinearform, zusammenfassen. Er wurde 1937 von Ernst Witt eingeführt.

Definition für beliebige Ringe Bearbeiten

Sei ein kommutativer Ring.

Die Menge der quadratischen Räume, d. h. der -Moduln mit symmetrischer Bilinearform, hat eine Ringstruktur mit der orthogonalen direkten Summe als Addition und dem Tensorprodukt als Multiplikation. Man bezeichnet zwei quadratische Räume als stabil äquivalent, wenn es gibt, so dass isomorph zu ist.

Stabile Äquivalenz ist eine Äquivalenzrelation. Die Menge der Äquivalenzklassen bildet mit den durch und induzierten Verknüpfungen einen Ring, der als Witt-Ring bezeichnet wird.

Äquivalente Definition für Körper Bearbeiten

Sei ein Körper der Charakteristik . Als hyperbolische Ebene bezeichnet man den mit der symmetrischen Bilinearform , als metabolische quadratische Form eine orthogonale direkte Summe hyperbolischer Ebenen.

Für solche Körper kann der Witt-Ring äquivalent definiert werden als Menge der Äquivalenzklassen für die Äquivalenzrelation: und sind äquivalent, wenn es eine metabolische quadratische Form mit oder gibt.

Beispiele Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Witt, Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Körpern, J. Reine Angew. Math., Band 176, 1937, S. 31–44
  2. Winfried Scharlau (1985): Quadratic and Hermitian Forms, p.40, und Martin Kneser (2002): Quadratische Formen, S. 53.
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Der Begriff des Witt Rings W R displaystyle W R stammt aus der Algebra Er soll die quadratischen Raume uber einem Ring R displaystyle R d h die R displaystyle R Moduln mit symmetrischer Bilinearform zusammenfassen Er wurde 1937 von Ernst Witt eingefuhrt 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definition fur beliebige Ringe 2 Aquivalente Definition fur Korper 3 Beispiele 4 Literatur 5 EinzelnachweiseDefinition fur beliebige Ringe BearbeitenSei R displaystyle R nbsp ein kommutativer Ring Die Menge der quadratischen Raume d h der R displaystyle R nbsp Moduln mit symmetrischer Bilinearform hat eine Ringstruktur mit der orthogonalen direkten Summe displaystyle oplus nbsp als Addition und dem Tensorprodukt displaystyle otimes nbsp als Multiplikation Man bezeichnet zwei quadratische Raume S 1 S 2 displaystyle S 1 S 2 nbsp als stabil aquivalent wenn es T 1 T 2 displaystyle T 1 T 2 nbsp gibt so dass S 1 T 1 displaystyle S 1 oplus T 1 nbsp isomorph zu S 2 T 2 displaystyle S 2 oplus T 2 nbsp ist Stabile Aquivalenz ist eine Aquivalenzrelation Die Menge der Aquivalenzklassen bildet mit den durch displaystyle oplus nbsp und displaystyle otimes nbsp induzierten Verknupfungen einen Ring der als Witt Ring W R displaystyle W R nbsp bezeichnet wird Aquivalente Definition fur Korper BearbeitenSei K displaystyle K nbsp ein Korper der Charakteristik char K 2 displaystyle operatorname char K neq 2 nbsp Als hyperbolische Ebene H displaystyle H nbsp bezeichnet man den K 2 displaystyle K 2 nbsp mit der symmetrischen Bilinearform b x y 2 x y displaystyle b x y 2xy nbsp als metabolische quadratische Form eine orthogonale direkte Summe hyperbolischer Ebenen Fur solche Korper kann der Witt Ring W K displaystyle W K nbsp aquivalent definiert werden als Menge der Aquivalenzklassen fur die Aquivalenzrelation S 1 displaystyle S 1 nbsp und S 2 displaystyle S 2 nbsp sind aquivalent wenn es eine metabolische quadratische Form M displaystyle M nbsp mit S 2 S 1 M displaystyle S 2 S 1 oplus M nbsp oder S 1 S 2 M displaystyle S 1 S 2 oplus M nbsp gibt Beispiele BearbeitenFur jeden algebraisch abgeschlossenen Korper K displaystyle K nbsp ist W K Z 2 Z displaystyle W K simeq mathbb Z 2 mathbb Z nbsp Fur den Korper der reellen Zahlen ist W R Z displaystyle W mathbb R simeq mathbb Z nbsp Fur den Ring der ganzen Zahlen ist W Z Z displaystyle W mathbb Z mathbb Z nbsp Fur den Korper der rationalen Zahlen ist W Q W R p W F p displaystyle W mathbb Q W mathbb R bigoplus oplus p W F p nbsp schwache Form des Satzes von Hasse Minkowski Fur einen endlichen Korper F q displaystyle F q nbsp mit q 3 mod 4 displaystyle q equiv 3 mod 4 nbsp ist W F q Z 4 Z displaystyle W F q simeq mathbb Z 4 mathbb Z nbsp 2 Fur einen endlichen Korper F q displaystyle F q nbsp mit q 1 mod 4 displaystyle q equiv 1 mod 4 nbsp ist W F q Z 2 Z F F 2 displaystyle W F q simeq mathbb Z 2 mathbb Z left F F 2 right nbsp Fur einen lokalen Korper K displaystyle K nbsp mit Maximalideal m displaystyle mathfrak m nbsp der Norm N m 1 mod 4 displaystyle N mathfrak m equiv 1 mod 4 nbsp ist W K Z 2 Z Z 2 Z Z 2 Z displaystyle W K mathbb Z 2 mathbb Z left mathbb Z 2 mathbb Z oplus mathbb Z 2 mathbb Z right nbsp Fur einen lokalen Korper K displaystyle K nbsp mit Maximalideal m displaystyle mathfrak m nbsp der Norm N m 3 mod 4 displaystyle N mathfrak m equiv 3 mod 4 nbsp ist W K Z 4 Z Z 2 Z displaystyle W K mathbb Z 4 mathbb Z left mathbb Z 2 mathbb Z right nbsp Fur jeden Korper K displaystyle K nbsp wird der Torsionsanteil von W K displaystyle W K nbsp von Pfister Formen erzeugt Die Ordnung jedes Torsionselements ist eine Zweierpotenz Literatur BearbeitenJohn Milnor Dale Husemoller Symmetric bilinear forms Springer 1973 Einzelnachweise Bearbeiten Witt Theorie der quadratischen Formen in beliebigen Korpern J Reine Angew Math Band 176 1937 S 31 44 Winfried Scharlau 1985 Quadratic and Hermitian Forms p 40 und Martin Kneser 2002 Quadratische Formen S 53 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Witt Ring amp oldid 210869284