Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie versteht man unter der Ordnung eines Gruppenelementes oder Elementordnung eines Elements einer Gruppe die kleinste natürliche Zahl , für die gilt, wobei das neutrale Element der Gruppe ist. Gibt es keine derartige Zahl, so sagt man, habe unendliche Ordnung. In Formeln:
Elemente endlicher Ordnung werden auch Torsionselemente genannt. Die Ordnung wird manchmal mit oder bezeichnet.
Die Potenz eines Gruppenelementes ist dabei für natürliche Exponenten induktiv definiert:
- für alle natürlichen
Die Zahl wird, wenn sie endlich ist, Gruppenexponent genannt.
Eigenschaften Bearbeiten
- Nach dem Satz von Lagrange haben alle Elemente einer endlichen Gruppe eine endliche Ordnung, und diese ist ein Teiler der Gruppenordnung, d. h. der Anzahl der Elemente der Gruppe.
- Umgekehrt existiert in einer endlichen Gruppe nach dem Satz von Cauchy zu jedem Primteiler der Gruppenordnung ein Element, das die Ordnung hat. Für zusammengesetzte Teiler ist keine allgemeine Aussage möglich (während zum trivialen Teiler 1 das neutrale Element gehört).
- Die Ordnung eines Elementes ist gleich der Ordnung der Untergruppe, die von diesem Element erzeugt wird.
- Es gilt genau dann, wenn ein Vielfaches der Ordnung des Elements ist.
- Für jedes , welches nicht das neutrale Element ist, gilt: hat genau dann Ordnung 2, wenn es sein eigenes Inverses ist.
- In abelschen Gruppen ist die Ordnung des Produktes ein Teiler des kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Ordnungen von und . In nichtabelschen Gruppen ist keine derartige Aussage möglich; beispielsweise hat das Element der Gruppe SL2(Z) unendliche Ordnung, obwohl es das Produkt der Elemente mit der Ordnung 4 und mit der Ordnung 6 ist.
Literatur Bearbeiten
- J. C. Jantzen, J. Schwermer: Algebra. Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-21380-5.