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Gruppenexponent Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie versteht man unter dem en exp G displaystyle exp G einer

Gruppenexponent

Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie versteht man unter dem Gruppenexponenten einer Gruppe die kleinste natürliche Zahl , für die (Potenz eines Gruppenelements) für alle Gruppenelemente gilt. Gibt es keine derartige Zahl, so sagt man, habe Exponent (sie muss dann auch unendliche Ordnung haben).

Eigenschaften Bearbeiten

Beispiele Bearbeiten

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Wikiversity. Abgerufen am 13. August 2012.
  2. matheplanet.com: Beitrag No. 7 von Gockel. Abgerufen am 13. August 2012.
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Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie versteht man unter dem Gruppenexponenten exp G displaystyle exp G einer Gruppe G e displaystyle G cdot e die kleinste naturliche Zahl n gt 0 displaystyle n gt 0 fur die g n e displaystyle g n e Potenz eines Gruppenelements fur alle Gruppenelemente g displaystyle g gilt 1 Gibt es keine derartige Zahl so sagt man G displaystyle G habe Exponent displaystyle infty sie muss dann auch unendliche Ordnung haben Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 2 Beispiele 3 Siehe auch 4 EinzelnachweiseEigenschaften BearbeitenNach dem Satz von Lagrange ist der Gruppenexponent fur eine endliche Gruppe ein Teiler der Gruppenordnung und somit insbesondere endlich In einer zyklischen Gruppe stimmt der Gruppenexponent mit der Gruppenordnung uberein Die Gruppenordnung stimmt genau dann mit dem Gruppenexponenten uberein wenn alle Sylowgruppen der Gruppe zyklisch sind 2 Der Gruppenexponent ist das kleinste gemeinsame Vielfache kgV der Ordnung aller Gruppenelemente Der Gruppenexponent einer Untergruppe ist ein Teiler des Exponenten der ganzen Gruppe Beispiele BearbeitenFur die primen Restklassengruppen Z n Z displaystyle mathbb Z n mathbb Z times nbsp erhalt man den Gruppenexponenten durch die Carmichael Funktion Der Gruppenexponent von Z p Z displaystyle mathbb Z p mathbb Z times nbsp mit einer Primzahl p displaystyle p nbsp ist gleich der Gruppenordnung p 1 displaystyle p 1 nbsp Der Gruppenexponent von Z 8 Z displaystyle mathbb Z 8 mathbb Z times nbsp ist 2 vergleiche Die Gruppenordnung ist 4 Der Korper F q displaystyle mathbb F q nbsp mit q p k displaystyle q p k nbsp Elementen aufgefasst als additive Gruppe hat Gruppenordnung q displaystyle q nbsp und Gruppenexponent p displaystyle p nbsp vergleiche Charakteristik eines Korpers Unendliche Gruppen mit endlichem Exponenten sind bspw der Polynomring F p X displaystyle mathbb F p X nbsp und der algebraische Abschluss von F p displaystyle mathbb F p nbsp jeweils wegen der Primzahlcharakteristik p displaystyle p nbsp in der additiven Verknupfung Jedes Element m n Z displaystyle m n mathbb Z nbsp der unendlichen Torsionsgruppe Q Z displaystyle mathbb Q mathbb Z nbsp hat die endliche Ordnung n displaystyle n nbsp wenn n gt 0 displaystyle n gt 0 nbsp gilt und m displaystyle m nbsp zu n displaystyle n nbsp teilerfremd ist Da die Elementordnungen aber nicht beschrankt sind ist exp Q Z displaystyle exp mathbb Q mathbb Z infty nbsp Siehe auch BearbeitenTorsion Algebra Einzelnachweise Bearbeiten Wikiversity Abgerufen am 13 August 2012 matheplanet com Beitrag No 7 von Gockel Abgerufen am 13 August 2012 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gruppenexponent amp oldid 222698815