Arkussekans und Arkuskosekans sind zyklometrische Funktionen Sie sind die Umkehrfunktionen der Sekansfunktion bzw der Kosekansfunktion und damit Arkusfunktionen Da die Sekans und die Kosekansfunktion periodisch sind wird zur Umkehrung der Definitionsbereich von Sekans auf 0 p displaystyle lbrack 0 pi rbrack und der Definitionsbereich von Kosekans auf p 2 p 2 displaystyle lbrack pi 2 pi 2 rbrack beschrankt Der Arkussekans wird mit arcsec x displaystyle operatorname arcsec x bezeichnet und der Arkuskosekans mit arccsc x displaystyle operatorname arccsc x Seltener vor allem aber im Englischen verwendet man auch die Schreibweisen sec 1 x displaystyle sec 1 x und csc 1 displaystyle csc 1 sie bedeuten aber nicht dass arcsec displaystyle operatorname arcsec bzw arccsc displaystyle operatorname arccsc die Kehrwerte von sec displaystyle sec und csc displaystyle csc sind Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 2 Reihenentwicklungen 3 Integraldarstellungen 4 Ableitungen 5 Integrale 6 Umrechnung und Beziehungen zu anderen zyklometrischen Funktionen 7 Siehe auch 8 WeblinksEigenschaften Bearbeiten Arkussekans ArkuskosekansFunktions Graphen nbsp nbsp Definitionsbereich lt x 1 1 x lt displaystyle infty lt x leq 1 1 leq x lt infty nbsp lt x 1 1 x lt displaystyle infty lt x leq 1 1 leq x lt infty nbsp Wertebereich 0 f x p displaystyle 0 leq f x leq pi nbsp p 2 f x p 2 displaystyle frac pi 2 leq f x leq frac pi 2 nbsp Monotonie In beiden Abschnitten jeweils streng monoton steigend In beiden Abschnitten jeweils streng monoton fallendSymmetrien Punktsymmetrie zum Punkt x 0 y p 2 displaystyle x 0 y frac pi 2 nbsp Ungerade Funktion arccsc x arccsc x displaystyle operatorname arccsc x operatorname arccsc x nbsp Asymptoten f x p 2 displaystyle f x to frac pi 2 nbsp fur x displaystyle x to pm infty nbsp f x 0 displaystyle f x to 0 nbsp fur x displaystyle x to pm infty nbsp Nullstellen x 1 displaystyle x 1 nbsp keineSprungstellen keine keinePolstellen keine keineExtrema Minimum bei 1 0 displaystyle left 1 0 right nbsp Maximum bei 1 p displaystyle left 1 pi right nbsp Minimum bei 1 p 2 displaystyle left 1 frac pi 2 right nbsp Maximum bei 1 p 2 displaystyle left 1 frac pi 2 right nbsp Wendepunkte keine keineReihenentwicklungen BearbeitenDie Reihenentwicklungen von Arkussekans und Arkuskosekans sind arcsec x p 2 k 0 2 k 1 x 2 k 1 2 k 2 k 1 p 2 x 1 1 6 x 3 3 40 x 5 displaystyle operatorname arcsec x frac pi 2 sum k 0 infty frac 2k 1 x 2k 1 2k cdot 2k 1 approx frac pi 2 x 1 frac 1 6 x 3 frac 3 40 x 5 nbsp arccsc x k 0 2 k 1 x 2 k 1 2 k 2 k 1 1 x 1 2 3 x 3 3 2 4 5 x 5 3 5 2 4 6 7 x 7 displaystyle operatorname arccsc x sum k 0 infty frac 2k 1 x 2k 1 2k cdot 2k 1 frac 1 x frac 1 2 cdot 3x 3 frac 3 2 cdot 4 cdot 5x 5 frac 3 cdot 5 2 cdot 4 cdot 6 cdot 7x 7 ldots nbsp Integraldarstellungen BearbeitenFur den Arkussekans und Arkuskosekans existieren folgende Integraldarstellungen arcsec x 1 x d t t t 2 1 displaystyle operatorname arcsec x int limits 1 x frac mathrm d t t sqrt t 2 1 nbsp arccsc x x d t t t 2 1 displaystyle operatorname arccsc x int limits x infty frac mathrm d t t sqrt t 2 1 nbsp Ableitungen BearbeitenDie Ableitungen sind gegeben durch d d x arcsec x 1 x x 2 1 displaystyle frac mathrm d mathrm d x operatorname arcsec x frac 1 x sqrt x 2 1 nbsp d d x arccsc x 1 x x 2 1 displaystyle frac mathrm d mathrm d x operatorname arccsc x frac 1 x sqrt x 2 1 nbsp Integrale Bearbeiten arcsec x d x x arcsec x sgn x ln x x 2 1 C x arcsec x arcosh x C displaystyle int operatorname arcsec x mathrm d x x cdot operatorname arcsec x operatorname sgn x cdot ln left left x sqrt x 2 1 right right C x cdot operatorname arcsec x operatorname arcosh x C nbsp arccsc x d x x arccsc x sgn x ln x x 2 1 C x arccsc x arcosh x C displaystyle int operatorname arccsc x mathrm d x x cdot operatorname arccsc x operatorname sgn x cdot ln left left x sqrt x 2 1 right right C x cdot operatorname arccsc x operatorname arcosh x C nbsp Umrechnung und Beziehungen zu anderen zyklometrischen Funktionen Bearbeitenarcsec x arccos 1 x displaystyle operatorname arcsec x arccos left frac 1 x right nbsp arccsc x arcsin 1 x displaystyle operatorname arccsc x arcsin left frac 1 x right nbsp Siehe auch BearbeitenFormelsammlung Trigonometrie Trigonometrische FunktionenWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Inverse Secant und Inverse Cosecant auf MathWorldTrigonometrische Funktion Primare trigonometrische FunktionenSinus und Kosinus Tangens und Kotangens Sekans und Kosekans Umkehrfunktionen Arkusfunktionen Arkussinus und Arkuskosinus Arkustangens und Arkuskotangens Arkussekans und Arkuskosekans HyperbelfunktionenSinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus AreafunktionenAreasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Arkussekans und Arkuskosekans amp oldid 208109807
