Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus sind mathematische Hyperbelfunktionen auch Hyperbelsinus bzw Hyperbelkosinus genannt sie tragen die Symbole sinh displaystyle sinh bzw cosh displaystyle cosh in alteren Quellen auch S i n displaystyle mathfrak Sin und C o s displaystyle mathfrak Cos 1 Die Kurve die ein an zwei Punkten aufgehangtes Seil einheitlicher Langendichte beschreibt ist ein Kosinus hyperbolicus Sein Graph wird deshalb auch als Katenoide Kettenlinie bezeichnet Eine Gerade durch den Nullpunkt schneidet die Hyperbel x 2 y 2 1 displaystyle x 2 y 2 1 im Punkt cosh A sinh A displaystyle cosh A sinh A wobei A displaystyle A fur die Flache zwischen der Geraden ihrem Spiegelbild bezogen auf die x displaystyle x Achse und der Hyperbel steht Siehe auch die animierte Version mit Vergleich zu den Trigonometrischen zirkularen Funktionen Die Hyperbel wird auch als Einheitshyperbel bezeichnet Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 Eigenschaften 2 1 Spezielle Werte 2 2 Uneigentliche Integrale 3 Umkehrfunktionen 4 Ableitungen 5 Stammfunktionen 6 Zusammenhange zwischen den beiden Funktionen und anderen 6 1 Additionstheoreme 6 2 Summenformeln 6 3 Potenzen 7 Reihenentwicklungen 8 Produktentwicklungen 9 Multiplikationsformeln 10 Komplexe Argumente 11 Anwendungen 11 1 Losung einer Differentialgleichung 11 2 Kettenlinie 11 3 Lorentz Transformation 11 4 Kosmologie 11 5 Cardanische Formeln 12 Siehe auch 13 Weblinks 14 EinzelnachweiseDefinitionen BearbeitenSinus hyperbolicussinh x 1 2 e x e x i sin i x displaystyle sinh x frac 1 2 left e x e x right mathrm i sin mathrm i x nbsp Kosinus hyperbolicuscosh x 1 2 e x e x cos i x displaystyle cosh x frac 1 2 left e x e x right cos mathrm i x nbsp Die Funktionen sinh und cosh sind also der ungerade bzw gerade Anteil der Exponentialfunktion exp x cosh x sinh x displaystyle exp x cosh x sinh x nbsp Der Quotient dieser beiden Funktionen wird Tangens hyperbolicus genannt tanh x sinh x cosh x displaystyle tanh x frac sinh x cosh x nbsp Eigenschaften Bearbeiten nbsp Sinus hyperbolicus rot und Kosinus hyperbolicus blau fur reelle x Sinus hyperbolicus Kosinus hyperbolicusDefinitionsbereich lt x lt displaystyle infty lt x lt infty nbsp lt x lt displaystyle infty lt x lt infty nbsp Wertebereich lt f x lt displaystyle infty lt f x lt infty nbsp 1 f x lt displaystyle 1 leq f x lt infty nbsp Periodizitat keine keineMonotonie streng monoton steigend lt x 0 displaystyle infty lt x leq 0 nbsp streng monoton fallend 0 x lt displaystyle 0 leq x lt infty nbsp streng monoton steigendSymmetrien Punktsymmetrie zum Ursprung Achsensymmetrie zur OrdinateAsymptotische Funktionen a 1 x 1 2 e x x displaystyle a 1 x frac 1 2 e x quad x to infty nbsp a 1 x 1 2 e x x displaystyle a 1 x frac 1 2 e x quad x to infty nbsp a 2 x 1 2 e x x displaystyle a 2 x frac 1 2 e x quad x to infty nbsp a 2 x 1 2 e x x displaystyle a 2 x frac 1 2 e x quad x to infty nbsp Nullstellen x 0 displaystyle x 0 nbsp keineSprungstellen keine keinePolstellen keine keineExtrema keine Minimum bei x 0 displaystyle x 0 nbsp Wendestellen x 0 displaystyle x 0 nbsp keineSpezielle Werte Bearbeiten sinh ln F 1 2 displaystyle sinh ln Phi tfrac 1 2 nbsp mit dem goldenen Schnitt F displaystyle Phi nbsp cosh ln F 1 2 5 displaystyle cosh ln Phi tfrac 1 2 sqrt 5 nbsp Uneigentliche Integrale Bearbeiten Fur den Kosinus hyperbolicus gilt insbesondere d x cosh x arctan sinh x x x p displaystyle int limits infty infty frac mathrm d x cosh x biggl arctan bigl sinh x bigr biggr x infty x infty pi nbsp Die in den geschweiften Klammern stehende Funktion wird Gudermannsche Funktion g d x arctan sinh x displaystyle mathrm gd x arctan sinh x nbsp genannt Ausserdem gilt fur die Quadratwurzel d x cosh x 2 a r c s l tanh 1 2 x x x 2 ϖ displaystyle int limits infty infty frac mathrm d x sqrt cosh x biggl 2 mathrm arcsl bigl tanh bigl frac 1 2 x bigr bigr biggr x infty x infty 2 varpi nbsp Die Bezeichnung a r c s l displaystyle mathrm arcsl nbsp steht fur den Lemniskatischen Arkussinus und mit dem Kurzel ϖ displaystyle varpi nbsp wird die Lemniskatische Konstante ausgedruckt Fur den Kehrwert des kardinalisierten Sinus Hyperbolicus gilt folgendes uneigentliches Integral x d x sinh x 2 L i 2 tanh 1 2 x 1 2 L i 2 tanh 1 2 x 2 x x 1 2 p 2 displaystyle int limits infty infty frac x mathrm d x sinh x biggl 2 mathrm Li 2 bigl tanh bigl frac 1 2 x bigr bigr frac 1 2 mathrm Li 2 bigl tanh bigl frac 1 2 x bigr 2 bigr biggr x infty x infty frac 1 2 pi 2 nbsp Die Bezeichnung L i 2 displaystyle mathrm Li 2 nbsp stellt den Dilogarithmus dar Umkehrfunktionen BearbeitenDer Sinus hyperbolicus bildet R displaystyle mathbb R nbsp bijektiv auf R displaystyle mathbb R nbsp ab und hat deshalb eine Umkehrfunktion die man Areasinus hyperbolicus nennt Der Kosinus hyperbolicus bildet das Intervall 0 displaystyle 0 infty nbsp bijektiv auf das Intervall 1 displaystyle 1 infty nbsp und lasst sich eingeschrankt auf 0 displaystyle 0 infty nbsp also invertieren Die Umkehrfunktion davon nennt man Areakosinus hyperbolicusBeide Umkehrfunktionen Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus lassen sich folgendermassen mit Hilfe von elementareren Funktionen berechnen arsinh x ln x x 2 1 displaystyle operatorname arsinh x ln left x sqrt x 2 1 right nbsp arcosh x ln x x 2 1 displaystyle operatorname arcosh x ln left x sqrt x 2 1 right nbsp Ableitungen BearbeitenDie Ableitung des Sinus hyperbolicus ist der Kosinus hyperbolicus und die Ableitung des Kosinus hyperbolicus ist der Sinus hyperbolicus d d x sinh x cosh x d d x cosh x sinh x displaystyle begin aligned frac mathrm d mathrm d x sinh x amp cosh x frac mathrm d mathrm d x cosh x amp sinh x end aligned nbsp Stammfunktionen Bearbeiten sinh x d x cosh x C cosh x d x sinh x C displaystyle begin aligned int sinh x mathrm d x amp cosh x C int cosh x mathrm d x amp sinh x C end aligned nbsp Zusammenhange zwischen den beiden Funktionen und anderen Bearbeitencosh 2 x sinh 2 x 1 displaystyle cosh 2 x sinh 2 x 1 nbsp cosh x sinh x e x displaystyle cosh x sinh x e x nbsp Eulersche Identitat cosh x sinh x e x displaystyle cosh x sinh x e x nbsp cosh a r s i n h x x 2 1 displaystyle cosh rm arsinh x sqrt x 2 1 nbsp sinh a r c o s h x x 2 1 displaystyle sinh rm arcosh x sqrt x 2 1 nbsp Hyperbelgleichung Additionstheoreme Bearbeiten sinh x y sinh x cosh y cosh x sinh y cosh x y cosh x cosh y sinh x sinh y displaystyle begin aligned sinh x pm y amp sinh x cosh y pm cosh x sinh y cosh x pm y amp cosh x cosh y pm sinh x sinh y end aligned nbsp insbesondere gilt fur y x displaystyle y x nbsp sinh 2 x 2 sinh x cosh x cosh 2 x cosh 2 x sinh 2 x 2 cosh 2 x 1 2 sinh 2 x 1 displaystyle begin aligned sinh 2x amp 2 cdot sinh x cosh x cosh 2x amp cosh 2 x sinh 2 x 2 cdot cosh 2 x 1 2 cdot sinh 2 x 1 end aligned nbsp und fur y 2 x displaystyle y 2x nbsp sinh 3 x 4 sinh 3 x 3 sinh x cosh 3 x 4 cosh 3 x 3 cosh x displaystyle begin aligned sinh 3x amp 4 cdot sinh 3 x 3 sinh x cosh 3x amp 4 cdot cosh 3 x 3 cosh x end aligned nbsp Summenformeln Bearbeiten sinh x sinh y 2 sinh x y 2 cosh x y 2 cosh x cosh y 2 cosh x y 2 cosh x y 2 cosh x cosh y 2 sinh x y 2 sinh x y 2 displaystyle begin aligned sinh x pm sinh y amp 2 sinh frac x pm y 2 cosh frac x mp y 2 cosh x cosh y amp 2 cosh frac x y 2 cosh frac x y 2 cosh x cosh y amp 2 sinh frac x y 2 sinh frac x y 2 end aligned nbsp Potenzen Bearbeiten sinh 2 x 1 2 cosh 2 x 1 cosh 2 x 1 2 cosh 2 x 1 displaystyle begin aligned sinh 2 x frac 1 2 Big cosh 2x 1 Big cosh 2 x frac 1 2 Big cosh 2x 1 Big end aligned nbsp Reihenentwicklungen BearbeitenDie Taylorreihe des Sinus hyperbolicus bzw Kosinus hyperbolicus mit dem Entwicklungspunkt x 0 displaystyle x 0 nbsp lautet sinh x n 0 x 2 n 1 2 n 1 x x 3 3 x 5 5 cosh x n 0 x 2 n 2 n 1 x 2 2 x 4 4 displaystyle begin aligned sinh x amp sum n 0 infty frac x 2n 1 2n 1 x frac x 3 3 frac x 5 5 dotsb cosh x amp sum n 0 infty frac x 2n 2n 1 frac x 2 2 frac x 4 4 dotsb end aligned nbsp Produktentwicklungen Bearbeitensinh x x k 1 1 x 2 k p 2 cosh x k 1 1 4 x 2 2 k 1 2 p 2 displaystyle begin aligned amp sinh x x cdot prod k 1 infty left 1 frac x 2 k pi 2 right amp cosh x prod k 1 infty left 1 frac 4x 2 2k 1 2 pi 2 right end aligned nbsp Multiplikationsformeln BearbeitenSei n N displaystyle n in mathbb N nbsp Dann gilt fur alle komplexen z displaystyle z nbsp sinh z 2 i n 1 k 0 n 1 sinh z k p i n cosh z 2 n 1 k 0 n 1 cosh z k n 1 2 p i n displaystyle begin aligned amp sinh z left frac 2 mathrm i right n 1 prod limits k 0 n 1 sinh frac z k pi mathrm i n amp cosh z 2 n 1 prod limits k 0 n 1 cosh frac z left k frac n 1 2 right pi mathrm i n end aligned nbsp Komplexe Argumente BearbeitenMit x y R displaystyle x y in mathbb R nbsp gilt sinh x i y cos y sinh x i sin y cosh x cosh x i y cos y cosh x i sin y sinh x sin x i y sin x cosh y i cos x sinh y cos x i y cos x cosh y i sin x sinh y displaystyle begin aligned sinh x mathrm i y amp cos y sinh x mathrm i sin y cosh x cosh x mathrm i y amp cos y cosh x mathrm i sin y sinh x sin x mathrm i y amp sin x cosh y mathrm i cos x sinh y cos x mathrm i y amp cos x cosh y mathrm i sin x sinh y end aligned nbsp So folgen beispielsweise die dritte und die vierte Gleichung auf folgende Weise Mit z x i y displaystyle z x mathrm i y nbsp giltexp i z cos x i y i sin x i y exp i x i y exp i x exp i i y cos x cos i y sin x sin i y i cos x sin i y sin x cos i y cos x cosh y i sin x sinh y i sin x cosh y i cos x sinh y displaystyle begin aligned exp mathrm i z amp cos x mathrm i y mathrm i sin x mathrm i y amp exp mathrm i x mathrm i y amp exp mathrm i x exp mathrm i mathrm i y amp cos x cos mathrm i y sin x sin mathrm i y mathrm i cos x sin mathrm i y sin x cos mathrm i y amp cos x cosh y mathrm i sin x sinh y mathrm i sin x cosh y mathrm i cos x sinh y end aligned nbsp Durch Koeffizientenvergleich folgt cos x i y cos x cosh y i sin x sinh y sin x i y sin x cosh y i cos x sinh y displaystyle begin aligned cos x mathrm i y amp cos x cosh y mathrm i sin x sinh y sin x mathrm i y amp sin x cosh y mathrm i cos x sinh y end aligned nbsp Anwendungen BearbeitenLosung einer Differentialgleichung Bearbeiten Die Funktion f x a sinh x b cosh x displaystyle f x a cdot sinh x b cdot cosh x nbsp mit a b R displaystyle a b in mathbb R nbsp lost die Differentialgleichung f x f x 0 displaystyle f x f x 0 nbsp Kettenlinie Bearbeiten Ein homogenes Seil das nur aufgrund seiner Eigenlast durchhangt kann durch eine Kosinus hyperbolicus Funktion beschrieben werden Eine derartige Kurve nennt man auch Kettenlinie Kettenkurve oder Katenoide Lorentz Transformation Bearbeiten Mit Hilfe der Rapiditat l displaystyle lambda nbsp kann man die Transformationsmatrix fur eine spezielle Lorentztransformation auch Lorentz Boost in x Richtung folgendermassen darstellen fur Transformationen in andere Richtungen ergeben sich ahnliche Matrizen L cosh l sinh l 0 0 sinh l cosh l 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 displaystyle L begin pmatrix cosh lambda amp sinh lambda amp 0 amp 0 sinh lambda amp cosh lambda amp 0 amp 0 0 amp 0 amp 1 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp 1 end pmatrix nbsp Man sieht eine grosse Ahnlichkeit zu Drehmatrizen man erkennt so also gut die Analogie zwischen speziellen Lorentztransformationen in der vierdimensionalen Raumzeit und Drehungen im dreidimensionalen Raum Kosmologie Bearbeiten Der Sinus hyperbolicus tritt auch in der Kosmologie auf Die zeitliche Entwicklung des Skalenfaktors in einem flachen Universum das im Wesentlichen nur Materie und Dunkle Energie enthalt was ein gutes Modell fur unser tatsachliches Universum ist wird beschrieben durch a t 1 W L 0 W L 0 sinh t t c h 2 3 displaystyle a t left sqrt frac 1 Omega Lambda 0 Omega Lambda 0 sinh left frac t t mathrm ch right right 2 3 nbsp wobei t c h 2 3 W L 0 H 0 displaystyle t mathrm ch frac 2 3 sqrt Omega Lambda 0 H 0 nbsp eine charakteristische Zeitskala ist H 0 displaystyle H 0 nbsp ist dabei der heutige Wert des Hubble Parameters W L 0 displaystyle Omega Lambda 0 nbsp der Dichteparameter fur die Dunkle Energie Die Herleitung dieses Ergebnisses findet man bei den Friedmann Gleichungen Bei der Zeitabhangigkeit des Dichteparameters der Materie tritt dagegen der Kosinus hyperbolicus auf W M t cosh 2 t t c h displaystyle Omega M t cosh 2 left frac t t mathrm ch right nbsp Cardanische Formeln Bearbeiten Die sogenannten Cardanischen Formeln dienen zum Losen von kubischen Gleichungen Diese Formeln wurden nach dem italienischen Mathematiker Gerolamo Cardano benannt Das Verdreifachungstheorem des Sinus Hyperbolicus lautet wie folgt sinh 3 a 4 sinh a 3 3 sinh a displaystyle sinh 3a 4 sinh a 3 3 sinh a nbsp Abgewandelt gilt somit y 4 sinh 1 3 arsinh y 3 3 sinh 1 3 arsinh y displaystyle y 4 sinh bigl tfrac 1 3 operatorname arsinh y bigr 3 3 sinh bigl tfrac 1 3 operatorname arsinh y bigr nbsp Fur den Allgemeinfall der durch kubische Erganzung reduzierten kubischen Gleichung kann mit diesem Theorem aufgelost werden Gegeben ist folgende Formel x 3 r x s displaystyle x 3 rx s nbsp 4 1 2 3 r x 3 3 1 2 3 r x 3 3 s 2 r 3 2 displaystyle 4 Bigl frac 1 2 sqrt frac 3 r x Bigr 3 3 Bigl frac 1 2 sqrt frac 3 r x Bigr frac 3 sqrt 3 s 2 r 3 2 nbsp Substitutiv wird diese nun entstandene Form auf das Verdreifachungstheorem ubertragen 1 2 3 r x sinh 1 3 arsinh 3 3 s 2 r 3 2 displaystyle frac 1 2 sqrt frac 3 r x sinh biggl frac 1 3 operatorname arsinh biggl frac 3 sqrt 3 s 2 r 3 2 biggr biggr nbsp Falls r eine positive Zahl ist gilt somit folgendes Paar aus Gleichung und Losung x 3 r x s displaystyle x 3 rx s nbsp x 2 3 3 r sinh 1 3 arsinh 3 3 s 2 r 3 2 displaystyle x frac 2 3 sqrt 3 r sinh biggl frac 1 3 operatorname arsinh biggl frac 3 sqrt 3 s 2 r 3 2 biggr biggr nbsp So gilt beispielsweise fur den Kehrwert der Supergoldenen Zahl dieser Ausdruck x 3 x 1 displaystyle x 3 x 1 nbsp x 2 3 3 sinh 1 3 arsinh 3 2 3 displaystyle x frac 2 3 sqrt 3 sinh biggl frac 1 3 operatorname arsinh biggl frac 3 2 sqrt 3 biggr biggr nbsp Wenn der Koeffizient des linearen Gliedes von 1 auf 2 abgeandert wird dann entsteht folgende Gleichung mit folgender reeller Losung x 3 2 x 1 displaystyle x 3 2x 1 nbsp x 2 3 6 sinh 1 3 arsinh 3 8 6 displaystyle x frac 2 3 sqrt 6 sinh biggl frac 1 3 operatorname arsinh biggl frac 3 8 sqrt 6 biggr biggr nbsp Auch die quartischen Gleichungen konnen fur den Allgemeinfall vereinfacht mit den Hyperbelfunktionen gelost werden Ebenso soll hierfur ein Beispiel angefuhrt werden x 4 x 1 displaystyle x 4 x 1 nbsp x 1 3 27 4 sinh 1 3 arsinh 3 16 3 1 4 3 4 csch 1 3 arsinh 3 16 3 1 3 3 sinh 1 3 arsinh 3 16 3 displaystyle x tfrac 1 3 sqrt 4 27 sqrt sinh bigl tfrac 1 3 operatorname arsinh tfrac 3 16 sqrt 3 bigr sqrt tfrac 1 4 sqrt 4 3 sqrt text csch bigl tfrac 1 3 operatorname arsinh tfrac 3 16 sqrt 3 bigr tfrac 1 3 sqrt 3 sinh bigl tfrac 1 3 operatorname arsinh tfrac 3 16 sqrt 3 bigr nbsp Im Gegensatz zum Regelfall der Gleichungen dritten Grades und vierten Grades kann der Regelfall der Gleichungen funften Grades nicht elementar dargestellt werden Diese Tatsache wird durch den Satz von Abel Ruffini ausgedruckt und wurde ebenso durch den Mathematiker Evariste Galois erforscht Die Losungen derjenigen quintischen Gleichungen aber welche sehr wohl mit elementaren Wurzelausdrucken gelost werden konnen lassen sich stark vereinfacht mit den Hyperbelfunktionen und ihren Umkehrfunktionen darstellen Im Folgenden sollen hierfur zwei solche qunitischen Gleichungen mit ihren hyperbolisch dargestellten Losungen gezeigt werden Erstes Beispiel x 5 280 x 1344 displaystyle x 5 280x 1344 nbsp x 2 7 4 7 5 1 2 cosh 1 5 arcosh 2 1 4 7 5 3 2 2 2 1 2 7 4 7 5 1 2 sinh 1 5 arsinh 2 1 4 7 5 3 2 2 2 1 displaystyle x 2 7 4 bigl frac 7 5 bigr 1 2 cosh biggl frac 1 5 operatorname arcosh biggl 2 1 4 bigl frac 7 5 bigr 3 2 2 sqrt 2 1 biggr biggr 2 7 4 bigl frac 7 5 bigr 1 2 sinh biggl frac 1 5 operatorname arsinh biggl 2 1 4 bigl frac 7 5 bigr 3 2 2 sqrt 2 1 biggr biggr nbsp Zweites Beispiel x 5 11 x 44 displaystyle x 5 11x 44 nbsp x 2 11 5 3 4 cosh 1 5 arcosh 5 7 4 11 3 2 2 5 3 2 11 5 3 4 sinh 1 5 arsinh 5 7 4 11 3 2 2 5 3 displaystyle x 2 sqrt 11 5 3 4 cosh biggl frac 1 5 operatorname arcosh biggl 5 7 4 11 3 2 2 sqrt 5 3 biggr biggr 2 sqrt 11 5 3 4 sinh biggl frac 1 5 operatorname arsinh biggl 5 7 4 11 3 2 2 sqrt 5 3 biggr biggr nbsp Siehe auch BearbeitenAreasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus Trigonometrische Funktionen Kreis und Hyperbelfunktionen Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Hyperbolic Sine und Hyperbolic Cosine auf MathWorld engl Einzelnachweise Bearbeiten Franz Brzoska Walter Bartsch Mathematische Formelsammlung 2 verbesserte Auflage Fachbuchverlag Leipzig 1956 Trigonometrische Funktion Primare trigonometrische FunktionenSinus und Kosinus Tangens und Kotangens Sekans und Kosekans Umkehrfunktionen Arkusfunktionen Arkussinus und Arkuskosinus Arkustangens und Arkuskotangens Arkussekans und Arkuskosekans HyperbelfunktionenSinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus AreafunktionenAreasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus amp oldid 236812351
