Die Gudermannfunktion benannt nach Christoph Gudermann 1798 1852 stellt eine Verbindung zwischen den trigonometrischen und den hyperbolischen Funktionen her ohne dabei die komplexen Zahlen zu benutzen Dabei ist die Gudermannfunktion eine Zwischenfunktion um fur ein Argument x displaystyle x durch Anwendung auf eine Kreisfunktion eine Exponential bzw eine Hyperbelfunktion zu erhalten Sie wurde erstmals von dem Schweizer Mathematiker Johann Heinrich Lambert um 1760 beschrieben als dieser bei Experimenten mit Kettenbruchen fur den Tangens eine unmittelbare Abhangigkeit der Eulerschen Zahl von der Kreiszahl p displaystyle pi finden wollte Er konnte fur diese von ihm transzendenter Winkel genannte Zwischenfunktion keine nicht triviale analytische Form angeben und auch keinen weiteren Nutzen aufzeigen da sich damit der gesuchte Zusammenhang zwischen p displaystyle pi und e displaystyle e nicht herleiten liess Die Gudermannfunktion im Reellen Inhaltsverzeichnis 1 Die Gudermannfunktion 2 Die inverse Gudermannfunktion 3 Weitere Beziehungen 4 Praktische Anwendung 5 Siehe auch 6 Quellen 7 AnmerkungenDie Gudermannfunktion BearbeitenUm 1830 stiess Christoph Gudermann bei der Untersuchung von elliptischen Integralen zufallig auf einen reellen nicht trivialen Zusammenhang zwischen Kreis und Exponentialfunktionen der sich zudem auf alle Winkelfunktionen anwenden liess Damit konnte Lamberts Zwischenfunktion in analytischer Form dargestellt werden fand aber nur wenig Beachtung und Anerkennung siehe Rezeption des Werks von Christoph Gudermann Die Bezeichnung Gudermannfunktion wurde 1862 von Arthur Cayley eingefuhrt als dieser sich in einem eigenen Werk uber elliptische Integrale auf Gudermanns Vorarbeiten bezog Die Funktion ist fur x R displaystyle x in mathbb R nbsp als Ursprungsstammfunktion des Sekans Hyperbolicus definiert gd x 0 x d t cosh t displaystyle operatorname gd x int 0 x frac mathrm d t cosh t nbsp Mit den Substitutionen gd x f e t s displaystyle operatorname gd x varphi e t s nbsp und daraus folgend mit dem Differential d t e t d s s 1 d s displaystyle mathrm d t e t mathrm d s s 1 mathrm d s nbsp lasst sich das Integral auswerten gd x 0 x d t cosh t 0 x 2 d t e t e t e 0 e x 2 s 1 d s s s 1 1 e x 2 d s s 2 1 2 arctan s 1 e x 2 arctan e x p 2 p 2 2 arctan e x displaystyle begin aligned operatorname gd x amp int 0 x frac mathrm d t cosh t int 0 x frac 2 mathrm d t e t e t int e 0 e x frac 2s 1 mathrm d s s s 1 int 1 e x frac 2 mathrm d s s 2 1 2 arctan s bigg 1 e x amp 2 arctan e x tfrac pi 2 tfrac pi 2 2 arctan e x end aligned nbsp Aus dieser expliziten Formel lasst sich erkennen dass der Wert der Gudermannfunktion einen Winkel f gd x displaystyle varphi operatorname gd x nbsp und das Argument x displaystyle x nbsp einen Skalar fur die Exponentialfunktion darstellt Aufgelost nach der e Funktion ergibt sich ein Ausdruck fur den halben Winkel e x tan p 4 f 2 tan p 4 tan f 2 1 tan p 4 tan f 2 1 tan f 2 1 tan f 2 1 displaystyle e x tan tfrac pi 4 tfrac varphi 2 frac tan tfrac pi 4 tan tfrac varphi 2 1 tan tfrac pi 4 tan tfrac varphi 2 frac 1 tan tfrac varphi 2 1 tan tfrac varphi 2 quad text 1 nbsp und daraus erhalt man eine Beziehung zum halben Argument tan f 2 e x 1 e x 1 e x 2 e x 2 e x 2 e x 2 tanh x 2 2 displaystyle tan tfrac varphi 2 frac e x 1 e x 1 frac e tfrac x 2 e tfrac x 2 e tfrac x 2 e tfrac x 2 tanh tfrac x 2 quad text 2 nbsp Gl 2 fuhrt auf folgende alternative Darstellungen der Gudermannfunktion gd x 2 arctan tanh 1 2 x arcsin tanh x arctan sinh x arccsc coth x sgn x arccos sech x sgn x arcsec cosh x displaystyle begin aligned operatorname gd x amp 2 arctan left tanh left tfrac 1 2 x right right amp arcsin left tanh x right arctan sinh x operatorname arccsc coth x amp operatorname sgn x cdot arccos left operatorname sech x right operatorname sgn x cdot operatorname arcsec cosh x end aligned nbsp Sie entspricht dem Zusammenhang den Lambert untersucht hat tanh x 2 1 i tan i x 2 tan f 2 displaystyle tanh tfrac x 2 tfrac 1 mathrm i tan tfrac mathrm i x 2 tan tfrac varphi 2 nbsp Der Ubergang von halben zu ganzen Winkeln und Argumenten wird durch Einsetzen von Gl 2 in das Additionstheorem fur den Tangens des doppelten Winkels vollzogen tan f tan 2 f 2 2 tan f 2 1 tan 2 f 2 2 tanh x 2 1 tanh 2 x 2 2 sinh x 2 cosh x 2 cosh 2 x 2 sinh 2 x 2 2 sinh x 2 cosh x 2 sinh x Gl 3 displaystyle tan varphi tan tfrac 2 varphi 2 frac 2 tan tfrac varphi 2 1 tan 2 tfrac varphi 2 frac 2 tanh tfrac x 2 1 tanh 2 tfrac x 2 frac 2 sinh tfrac x 2 cosh tfrac x 2 cosh 2 tfrac x 2 sinh 2 tfrac x 2 2 sinh tfrac x 2 cosh tfrac x 2 sinh x quad text Gl 3 nbsp Diese Gleichung ist eine weitere Beziehung zwischen Winkel f displaystyle varphi nbsp und Skalar x displaystyle x nbsp Von besonderem Interesse sind Darstellungen bei denen Tangens oder Tangens Hyperbolikus auftreten da sich deren Umkehrfunktionen besonders leicht mit numerischen Mitteln ausrechnen lassen 1 Somit ist sin f tanh x Gl 4 displaystyle sin varphi tanh x quad text Gl 4 nbsp von den moglichen Alternativdarstellungen die wichtigste Die inverse Gudermannfunktion BearbeitenDie Umkehrfunktion der Gudermannfunktion kann einerseits durch Auflosung einer deren Gleichungen nach x displaystyle x nbsp gewonnen und muss ublicherweise mittels Logarithmus dargestellt werden Sie ist jedoch auch unabhangig von den obigen Gleichungen definiert und deren Herleitung folgt in analoger Weise der Herleitung der Gudermannfunktion allerdings sind fur die Zwischenschritte komplexe Rechnungen notig Fur p 2 lt f lt p 2 displaystyle tfrac pi 2 lt varphi lt tfrac pi 2 nbsp gilt arcgd f gd 1 f 0 f d t cos t 0 f 2 d t e i t e i t ln tan p 4 f 2 ln 1 tan f 2 1 tan f 2 ln cos f 2 sin f 2 cos f 2 sin f 2 ln cot p 4 f 2 nach Gl 1 ln 1 tan f 2 1 tan f 2 2 artanh tan f 2 nach Gl 2 ln cos f 2 sin f 2 2 cos 2 f 2 sin 2 f 2 ln cos 2 f 2 sin 2 f 2 2 cos f 2 sin f 2 1 sin 2 f 2 sin 2 f 2 ln 1 2 cos f 2 sin f 2 1 2 sin 2 f 2 ln 1 sin f cos f ln tan f sec f ln 1 sin f 1 sin 2 f ln 1 sin f 1 sin f 1 2 ln 1 sin f 1 sin f artanh sin f nach Gl 4 arsinh tan f nach Gl 3 arcosh sec f displaystyle begin aligned operatorname arcgd varphi amp operatorname gd 1 varphi int 0 varphi frac mathrm d t cos t int 0 varphi frac 2 mathrm d t e mathrm i t e mathrm i t ldots amp ln tan left tfrac pi 4 tfrac varphi 2 right ln frac 1 tan tfrac varphi 2 1 tan tfrac varphi 2 ln frac cos tfrac varphi 2 sin tfrac varphi 2 cos tfrac varphi 2 sin tfrac varphi 2 amp ln cot left tfrac pi 4 tfrac varphi 2 right quad text nach Gl 1 amp ln frac 1 tan tfrac varphi 2 1 tan tfrac varphi 2 amp 2 operatorname artanh tan tfrac varphi 2 quad text nach Gl 2 amp ln frac left cos tfrac varphi 2 sin tfrac varphi 2 right 2 cos 2 tfrac varphi 2 sin 2 tfrac varphi 2 ln frac cos 2 tfrac varphi 2 sin 2 tfrac varphi 2 2 cos tfrac varphi 2 sin tfrac varphi 2 1 sin 2 tfrac varphi 2 sin 2 tfrac varphi 2 ln frac 1 2 cos tfrac varphi 2 sin tfrac varphi 2 1 2 sin 2 tfrac varphi 2 ln frac 1 sin varphi cos varphi ln tan varphi sec varphi amp ln frac 1 sin varphi sqrt 1 sin 2 varphi ln sqrt frac 1 sin varphi 1 sin varphi frac 1 2 ln frac 1 sin varphi 1 sin varphi amp operatorname artanh sin varphi quad text nach Gl 4 amp operatorname arsinh tan varphi quad text nach Gl 3 amp operatorname arcosh sec varphi end aligned nbsp Fur die numerische Auswertung der inversen Gudermannfunktion ist die Darstellung nach Gl 4 insbesondere fur die mittleren zwei Drittel des Definitionsbereichs geeignet p 3 lt f lt p 3 displaystyle tfrac pi 3 lt varphi lt tfrac pi 3 nbsp An den Randern ist eine Darstellung mit halben Winkeln zu bevorzugen weil diese nicht in den flachen Bereichen der Extrema von Sinus und oder Kosinus arbeiten und deshalb eine hohere numerische Scharfe besitzen Fur die Auswertung der Gudermannfunktion f x gd x displaystyle varphi x operatorname gd x nbsp sind ahnliche Uberlegungen anzustellen Weitere Beziehungen BearbeitenDie Ableitung der Gudermannfunktion und derer Umkehrung sind entsprechend der Integranden ihre Definitionsintegrale d d x gd x sech x cos gd x d d f arcgd f sec f displaystyle begin aligned amp frac mathrm d mathrm d x operatorname gd x operatorname sech x cos operatorname gd x amp frac mathrm d mathrm d varphi operatorname arcgd varphi sec varphi end aligned nbsp Besonders bemerkenswert ist die Identitat fur komplexe Rechnung gd i x i arcgd x displaystyle operatorname gd left mathrm i cdot x right mathrm i cdot operatorname arcgd left x right nbsp Die Verbindung von Kreis und Hyperbelfunktionen ist im Wesentlichen gegeben durch sinh x tan gd x tan f Gl 3 cosh x sec gd x sec f tanh x sin gd x sin f Gl 4 sech x cos gd x cos f csch x cot gd x cot f coth x csc gd x csc f displaystyle begin aligned sinh x amp tan operatorname gd x amp amp tan varphi amp quad amp text Gl 3 cosh x amp sec operatorname gd x amp amp sec varphi tanh x amp sin operatorname gd x amp amp sin varphi amp quad amp text Gl 4 operatorname sech x amp cos operatorname gd x amp amp cos varphi operatorname csch x amp cot operatorname gd x amp amp cot varphi coth x amp csc operatorname gd x amp amp csc varphi end aligned nbsp Folgende Summenreihe gilt fur alle reellen Zahlen x gd x n 1 2 arctan 2 x 4 n 3 p 2 arctan 2 x 4 n 1 p displaystyle operatorname gd x sum n 1 infty biggl 2 arctan biggl frac 2 x 4n 3 pi biggr 2 arctan biggl frac 2 x 4n 1 pi biggr biggr nbsp Sie resultiert durch Bildung der Ursprungsstammfunktion von der Cauchyschen Reihe des Sekans Hyperbolicus sech x n 1 16 n 12 p 4 n 3 2 p 2 4 x 2 16 n 4 p 4 n 1 2 p 2 4 x 2 displaystyle operatorname sech x sum n 1 infty biggl frac 16n 12 pi 4n 3 2 pi 2 4x 2 frac 16n 4 pi 4n 1 2 pi 2 4x 2 biggr nbsp Praktische Anwendung BearbeitenMit den gezeigten Verbindungen von Kreis und Hyperbelfunktionen lassen sich mathematische Ausdrucke gegebenenfalls vereinfachen Wegen ihrer einfachen Ableitungen eignen sich die Gudermannfunktion und ihre Inverse als Substitution fur die Integralrechnung Zu diesem Zweck hat Gudermann sie benutzt Mit der Gudermannfunktion bzw deren Umkehrung wird der Winkel der geographischen Breite f displaystyle varphi nbsp mit der Nord Sud Komponente y N displaystyle y N nbsp der Mercator Projektion verknupft Dabei sind mit dem Erdradius R E displaystyle R E nbsp insbesondere die Gleichungen Gl 2 tan f 2 tanh y N 2 R E Gl 3 tan f sinh y N R E Gl 4 sin f tanh y N R E displaystyle begin aligned text Gl 2 amp quad amp tan tfrac varphi 2 amp tanh tfrac y N 2R E text Gl 3 amp quad amp tan varphi amp sinh tfrac y N R E text Gl 4 amp quad amp sin varphi amp tanh tfrac y N R E end aligned nbsp von Bedeutung Da die lokale Verzerrung der Mercator Projektion mit sec f displaystyle sec varphi nbsp vom Breitengrad abhangt ist der relative Projektionsabstand y N R E displaystyle tfrac y N R E nbsp vom Aquator bis zum Breitengrad f displaystyle varphi nbsp das Integral aller Verzerrungen uber den Kreisbogen Meridianbogen vom Aquator bis f displaystyle varphi nbsp y N f R E 0 f d t cos t artanh sin f arcgd f displaystyle frac y N varphi R E int 0 varphi frac mathrm d t cos t operatorname artanh sin varphi operatorname arcgd varphi nbsp Fur die Auswertung ist eventuell eine Darstellung der inversen Gudermannfunktion fur halbe Winkel zu bevorzugen Siehe auch BearbeitenEinen zur Gudermannfunktion sehr ahnlich sigmoiden Kurvenverlauf zeigt etwa der Tangens hyperbolicus bzw die auf ihm basierende Logistische Funktion 2 Quellen BearbeitenEric W Weisstein Gudermannfunktion In MathWorld englisch Anmerkungen Bearbeiten Die Umkehrfunktion des Tangens lasst sich mittels vereinfachtem Newton Verfahren ohne Divisionen sehr effizient aus Sinus und Cosinus entwickeln und der Area Tangens wird als Logarithmus ausgedruckt Dieser kann als Inverse der e Funktion ebenfalls mittels Newton Verfahren oder noch eleganter und effizienter mit dem kubisch konvergierenden Halley Verfahren berechnet werden Kurvenvergleich Gudermann vs Tangens hyperbolicus normiert auf gd x bei WolframAlpha Abgerufen von 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