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Meridianbogen Als wird eine nord südlich verlaufende Messstrecke auf der Erdoberfläche oder ihr mathematisches Äquivalen

Meridianbogen

Als Meridianbogen wird eine nord-südlich verlaufende Messstrecke auf der Erdoberfläche oder ihr mathematisches Äquivalent auf dem Erdellipsoid bezeichnet (vgl. Meridian).

Erstgenannte Messstrecke kann bei der „Methode der Gradmessung“ zur Bestimmung der mittleren Erdkrümmung und damit des Erdradius dienen. Dazu müssen auch die geografischen Breiten der beiden Streckenendpunkte (φ1, φ2) gemessen werden. Diese Breitenbestimmungen erfolgen astronomisch, indem die Höhenwinkel von Sternen beobachtet werden.

Die Strecke wird nun auf Meeresniveau reduziert und ihre Länge mit dem Unterschied der geografischen Breiten verglichen. Hat der Meridianbogen die Länge B und die Breitendifferenz den Betrag β = |φ1-φ2|, so ergibt sich der lokale Krümmungsradius mit R = B/β. Zusammen mit einem zweiten Meridianbogen kann daraus die Form des Erdellipsoids abgeleitet werden – wie z. B. 1735–1740 bei den berühmten Expeditionen der Pariser Akademie nach Lappland und Peru.

Seit ca. 1900 werden in der Geodäsie jedoch statt der Meridianmethode ausgedehnte Vermessungsnetze verwendet.

Bedeutende Meridianbögen bis 1900 Bearbeiten

Die ersten Meridianbögen der Wissenschaftsgeschichte dienten dem Nachweis der kugelförmigen Erdfigur und ihrer Größe. Nach der Erdmessung des Eratosthenes ist hier die Gradmessung des Kalifen Al-Ma'mun zu erwähnen, ein 2° langer Bogen bei Bagdad, der für den Meridiangrad 122 km ergab (heutiger Wert je nach Breitengrad 111–112 km). Überliefert ist auch die Messung von Fernel 1525 nördlich von Paris mittels Sonnenbeobachtungen und Wagenrad-Umdrehungszählungen. Um 1615 vermaß Willebrord van Roijen Snell einen Meridianbogen zwischen Alkmaar und Bergen-op-Zoom erstmals mit der Triangulation großer Dreiecke. Jean Picard bestimmte 1670 als Erster die Länge des Meridianbogens durch Triangulation mit Quadranten, die Messfernrohre mit Fadenkreuzokularen zum Anvisieren des Gestirns hatten. Damit wurde eine bis dahin nicht mögliche Präzision erreicht.

Als eine merkliche Abweichung von der Kugelform – also die ellipsoidische Erdfigur – zu vermuten war, folgten im 18. und 19. Jahrhundert mehrere bedeutende Gradmessungen, vor allem

Bedeutende Meridianbögen des 20. Jahrhunderts Bearbeiten

Ab etwa 1900 wurden neben astronomischen Breitenmessungen bzw. meridional ausgerichteten Vermessungsnetzen auch Längenbestimmungen (also Ost-West-Profile) gemessen, die ab etwa 1910 allmählich ausgedehnten Flächennetzen wichen – siehe Astro-geodätische Netzausgleichung.

Von den modernen Meridianbögen sind von besonderer Bedeutung:

  • der Meridianbogen von Spitzbergen (gemessen von Russland & Schweden 1898–1902). Mit 4,2° Amplitude (Breitendifferenz) ist er zwar relativ kurz, aber der nördlichste für die Erdmessung nutzbare Bogen
  • der südamerikanische Meridianbogen von Kolumbien durch ganz Ecuador bis zum Norden Perus, die 1899–1906 erfolgte Nachmessung des berühmten französischen Bogens von 1735 bis 1740
  • der westeuropäisch-afrikanische Bogen (Meridian von Paris) von den Shetland-Inseln bis Laghouat bei Algier. Er hat 27° Amplitude und 38 Stationen
  • die nordamerikanische Breitengradmessung im 98°-Meridian von Mexiko bis zum Eismeer (1922)
  • und weitere Meridionalketten der USA sowie der 23° lange, schiefe Bogen entlang der Ostküste
  • die afrikanische Gradmessung im Längengrad 30° Ost, initiiert schon von Sir D. Gill, aber erst 1953 vollendet. Verlauf von Kairo bis Kapstadt, mit 65° Amplitude das längste Messprofil der klassischen Geodäsie.

Mathematische Beschreibung Bearbeiten

Ein Meridianbogen auf einem Rotationsellipsoid hat die genaue Form einer Ellipse. Daher lässt sich seine Länge – gezählt vom Äquator – als elliptisches Integral berechnen und in Form einer Reihe nach Funktionen der geografischen Breite φ darstellen:

Der erste Koeffizient C hängt mit dem mittleren Erdradius zusammen und beträgt für das Bessel-Ellipsoid 111,120 km/Grad. Der zweite Koeffizient D hängt mit der Erdabplattung zusammen und beträgt 15,988 km. Die Werte für andere Ellipsoide unterscheiden sich ab der vierten Stelle.

Die Entwicklung mittels Exzentrizität e2 gibt bereits Jean-Baptiste Joseph Delambre 1799:

Friedrich Robert Helmert benutzte 1880:

Allgemeine Formeln gab Kazushige Kawase 2009:

wobei .

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

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Als Meridianbogen wird eine nord sudlich verlaufende Messstrecke auf der Erdoberflache oder ihr mathematisches Aquivalent auf dem Erdellipsoid bezeichnet vgl Meridian Erstgenannte Messstrecke kann bei der Methode der Gradmessung zur Bestimmung der mittleren Erdkrummung und damit des Erdradius dienen Dazu mussen auch die geografischen Breiten der beiden Streckenendpunkte f1 f2 gemessen werden Diese Breitenbestimmungen erfolgen astronomisch indem die Hohenwinkel von Sternen beobachtet werden Die Strecke wird nun auf Meeresniveau reduziert und ihre Lange mit dem Unterschied der geografischen Breiten verglichen Hat der Meridianbogen die Lange B und die Breitendifferenz den Betrag b f1 f2 so ergibt sich der lokale Krummungsradius mit R B b Zusammen mit einem zweiten Meridianbogen kann daraus die Form des Erdellipsoids abgeleitet werden wie z B 1735 1740 bei den beruhmten Expeditionen der Pariser Akademie nach Lappland und Peru Seit ca 1900 werden in der Geodasie jedoch statt der Meridianmethode ausgedehnte Vermessungsnetze verwendet Inhaltsverzeichnis 1 Bedeutende Meridianbogen bis 1900 2 Bedeutende Meridianbogen des 20 Jahrhunderts 3 Mathematische Beschreibung 4 Siehe auch 5 Literatur 6 WeblinksBedeutende Meridianbogen bis 1900 BearbeitenDie ersten Meridianbogen der Wissenschaftsgeschichte dienten dem Nachweis der kugelformigen Erdfigur und ihrer Grosse Nach der Erdmessung des Eratosthenes ist hier die Gradmessung des Kalifen Al Ma mun zu erwahnen ein 2 langer Bogen bei Bagdad der fur den Meridiangrad 122 km ergab heutiger Wert je nach Breitengrad 111 112 km Uberliefert ist auch die Messung von Fernel 1525 nordlich von Paris mittels Sonnenbeobachtungen und Wagenrad Umdrehungszahlungen Um 1615 vermass Willebrord van Roijen Snell einen Meridianbogen zwischen Alkmaar und Bergen op Zoom erstmals mit der Triangulation grosser Dreiecke Jean Picard bestimmte 1670 als Erster die Lange des Meridianbogens durch Triangulation mit Quadranten die Messfernrohre mit Fadenkreuzokularen zum Anvisieren des Gestirns hatten Damit wurde eine bis dahin nicht mogliche Prazision erreicht Als eine merkliche Abweichung von der Kugelform also die ellipsoidische Erdfigur zu vermuten war folgten im 18 und 19 Jahrhundert mehrere bedeutende Gradmessungen vor allem die franzosische Erdmessung in Lappland und Peru der Meridianbogen Kremsmunster in Oberosterreich weitere Gradbogen in Deutschland Italien und Osterreich Ungarn v a Rom Rimini Roger Boscovich 1751 und Brunn Varasdin Wiener Meridian von Joseph Liesganig 1761 der Delambre Mechain Bogen von Dunkirchen nach Barcelona erstmals uber 1000 km 1792 1798 der Gausssche Bogen Gottingen Altona 1821 1823 erstmals mittels streng mathematischer Ausgleichsrechnung der 2500 km lange Great Arc in Indien 1802 1841 fur die Grosse Trigonometrische Vermessung der 3000 km lange Struve Bogen in Osteuropa 1816 1852 und seine Einbindung in weitere Bogen fur das europaische Bessel Ellipsoid der Meridianbogen Grossenhain Kremsmunster Pola 1880 1910 von Sachsen bis zur Adria und erste Gradmessungen in den USA fur das Hayford Ellipsoid Bedeutende Meridianbogen des 20 Jahrhunderts BearbeitenAb etwa 1900 wurden neben astronomischen Breitenmessungen bzw meridional ausgerichteten Vermessungsnetzen auch Langenbestimmungen also Ost West Profile gemessen die ab etwa 1910 allmahlich ausgedehnten Flachennetzen wichen siehe Astro geodatische Netzausgleichung Von den modernen Meridianbogen sind von besonderer Bedeutung der Meridianbogen von Spitzbergen gemessen von Russland amp Schweden 1898 1902 Mit 4 2 Amplitude Breitendifferenz ist er zwar relativ kurz aber der nordlichste fur die Erdmessung nutzbare Bogen der sudamerikanische Meridianbogen von Kolumbien durch ganz Ecuador bis zum Norden Perus die 1899 1906 erfolgte Nachmessung des beruhmten franzosischen Bogens von 1735 bis 1740 der westeuropaisch afrikanische Bogen Meridian von Paris von den Shetland Inseln bis Laghouat bei Algier Er hat 27 Amplitude und 38 Stationen die nordamerikanische Breitengradmessung im 98 Meridian von Mexiko bis zum Eismeer 1922 und weitere Meridionalketten der USA sowie der 23 lange schiefe Bogen entlang der Ostkuste die afrikanische Gradmessung im Langengrad 30 Ost initiiert schon von Sir D Gill aber erst 1953 vollendet Verlauf von Kairo bis Kapstadt mit 65 Amplitude das langste Messprofil der klassischen Geodasie Mathematische Beschreibung BearbeitenEin Meridianbogen auf einem Rotationsellipsoid hat die genaue Form einer Ellipse Daher lasst sich seine Lange gezahlt vom Aquator als elliptisches Integral berechnen und in Form einer Reihe nach Funktionen der geografischen Breite f darstellen B C f D sin 2 f E sin 4 f F sin 6 f displaystyle B C varphi D sin 2 varphi E sin 4 varphi F sin 6 varphi cdots nbsp usw Der erste Koeffizient C hangt mit dem mittleren Erdradius zusammen und betragt fur das Bessel Ellipsoid 111 120 km Grad Der zweite Koeffizient D hangt mit der Erdabplattung zusammen und betragt 15 988 km Die Werte fur andere Ellipsoide unterscheiden sich ab der vierten Stelle Die Entwicklung mittels Exzentrizitat e2 gibt bereits Jean Baptiste Joseph Delambre 1799 B a 1 e 2 1 3 4 e 2 45 64 e 4 175 256 e 6 11025 16384 e 8 f 1 2 3 4 e 2 15 16 e 4 525 512 e 6 2205 2048 e 8 sin 2 f 1 4 15 64 e 4 105 256 e 6 2205 4096 e 8 sin 4 f 1 6 35 512 e 6 315 2048 e 8 sin 6 f 1 8 315 16384 e 8 sin 8 f displaystyle begin aligned B approx amp a 1 e 2 left left 1 frac 3 4 e 2 frac 45 64 e 4 frac 175 256 e 6 frac 11025 16384 e 8 right varphi right amp frac 1 2 left frac 3 4 e 2 frac 15 16 e 4 frac 525 512 e 6 frac 2205 2048 e 8 right sin 2 varphi amp frac 1 4 left frac 15 64 e 4 frac 105 256 e 6 frac 2205 4096 e 8 right sin 4 varphi amp frac 1 6 left frac 35 512 e 6 frac 315 2048 e 8 right sin 6 varphi amp frac 1 8 left left frac 315 16384 e 8 right sin 8 varphi right end aligned nbsp Friedrich Robert Helmert benutzte n 1 1 e 2 1 1 e 2 e 2 4 displaystyle n frac 1 sqrt 1 e 2 1 sqrt 1 e 2 simeq frac e 2 4 nbsp 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Legendre Memento vom 11 Juli 2012 im Webarchiv archive today De L Imprimerie de Crapelet Paris 1799 S 72 73 F R Helmert Die mathematischen und physikalischen Theorieen der hoheren Geodasie Einleitung und 1 Teil Druck und Verlag von B G Teubner Leipzig 1880 S 46 48 K Kawase A General Formula for Meridional Distance from the Equator to Given Latitude PDF 1 4 MB In Journal of the Geographical Survey Institute 119 2009 S 45 55 ISSN 0430 9081 Japanisch Weblinks BearbeitenOnline Berechnung von Meridianbogenlangen auf verschiedenen geodatischen Referenzellipsoiden Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Meridianbogen amp oldid 236312633