Der Krummungskreis auch Schmiegekreis oder Schmiegkreis genannt zu einem bestimmten Punkt P displaystyle P einer ebenen Kurve ist der Kreis der die Kurve in diesem Punkt am besten annahert Den Mittelpunkt des Krummungskreises nennt man Krummungsmittelpunkt Kurve C mit ortlich variabler Krummung und ihr Krummungskreis zu Punkt PKurve C mit ortlich gleichbleibender Krummung und ihr Krummungskreis im Extremum PSein Radius der Krummungsradius ist der Betrag des Kehrwerts der Krummung der Kurve in P displaystyle P Seine Tangente in diesem Punkt stimmt mit der Tangente der Kurve uberein Da die Krummung einer Kurve im Allgemeinen ortlich variiert schmiegt sich der Krummungskreis meist nur in einer infinitesimal kleinen Umgebung der vorgegebenen Kurve an Er verlauft auf der einen Seite des Beruhrungspunktes innerhalb und auf der anderen Seite ausserhalb der Kurve C displaystyle C er schneidet also die Kurve in einem gewissen Abstand von P displaystyle P Nur wenn die Krummung der Kurve C displaystyle C bei dem vorgegebenen Punkt P displaystyle P ein Extremum hat schmiegt sich der Kreis auf einer langeren Strecke der Kurve an die Kurve an und wechselt nicht die Kurvenseite es gibt dann also keinen Schnittpunkt zwischen Kurve und Krummungskreis Inhaltsverzeichnis 1 Bestimmung 2 Krummungsradius eines Funktionsgraphen 3 Beispiele 3 1 Kreis 3 2 Parabel 3 3 Lissajous Kurve 4 Siehe auch 5 Literatur 6 WeblinksBestimmung BearbeitenDer Mittelpunkt des Krummungskreises ist die Grenzlage des Schnittpunktes der Normalen der Kurve wenn die Kurvenpunkte der Normalen aufeinander zustreben nbsp t1 t2 sind die Tangenten n1 n2 sind die Normalen in den Punkten P1 P2 Die Punkte P1 P2 nahern sich dem Scheitelpunkt S Die Schnittpunkte K1 K2 nahern sich dem Krummungsmittelpunkt KIst die Kurve in der Parameterdarstellung x t x 1 t x 2 t displaystyle vec x t begin pmatrix x 1 t x 2 t end pmatrix nbsp gegeben so ist sein Radius der Krummungsradius gegeben durch 1 r x 1 t 2 x 2 t 2 3 2 x 1 t x 2 t x 1 t x 2 t displaystyle displaystyle r left frac Big x 1 t 2 x 2 t 2 Big frac 3 2 x 1 t cdot x 2 t x 1 t cdot x 2 t right nbsp Der Mittelpunkt K K x K y displaystyle K K x K y nbsp des Krummungskreises hat dann die Koordinaten x t r x t 1 x 2 t x 1 t displaystyle vec x t r cdot vec x t 1 begin pmatrix x 2 t x 1 t end pmatrix nbsp Dabei muss der Betrag des Radius zur Bestimmung des Mittelpunktes weggelassen werden damit der Krummungskreis auf der richtigen Seite der Kurve liegt d h 2 K x x 1 t x 2 t x 1 t 2 x 2 t 2 x 1 t x 2 t x 1 t x 2 t displaystyle displaystyle K x x 1 t frac x 2 t cdot Big x 1 t 2 x 2 t 2 Big x 1 t cdot x 2 t x 1 t cdot x 2 t nbsp und 3 K y x 2 t x 1 t x 1 t 2 x 2 t 2 x 1 t x 2 t x 1 t x 2 t displaystyle displaystyle K y x 2 t frac x 1 t cdot Big x 1 t 2 x 2 t 2 Big x 1 t cdot x 2 t x 1 t cdot x 2 t nbsp Der Weg den die Krummungskreismittelpunkte beschreiben bezeichnet man als Evolute der Kurve Krummungsradius eines Funktionsgraphen BearbeitenAuch fur den Graphen einer Funktion f displaystyle f nbsp lasst sich ein Krummungsradius angeben Unter der Krummung der Funktion f displaystyle f nbsp an der Stelle x 1 x P displaystyle x 1 x P nbsp versteht man die Krummung des Graphen der Funktion im Punkte x P f x P displaystyle Big x P f x P Big nbsp Mit der Transformation x 1 t displaystyle x 1 rightarrow t nbsp und f x 1 f t displaystyle f x 1 rightarrow f t nbsp wird die Funktion f displaystyle f nbsp in eine Parameterdarstellung uberfuhrt und es ist x t t f t displaystyle vec x t begin pmatrix t f t end pmatrix nbsp Die Ableitungen lauten x t 1 f t displaystyle vec x t begin pmatrix 1 f t end pmatrix nbsp und x t 0 f t displaystyle displaystyle vec x t begin pmatrix 0 f t end pmatrix nbsp Damit gilt fur den Krummungsradius r x P displaystyle r x P nbsp eines Funktionsgraphen an der Stelle x P displaystyle x P nbsp nach Einsetzen in 1 4 r x P 1 f x P 2 3 2 f x P displaystyle displaystyle r x P left frac big 1 f x P 2 big frac 3 2 f x P right nbsp Fur den Mittelpunkt K x K y displaystyle K x K y nbsp des Krummungskreises ergibt sich 5 K x x P f x P 1 f x P 2 f x P displaystyle displaystyle K x x P frac f x P 1 f x P 2 f x P nbsp 6 K y y P 1 f x P 2 f x P displaystyle displaystyle K y y P frac 1 f x P 2 f x P nbsp Beispiele BearbeitenKreis Bearbeiten nbsp Animation der Krummung bei einem Kreis vom Radius 2 im Uhrzeigersinn durchlaufenDie Parameterdarstellung eines Kreises lautet x t cos t sin t displaystyle vec x t begin pmatrix cos t sin t end pmatrix nbsp Die Ableitungen betragen d d t cos t sin t displaystyle frac mathrm d mathrm d t cos t sin t nbsp d 2 d t 2 cos t cos t displaystyle frac mathrm d 2 mathrm d t 2 cos t cos t nbsp d d t sin t cos t displaystyle frac mathrm d mathrm d t sin t cos t nbsp d 2 d t 2 sin t sin t displaystyle frac mathrm d 2 mathrm d t 2 sin t sin t nbsp Eingesetzt in 1 folgt fur den Krummungsradius eines Einheits Kreises mit dem Radius von Eins Der Krummungsradius eines Kreises ist konstant und ist so gross wie sein Radius r 1 Die nebenstehende Animation zeigt den Kreis vom Radius 2 mit konstanter Geschwindigkeit 1 im Uhrzeigersinn durchlaufen Er hat Parameterdarstellung x t 2 cos t 2 2 sin t 2 displaystyle vec x t begin pmatrix 2 cdot cos t 2 2 cdot sin t 2 end pmatrix nbsp und konstante Krummung gleich 1 2 displaystyle tfrac 1 2 nbsp Sein Krummungsradius ist konstant gleich 2 das heisst gleich seinem Radius Der Beschleunigungsvektor in dieser Animation ist die zweite Ableitung d 2 x d t 2 displaystyle tfrac mathrm d 2 vec x mathrm d t 2 nbsp Parabel Bearbeiten nbsp Der Krummungskreis einer Normalparabel in ihrem Scheitelpunkt hat den Radius 0 5Fur die Normalparabel f x x 2 displaystyle f x x 2 nbsp gilt f x 2 x displaystyle f x 2 cdot x nbsp f x 2 displaystyle f x 2 nbsp Setzt man in 4 ein folgt fur den Krummungsradius r x 1 4 x 2 3 2 2 displaystyle r x left frac left 1 4 cdot x 2 right frac 3 2 2 right nbsp An der Stelle x 0 betragt der Krummungsradius r 0 5 siehe Abbildung Fur grosse x wachst der Krummungsradius x3 die Kurve wird immer gerader Lissajous Kurve Bearbeiten nbsp Animation des Krummungs kreises bei einer Lissajous KurveDie Parameterdarstellung einer Lissajous Kurve mit Frequenzverhaltnis 2 3 lautet x t cos 3 t sin 2 t displaystyle vec x t begin pmatrix cos 3t sin 2t end pmatrix nbsp Die ersten Ableitungen betragen d x t d t 3 sin 3 t 2 cos 2 t displaystyle frac mathrm d vec x t mathrm d t begin pmatrix 3 sin 3t 2 cos 2t end pmatrix nbsp Die zweiten Ableitungen betragen d 2 x t d t 2 9 cos 3 t 4 sin 2 t displaystyle frac mathrm d 2 vec x t mathrm d t 2 begin pmatrix 9 cos 3t 4 sin 2t end pmatrix nbsp Setzt man dies in 1 ein und benutzt die Additionstheoreme fur Sinus und Kosinus so folgt fur den Krummungsradius dieser Lissajous Kurve r t 232 cos t 4 97 cos t 2 13 144 cos t 6 3 2 6 cos t 8 cos t 4 10 cos t 2 5 displaystyle r t frac 232 cos t 4 97 cos t 2 13 144 cos t 6 3 2 6 cos t 8 cos t 4 10 cos t 2 5 nbsp Die Abbildung zeigt eine Animation des Krummungskreises Der Beschleunigungsvektor in dieser Abbildung ist die zweite Ableitung d 2 x d s 2 displaystyle tfrac mathrm d 2 vec x mathrm d s 2 nbsp von x displaystyle vec x nbsp nach der Bogenlange s displaystyle s nbsp Siehe auch BearbeitenKlothoide Krummungsradius ist umgekehrt proportional zur Kurvenlange Schmiegkugel eine Verallgemeinerung auf RaumkurvenLiteratur BearbeitenChristian Blatter Analysis 2 Springer 1974 S 90 93Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Grafische Illustrationen des Krummungskreises von Kurven Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Animierte Illustrationen des Krummungskreises selbst erstellen Maple Worksheet Krummungsradius und Krummungskreis allgemeine Darstellung mit Animation einer Bewegung eines Punktes Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Krummungskreis amp oldid 230702640
