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Lissajous Figur en sind Kurvengraphen die durch die überlagerung zweier harmonischer rechtwinklig zueinander stehender S

Lissajous-Figur

Lissajous-Figuren sind Kurvengraphen, die durch die Überlagerung zweier harmonischer, rechtwinklig zueinander stehender Schwingungen verschiedener Frequenz entstehen. Sie sind benannt nach dem französischen Physiker Jules Antoine Lissajous (1822–1880). Später spielten sie zum Beispiel bei der Ausbildung zum tieferen Verständnis von Wechselströmen mit Hilfe des Oszilloskops eine Rolle.

Lissajous-Figur auf einem Oszilloskop
Lissajous-Figuren, erzeugt von einem an einem Seil pendelnden Behälter, aus dem Sand rieselt (Harmonograph)
Eine Lissajous-Figur, die von einem Pendelgewicht auf Sand erzeugt wird.

Sie werden oft für ästhetische Zwecke verwendet. Einen besonders faszinierenden Anblick bietet die Kurve bei geringfügiger Abweichung zwischen den Schwingungsfrequenzen, weil durch die langsam rotierende Figur ein 3D-Eindruck entsteht. Lissajous-Figuren lassen sich auf mechanische Weise mit einem Harmonographen darstellen.

Mathematische Beschreibung Bearbeiten

Mathematisch handelt es sich um parametrische Schaubilder von Funktionen der Form

Eine solche Funktion ist genau dann periodisch, wenn das Frequenzverhältnis

rational ist, sich also in einen ganzzahligen Bruch umwandeln lässt. In diesem Falle erhält man eine geschlossene Figur. Andernfalls ist die Kurve nicht periodisch und liegt dicht im Rechteck .

Anmerkung: Das Bild oben zeigt die Darstellung ähnlich einem Oszilloskop. Dort führt eine fehlende Abstimmung der beiden Schwingungen nicht zu einem ausgefüllten Rechteck, da bedingt durch das zeitlich begrenzte Nachleuchten der Bildröhre immer nur ein Teil des Kurvenverlaufs abgebildet wird.

Die Amplituden Ax und Ay skalieren die Figuren lediglich horizontal beziehungsweise vertikal. Das Erscheinungsbild der Graphen hängt vor allem vom Frequenzverhältnis v und der Phase φ ab. Hat v den Wert 1, ergibt Δφ = φ1 - φ2 die Phasenverschiebung zwischen den Schwingungen. Ist v eine rationale Zahl ungleich 1, erfolgt die Angabe Δφ gewöhnlich für die minimale Phasendifferenz. Des Weiteren ist es erforderlich, für welche Schwingung die Angabe erfolgt.

Die Abschnitte Abbildungen für Frequenzverhältnis 1:n und n:1 und Abbildungen für Frequenzverhältnis n1:n2 zeigen Lissajous-Figuren für verschiedene Frequenzverhältnisse und Phasendifferenz, der darauf folgende Abschnitt Lissajous-Figuren im Oszilloskop und danach erläutert Methoden zur messtechnischen Ermittlung der Figuren.

Abbildungen Bearbeiten

Animation für Lissajous-Figuren mit (Spalten) und (Zeilen)
Die Animation zeigt Lissajous-Figuren für .

Frequenzverhältnis 1:n und n:1 Bearbeiten

Die Phasendifferenz Δφ bezieht sich in den folgenden Abbildungen immer auf die größere Frequenz. Ist die Frequenz auf der horizontalen Achse höher, entsteht bei nicht vollständig abgeglichener Frequenz der Eindruck einer Drehung um die senkrechte Achse und im umgekehrten Fall um die waagrechte Achse.

Δφ 1:1 1:2 1:3 2:1
0

¹/₄·π

¹/₂·π

³/₄·π

1·π

1¹/₄·π

1¹/₂·π

1³/₄·π

2·π

Frequenzverhältnis n1:n2 Bearbeiten

Für Verhältnisangaben, bei denen weder der Zähler noch Nenner den Wert 1 tragen, erreicht Δφ nicht den Maximalwert 2·π, die Wiederholung des Kurvenmusters fängt bereits vorher an. Dieser Effekt entsteht, da zur Bildung der Figur eine Anzahl von n1 Schwingungen des ersten Signals und n2 Schwingungen des zweiten Signals erforderlich sind. Entsprechend gilt es mehr Nulldurchgänge für die Ermittlung der maximalen Phasendifferenz zu berücksichtigen.

Δφ 2:3 Δφ 3:4
0 0
¹/₂·¹/₄·π ¹/₃·¹/₄·π
¹/₂·¹/₂·π ¹/₃·¹/₂·π
¹/₂·³/₄·π ¹/₃·³/₄·π
¹/₂·π ¹/₃·π
5/8·π 5/12·π
³/₄·π ¹/₂·π
7/8·π 7/12·π
1·π ²/₃·π

Lissajous-Figuren im Oszilloskop Bearbeiten

Diese Animation zeigt eine Lissajous-Figur, wie sie ein Oszilloskop bei einem Frequenz-Verhältnis von nicht genau 2:3 anzeigen würde

Bei der Arbeit mit dem Oszilloskop erhält man Lissajous-Figuren, wenn man bei abgeschalteter Zeitablenkung sowohl an den Eingang für die y- als auch für die x-Ablenkung eine harmonische Wechselspannung anlegt.

Die Form der Figuren erlaubt genaue Rückschlüsse auf Frequenz und Phasenlage der beiden Spannungen. Bei gleichen Frequenzen (bspw.: v = 1:1) kann man an der elliptischen Figur die Phasendifferenz ablesen. Bei zwei fast gleichen Frequenzen (oder einem Frequenzverhältnis, das sehr nahe an einem der einfachen rationalen Verhältnisse liegt) zeigt der Schirm des Oszilloskops eine zwar geschlossene, aber sich zeitlich verändernde Figur. So kann man mit hoher Empfindlichkeit kleine Frequenzunterschiede messen.

Deshalb waren Lissajous-Figuren beispielsweise in der Werkstatt von Fernseh- und Röhrentechnikern ein alltägliches Bild. Andererseits wirken sie in ihrer Vielfalt besonders (aber nicht nur) auf den technischen Laien äußerst faszinierend, gerade in der leicht animierten Form. Deshalb wurden in Filmkunst und Fernsehen auch häufig Monitore im Bühnenbild mit Lissajous-Figuren dekoriert, wenn eine Umgebung sehr modern oder futuristisch wirken sollte, etwa in Science-Fiction-Filmen und -Serien.

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Commons: Lissajous-Figuren – Sammlung von Bildern und Videos
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Veröffentlichungsdatum:
Lissajous Figuren sind Kurvengraphen die durch die Uberlagerung zweier harmonischer rechtwinklig zueinander stehender Schwingungen verschiedener Frequenz entstehen Sie sind benannt nach dem franzosischen Physiker Jules Antoine Lissajous 1822 1880 Spater spielten sie zum Beispiel bei der Ausbildung zum tieferen Verstandnis von Wechselstromen mit Hilfe des Oszilloskops eine Rolle Lissajous Figur auf einem OszilloskopLissajous Figuren erzeugt von einem an einem Seil pendelnden Behalter aus dem Sand rieselt Harmonograph Eine Lissajous Figur die von einem Pendelgewicht auf Sand erzeugt wird Sie werden oft fur asthetische Zwecke verwendet Einen besonders faszinierenden Anblick bietet die Kurve bei geringfugiger Abweichung zwischen den Schwingungsfrequenzen weil durch die langsam rotierende Figur ein 3D Eindruck entsteht Lissajous Figuren lassen sich auf mechanische Weise mit einem Harmonographen darstellen Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Beschreibung 2 Abbildungen 2 1 Frequenzverhaltnis 1 n und n 1 2 2 Frequenzverhaltnis n1 n2 3 Lissajous Figuren im Oszilloskop 4 Siehe auch 5 WeblinksMathematische Beschreibung BearbeitenMathematisch handelt es sich um parametrische Schaubilder von Funktionen der Form t A x sin w 1 t ϕ 1 A y sin w 2 t ϕ 2 t 0 displaystyle t mapsto left begin matrix A x sin omega 1 t phi 1 A y sin omega 2 t phi 2 end matrix right quad quad quad quad quad t in 0 infty nbsp Eine solche Funktion ist genau dann periodisch wenn das Frequenzverhaltnis v w 1 w 2 n 1 n 2 displaystyle v frac omega 1 omega 2 frac n 1 n 2 nbsp rational ist sich also in einen ganzzahligen Bruch umwandeln lasst In diesem Falle erhalt man eine geschlossene Figur Andernfalls ist die Kurve nicht periodisch und liegt dicht im Rechteck A x A x A y A y displaystyle A x A x times A y A y nbsp Anmerkung Das Bild oben zeigt die Darstellung ahnlich einem Oszilloskop Dort fuhrt eine fehlende Abstimmung der beiden Schwingungen nicht zu einem ausgefullten Rechteck da bedingt durch das zeitlich begrenzte Nachleuchten der Bildrohre immer nur ein Teil des Kurvenverlaufs abgebildet wird Die Amplituden Ax und Ay skalieren die Figuren lediglich horizontal beziehungsweise vertikal Das Erscheinungsbild der Graphen hangt vor allem vom Frequenzverhaltnis v und der Phase f ab Hat v den Wert 1 ergibt Df f1 f2 die Phasenverschiebung zwischen den Schwingungen Ist v eine rationale Zahl ungleich 1 erfolgt die Angabe Df gewohnlich fur die minimale Phasendifferenz Des Weiteren ist es erforderlich fur welche Schwingung die Angabe erfolgt Die Abschnitte Abbildungen fur Frequenzverhaltnis 1 n und n 1 und Abbildungen fur Frequenzverhaltnis n1 n2 zeigen Lissajous Figuren fur verschiedene Frequenzverhaltnisse und Phasendifferenz der darauf folgende Abschnitt Lissajous Figuren im Oszilloskop und danach erlautert Methoden zur messtechnischen Ermittlung der Figuren Abbildungen Bearbeiten nbsp Animation fur Lissajous Figuren mit w 1 1 2 3 4 displaystyle omega 1 1 2 3 4 nbsp Spalten undw 2 1 2 3 4 displaystyle omega 2 1 2 3 4 nbsp Zeilen nbsp Die Animation zeigt Lissajous Figuren fur 0 v w 1 w 2 lt 1 displaystyle 0 leq v tfrac omega 1 omega 2 lt 1 nbsp Frequenzverhaltnis 1 n und n 1 Bearbeiten Die Phasendifferenz Df bezieht sich in den folgenden Abbildungen immer auf die grossere Frequenz Ist die Frequenz auf der horizontalen Achse hoher entsteht bei nicht vollstandig abgeglichener Frequenz der Eindruck einer Drehung um die senkrechte Achse und im umgekehrten Fall um die waagrechte Achse Df 1 1 1 2 1 3 2 10 nbsp nbsp nbsp nbsp p nbsp nbsp nbsp nbsp p nbsp nbsp nbsp nbsp p nbsp nbsp nbsp nbsp 1 p nbsp nbsp nbsp nbsp 1 p nbsp nbsp nbsp nbsp 1 p nbsp nbsp nbsp nbsp 1 p nbsp nbsp nbsp nbsp 2 p nbsp nbsp nbsp nbsp Frequenzverhaltnis n1 n2 Bearbeiten Fur Verhaltnisangaben bei denen weder der Zahler noch Nenner den Wert 1 tragen erreicht Df nicht den Maximalwert 2 p die Wiederholung des Kurvenmusters fangt bereits vorher an Dieser Effekt entsteht da zur Bildung der Figur eine Anzahl von n1 Schwingungen des ersten Signals und n2 Schwingungen des zweiten Signals erforderlich sind Entsprechend gilt es mehr Nulldurchgange fur die Ermittlung der maximalen Phasendifferenz zu berucksichtigen Df 2 3 Df 3 40 nbsp 0 nbsp p nbsp p nbsp p nbsp p nbsp p nbsp p nbsp p nbsp p nbsp 5 8 p nbsp 5 12 p nbsp p nbsp p nbsp 7 8 p nbsp 7 12 p nbsp 1 p nbsp p nbsp Lissajous Figuren im Oszilloskop Bearbeiten nbsp Diese Animation zeigt eine Lissajous Figur wie sie ein Oszilloskop bei einem Frequenz Verhaltnis von nicht genau 2 3 anzeigen wurdeBei der Arbeit mit dem Oszilloskop erhalt man Lissajous Figuren wenn man bei abgeschalteter Zeitablenkung sowohl an den Eingang fur die y als auch fur die x Ablenkung eine harmonische Wechselspannung anlegt Die Form der Figuren erlaubt genaue Ruckschlusse auf Frequenz und Phasenlage der beiden Spannungen Bei gleichen Frequenzen bspw v 1 1 kann man an der elliptischen Figur die Phasendifferenz ablesen Bei zwei fast gleichen Frequenzen oder einem Frequenzverhaltnis das sehr nahe an einem der einfachen rationalen Verhaltnisse liegt zeigt der Schirm des Oszilloskops eine zwar geschlossene aber sich zeitlich verandernde Figur So kann man mit hoher Empfindlichkeit kleine Frequenzunterschiede messen Deshalb waren Lissajous Figuren beispielsweise in der Werkstatt von Fernseh und Rohrentechnikern ein alltagliches Bild Andererseits wirken sie in ihrer Vielfalt besonders aber nicht nur auf den technischen Laien ausserst faszinierend gerade in der leicht animierten Form Deshalb wurden in Filmkunst und Fernsehen auch haufig Monitore im Buhnenbild mit Lissajous Figuren dekoriert wenn eine Umgebung sehr modern oder futuristisch wirken sollte etwa in Science Fiction Filmen und Serien Siehe auch BearbeitenHarmonographWeblinks Bearbeiten nbsp Commons Lissajous Figuren Sammlung von Bildern und Videos Lissajous figures Animation mit GeoGebra Dreidimensionale Lissajous Figuren Lissajous Figuren zum Selbstbearbeiten Simulation zu musikalischen 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