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Exzentrizität Mathematik Der Ausdruck Exzentrizität hat in der Mathematik zwei verwandte Bedeutungen im Zusammenhang mit

Exzentrizität (Mathematik)

Der Ausdruck Exzentrizität hat in der Mathematik zwei verwandte Bedeutungen im Zusammenhang mit nicht ausgearteten Kegelschnitten (Ellipsen, Hyperbeln, Parabeln):

Ellipse mit Bezeichnungen
Hyperbel mit Bezeichnungen
Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel mit numerischer Exzentrizität und gleichem Halbparameter (= Radius des Kreises)
  • Die lineare Exzentrizität ist bei einer Ellipse bzw. Hyperbel der Abstand eines Brennpunkts zum Mittelpunkt und wird mit bezeichnet (s. Bild). Sie hat die Dimension einer Länge. Da ein Kreis eine Ellipse mit zusammenfallenden Brennpunkten ist , gilt für den Kreis .
  • Die numerische Exzentrizität ist für Ellipsen und Hyperbeln das Verhältnis der linearen Exzentrizität zur großen Halbachse und damit eine dimensionslose Zahl.
Die Bedeutung der numerischen Exzentrizität ergibt sich aus dem Umstand, dass Ellipsen bzw. Hyperbeln genau dann ähnlich sind, wenn sie dieselbe numerische Exzentrizität aufweisen. Parabeln () sind immer ähnlich.

Bei Ellipsen und Hyperbeln wird der Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt auch Brennweite genannt. Bei einer Parabel hingegen wird der Abstand des Brennpunkts vom Scheitel als Brennweite bezeichnet.

In der Astronomie wird meist nur die numerische Exzentrizität verwendet und einfach Exzentrizität genannt, dabei aber abweichend von der Notation in der Mathematik oft mit bezeichnet.

Mathematische Behandlung Bearbeiten

Ellipse mit Leitlinien
Zur Definition der numerischen Exzentrizität am Kegel

Mit Exzentrizität beschrieb man zunächst die Abweichung einer Ellipse von der Kreisform. Als Maß für diese Abweichung verwendete man den Abstand eines Brennpunkts zum Mittelpunkt (siehe 1. Bild). Für erhält man einen Kreis. Da eine Hyperbel auch einen Mittelpunkt und Brennpunkte besitzt, wurde die Bezeichnung auf den Hyperbelfall ausgedehnt, obwohl man hier nicht von der Nähe einer Hyperbel zu einem Kreis sprechen kann. Eine Parabel besitzt keinen Mittelpunkt und damit zunächst auch keine Exzentrizität.

Eine weitere Möglichkeit, die Abweichung einer Ellipse von der Kreisform zu beschreiben, ist das Verhältnis . Es ist . Auch hier erhält man für einen Kreis. Im Fall ist der Parameter auch das zur Leitliniendefinition einer Ellipse verwandte Verhältnis zwischen dem Abstand eines Ellipsenpunkts zum Brennpunkt und dem Abstand zu einer Leitlinie (siehe 4. Bild). (Ein Kreis lässt sich nicht mithilfe einer Leitlinie definieren.) Lässt man bei der Leitliniendefinition für auch Werte gleich oder größer 1 zu, erhält man als Kurve eine Parabel, falls das Verhältnis ist, und Hyperbeln im Fall . Der Parameter erlaubt es also, Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln mit einem gemeinsamen Scharparameter zu beschreiben. Zum Beispiel beschreibt die Gleichung

alle Ellipsen (incl. Kreis), die Parabel und alle Hyperbeln, die den Nullpunkt als gemeinsamen Scheitel, die x-Achse als gemeinsame Achse und denselben Halbparameter (siehe 1. und 2. Bild) haben. ( ist auch der gemeinsame Krümmungskreisradius im gemeinsamen Scheitel, s. Ellipse, Parabel, Hyperbel).

  • Der Parameter existiert nur im Falle von Ellipsen und Hyperbeln und heißt lineare Exzentrizität. ist eine Länge.
  • Der Parameter existiert für Ellipsen, Hyperbeln und Parabeln und heißt numerische Exzentrizität. ist das Verhältnis zweier Längen, ist also dimensionslos.

Fasst man eine Ellipse/Parabel/Hyperbel als ebenen Schnitt eines senkrechten Kreiskegels auf, lässt sich die numerische Exzentrizität durch

ausdrücken. Dabei ist der Neigungswinkel einer Kegelerzeugenden und der Neigungswinkel der schneidenden Ebene (s. Bild). Für ergeben sich Kreise und für Parabeln. (Die Ebene darf die Kegelspitze nicht enthalten.)

Siehe auch Bearbeiten

Ein verwandter Begriff ist die Parzentrizität in der Optik.

Literatur Bearbeiten

  • Kleine Enzyklopädie Mathematik. Verlag Harri Deutsch, 1977, ISBN 3-87144-323-9, S. 192, 195, 328, 330.
  • Ayoub B. Ayoub: The Eccentricity of a Conic Section. In: The College Mathematics Journal, Vol. 34, No. 2 (März 2003), S. 116–121 (JSTOR:3595784).
  • Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementary Geometry. AMS, 2008, ISBN 978-0-8218-9067-7, S. 63–70 (Auszug (Google)).
  • Hans-Jochen Bartsch: Taschenbuch mathematischer Formeln für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Hanser, 2014, ISBN 978-3-446-43735-7, S. 287–289 (Auszug (Google)).

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Jacob Steiner’s Vorlesungen über synthetische Geometrie. B. G. Teubner, Leipzig 1867 (bei Google Books: books.google.de).
  2. Graf, Barner: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer-Verlag, 1973, S. 169–173.
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Der Ausdruck Exzentrizitat hat in der Mathematik zwei verwandte Bedeutungen im Zusammenhang mit nicht ausgearteten Kegelschnitten Ellipsen Hyperbeln Parabeln Ellipse mit BezeichnungenHyperbel mit Bezeichnungen Kreis Ellipse Parabel und Hyperbel mit numerischer Exzentrizitat und gleichem Halbparameter Radius des Kreises Die lineare Exzentrizitat ist bei einer Ellipse bzw Hyperbel der Abstand eines Brennpunkts zum Mittelpunkt und wird mit e displaystyle e bezeichnet s Bild Sie hat die Dimension einer Lange Da ein Kreis eine Ellipse mit zusammenfallenden Brennpunkten ist F 1 F 2 M displaystyle F 1 F 2 M gilt fur den Kreis e 0 displaystyle e 0 Die numerische Exzentrizitat e displaystyle varepsilon ist fur Ellipsen und Hyperbeln das Verhaltnis e a displaystyle e a der linearen Exzentrizitat zur grossen Halbachse und damit eine dimensionslose Zahl Fur eine Ellipse gilt 0 e lt 1 displaystyle 0 leq varepsilon lt 1 Im Fall e 0 displaystyle varepsilon 0 ist die Ellipse ein Kreis Die numerische 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nur die numerische Exzentrizitat verwendet und einfach Exzentrizitat genannt dabei aber abweichend von der Notation in der Mathematik oft mit e displaystyle e bezeichnet Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Behandlung 2 Siehe auch 3 Literatur 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseMathematische Behandlung Bearbeiten nbsp Ellipse mit Leitlinien nbsp Zur Definition der numerischen Exzentrizitat am KegelMit Exzentrizitat beschrieb man zunachst die Abweichung einer Ellipse von der Kreisform 1 Als Mass fur diese Abweichung verwendete man den Abstand e displaystyle e nbsp eines Brennpunkts zum Mittelpunkt siehe 1 Bild Fur e 0 displaystyle e 0 nbsp erhalt man einen Kreis Da eine Hyperbel auch einen Mittelpunkt und Brennpunkte besitzt wurde die Bezeichnung auf den Hyperbelfall ausgedehnt obwohl man hier nicht von der Nahe einer Hyperbel zu einem Kreis sprechen kann Eine Parabel besitzt keinen Mittelpunkt und damit zunachst auch keine Exzentrizitat Eine weitere Moglichkeit die Abweichung einer Ellipse von 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