Hauptartikel Trigonometrische Funktion Hauptartikel Hyperbelfunktion Sowohl die Winkelfunktionen z B Sinus Kosinus als auch die Hyperbelfunktionen Sinus hyperbolicus Kosinus hyperbolicus Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus sind mathematische Funktionen die sowohl fur alle reellen als auch komplexen Zahlen definiert sind In diesem Artikel werden nur die Sinus und Kosinus Funktionen detailliert behandelt Die Tangens Kotangens Sekans und Kosekans Funktionen sowie ihre analogen Hyperbelfunktionen ahneln diesen in ihren Definitionen und Eigenschaften Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 1 1 Definition uber die Exponentialfunktion 1 1 1 Herleitung 1 2 Definition uber Reihenentwicklung 2 Eigenschaften der Funktionen 2 1 Kreis und Hyperbel 2 2 Umwandlung zwischen Kreis und Hyperbelfunktionen 2 3 Ableitungen 2 4 Additionstheoreme Goniometrische Beziehungen 3 QuellenDefinitionen BearbeitenBeide Gruppen von Funktionen lassen sich unter anderem durch die Exponentialfunktion oder ihre Taylorreihenentwicklung definieren Die ahnlichen Namen z B Sinus Sinus hyperbolicus lassen sich durch die ahnlichen Definitionen und Eigenschaften verstehen Oft unterscheiden sich die Kreis und Hyperbelfunktion in Definition oder Eigenschaften nur darin dass die Funktionsvariable der Kreisfunktion durch das Produkt aus imaginarer Einheit mit der Funktionsvariablen ersetzt wird oder das positive und negative Vorzeichen vertauscht sind Definition uber die Exponentialfunktion Bearbeiten Die Definitionen von Kreis und Hyperbelfunktionen uber die Exponentialfunktion erlauben es das Funktionsverhalten auf eine bekannte Funktion zuruckzufuhren Sie werden daher haufig benutzt sin z e i z e i z 2 i displaystyle sin z frac e iz e iz 2i nbsp sinh z e z e z 2 displaystyle sinh z frac e z e z 2 nbsp cos z e i z e i z 2 displaystyle cos z frac e iz e iz 2 nbsp cosh z e z e z 2 displaystyle cosh z frac e z e z 2 nbsp Herleitung Bearbeiten Aus der Eulerschen Formel lasst sich die Schreibweise des sin z displaystyle sin z nbsp und des cos z displaystyle cos z nbsp als Summe von Exponentialfunktionen herleiten Die Eulersche Formel lautet e i f cos f i sin f displaystyle e i varphi cos varphi i sin varphi nbsp Ausserdem folgt daraus e i f cos f i sin f displaystyle e i varphi cos varphi i sin varphi nbsp Da der Kosinus eine gerade Funktion ist kann das Minuszeichen weggelassen werden Der Sinus ist ungerade und man darf daher das Minuszeichen vor die Funktion ziehen Wenn man nun die zweite Gleichung von der Ersten subtrahiert und nach sin f displaystyle sin varphi nbsp auflost dann erhalt man die oben genannte Gleichung fur sin z displaystyle sin z nbsp Die Formel fur cos z displaystyle cos z nbsp erhalt man analog Die beiden Gleichungen mussen dann aber addiert werden Definition uber Reihenentwicklung Bearbeiten Die Taylorreihen mit dem Entwicklungspunkt z 0 unterscheiden sich nur in den Vorzeichen jedes zweiten Summengliedes Bei den Hyperbelfunktionen werden alle Reihenglieder addiert bei den Kreisfunktionen wird jedes zweite Reihenglied subtrahiert sin z z z 3 3 z 5 5 z 7 7 n 0 1 n z 2 n 1 2 n 1 sinh z z z 3 3 z 5 5 z 7 7 n 0 z 2 n 1 2 n 1 cos z 1 z 2 2 z 4 4 z 6 6 n 0 1 n z 2 n 2 n cosh z 1 z 2 2 z 4 4 z 6 6 n 0 z 2 n 2 n displaystyle begin aligned sin z amp z frac z 3 3 frac z 5 5 frac z 7 7 dots sum n 0 infty 1 n frac z 2n 1 2n 1 sinh z amp z frac z 3 3 frac z 5 5 frac z 7 7 dots sum n 0 infty frac z 2n 1 2n 1 cos z amp 1 frac z 2 2 frac z 4 4 frac z 6 6 dots sum n 0 infty 1 n frac z 2n 2n cosh z amp 1 frac z 2 2 frac z 4 4 frac z 6 6 dots sum n 0 infty frac z 2n 2n end aligned nbsp Hier steht der Ausdruck n fur die Fakultat von n das Produkt der ersten n naturlichen Zahlen n 1 2 n displaystyle n 1 cdot 2 cdot dots cdot n nbsp speziell auch 0 1 displaystyle 0 1 nbsp Eigenschaften der Funktionen BearbeitenKreis und Hyperbel Bearbeiten Der Name Kreis bzw Hyperbelfunktionen stammt daher dass die Kreisfunktionen einen Kreis x 2 y 2 1 displaystyle x 2 y 2 1 nbsp und die Hyperbelfunktionen eine Hyperbel x 2 y 2 1 displaystyle x 2 y 2 1 nbsp beschreiben u sei die eingeschlossene Flache zwischen x Achse dem Graphen y x und der Verbindungsgeraden zwischen Ursprung und einem Punkt auf dem Graph Fur die Kreisfunktionen ist u ebenfalls gleich dem halben Winkel im Bogenmass zwischen der Verbindungsgeraden zwischen Ursprung und einem Punkt auf dem Graph und der x Achse Beispielsweise entspricht einem Viertelkreis also einer Flache von u p 4 ein Winkel von p 2 Man erhalt somit bei der Umkehrung der Winkelfunktion einen Bogen Arcus daher Arkussinus und Arkuskosinus Fur die Hyperbelfunktionen gilt nur die Definition mit der Flache Daher ergibt sich bei der Umkehrfunktion eine Flache Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus 1 Kreisfunktionen sin 2 u cos 2 u 1 mit y sin u und x cos u displaystyle sin 2 u cos 2 u 1 quad text mit quad y sin u quad text und quad x cos u nbsp Kreisgleichung y 1 x 2 displaystyle Longrightarrow quad text Kreisgleichung quad y pm sqrt 1 x 2 nbsp Hyperbelfunktionen cosh 2 u sinh 2 u 1 mit y sinh u und x cosh u displaystyle cosh 2 u sinh 2 u 1 quad text mit quad y sinh u quad text und quad x cosh u nbsp Hyperbelgleichung y x 2 1 displaystyle Longrightarrow quad text Hyperbelgleichung quad y pm sqrt x 2 1 nbsp Umwandlung zwischen Kreis und Hyperbelfunktionen Bearbeiten Fur alle z C displaystyle z in mathbb C nbsp gilt sin i z i sinh z sinh i z i sin z cos i z cosh z cosh i z cos z displaystyle begin array rcr sin i cdot z amp amp i cdot sinh z sinh i cdot z amp amp i cdot sin z cos i cdot z amp amp cosh z cosh i cdot z amp amp cos z end array nbsp beziehungsweise sin z i sinh i z sinh z i sin i z cos z cosh i z cosh z cos i z displaystyle begin array rcr sin z amp amp i cdot sinh i cdot z sinh z amp amp i cdot sin i cdot z cos z amp amp cosh i cdot z cosh z amp amp cos i cdot z end array nbsp Eine andere Moglichkeit die Kreis und Hyperbelfunktionen ineinander umzuwandeln bietet die Gudermannfunktion Der Vorteil ist dabei dass der Umweg uber die Komplexen Zahlen vermieden werden kann sinh x tan gd x displaystyle sinh x tan operatorname gd x nbsp cosh x sec gd x displaystyle cosh x sec operatorname gd x nbsp tanh x sin gd x displaystyle tanh x sin operatorname gd x nbsp sech x cos gd x displaystyle operatorname sech x cos operatorname gd x nbsp csch x cot gd x displaystyle operatorname csch x cot operatorname gd x nbsp coth x csc gd x displaystyle coth x csc operatorname gd x nbsp Ableitungen Bearbeiten Auch die Ableitungen der Kreis und Hyperbelfunktionen sind einander ahnlich sin z cos z sinh z cosh z cos z sin z cosh z sinh z displaystyle begin matrix sin z amp amp cos z sinh z amp amp cosh z cos z amp amp sin z cosh z amp amp sinh z end matrix nbsp Additionstheoreme Goniometrische Beziehungen Bearbeiten Fur die Kreis wie auch fur die Hyperbelfunktionen gelten die folgenden Additionstheoreme 2 sin x y sin x cos y cos x sin y cos x y cos x cos y sin x sin y tan x y tan x tan y 1 tan x tan y displaystyle begin matrix sin x pm y amp amp sin x cos y pm cos x sin y cos x pm y amp amp cos x cos y mp sin x sin y tan x pm y amp amp displaystyle frac tan x pm tan y 1 mp tan x tan y end matrix nbsp sinh x y sinh x cosh y cosh x sinh y displaystyle sinh x pm y sinh x cosh y pm cosh x sinh y nbsp cosh x y cosh x cosh y sinh x sinh y displaystyle cosh x pm y cosh x cosh y pm sinh x sinh y nbsp tanh x y tanh x tanh y 1 tanh x tanh y displaystyle tanh x pm y frac tanh x pm tanh y 1 pm tanh x tanh y nbsp sin x sin y 2 sin x y 2 cos x y 2 displaystyle sin x sin y 2 sin left frac x y 2 right cdot cos left frac x y 2 right nbsp sin x sin y 2 cos x y 2 sin x y 2 displaystyle sin x sin y 2 cos left frac x y 2 right cdot sin left frac x y 2 right nbsp cos x cos y 2 cos x y 2 cos x y 2 displaystyle cos x cos y 2 cos left frac x y 2 right cdot cos left frac x y 2 right nbsp cos x cos y 2 sin x y 2 sin x y 2 displaystyle cos x cos y 2 sin left frac x y 2 right cdot sin left frac x y 2 right nbsp sinh x sinh y 2 sinh x y 2 cosh x y 2 displaystyle sinh x sinh y 2 sinh left frac x y 2 right cdot cosh left frac x y 2 right nbsp sinh x sinh y 2 cosh x y 2 sinh x y 2 displaystyle sinh x sinh y 2 cosh left frac x y 2 right cdot sinh left frac x y 2 right nbsp cosh x cosh y 2 cosh x y 2 cosh x y 2 displaystyle cosh x cosh y 2 cosh left frac x y 2 right cdot cosh left frac x y 2 right nbsp cosh x cosh y 2 sinh x y 2 sinh x y 2 displaystyle cosh x cosh y 2 sinh left frac x y 2 right cdot sinh left frac x y 2 right nbsp sin x sin y 1 2 cos x y cos x y displaystyle sin x cdot sin y frac 1 2 Big cos x y cos x y Big nbsp cos x cos y 1 2 cos x y cos x y displaystyle cos x cdot cos y frac 1 2 Big cos x y cos x y Big nbsp sin x cos y 1 2 sin x y sin x y displaystyle sin x cdot cos y frac 1 2 Big sin x y sin x y Big nbsp sinh x sinh y 1 2 cosh x y cosh x y displaystyle sinh x cdot sinh y frac 1 2 Big cosh x y cosh x y Big nbsp cosh x cosh y 1 2 cosh x y cosh x y displaystyle cosh x cdot cosh y frac 1 2 Big cosh x y cosh x y Big nbsp sinh x cosh y 1 2 sinh x y sinh x y displaystyle sinh x cdot cosh y frac 1 2 Big sinh x y sinh x y Big nbsp Fur weitere Beziehungen siehe auch die Formelsammlung Trigonometrie Quellen Bearbeiten dtv Atlas zur Mathematik Band 1 Deutscher Taschenbuch Verlag Munchen 4 Auflage 1980 ISBN 3 423 03007 0 S 185 Milton Abramowitz and Irene A Stegun Handbook of Mathematical Functions Dover Publications New York 1964 ISBN 0 486 61272 4 Kapitel 4 3 und 4 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kreis und Hyperbelfunktionen amp oldid 200749363
