Areasinus hyperbolicus abgekurzt arsinh displaystyle operatorname arsinh oder asinh displaystyle operatorname asinh und Areakosinus hyperbolicus abgekurzt arcosh displaystyle operatorname arcosh oder acosh displaystyle operatorname acosh gehoren zu den Areafunktionen und sind die Umkehrfunktionen von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 Umrechnung 3 Eigenschaften 4 Reihenentwicklungen 5 Ableitungen 6 Stammfunktionen 6 1 Regulare Areafunktionen arsinh und arcosh 6 2 Kardinalische Areafunktionen 6 3 Kehrwerte der Areafunktionen 6 4 Beispielwerte 7 Andere Identitaten 7 1 Additionstheoreme 7 2 Vervielfachungstheoreme 8 Numerische Berechnung 9 Siehe auch 10 WeblinksDefinitionen BearbeitenDie Funktionen lassen sich durch die folgenden Formeln ausdrucken Areasinus hyperbolicus Definition uber den naturlichen Logarithmus ln displaystyle ln nbsp arsinh x ln x x 2 1 displaystyle operatorname arsinh x ln left x sqrt x 2 1 right nbsp mit x R displaystyle x in mathbb R nbsp Definition uber ein Integral arsinh x 0 1 x x 2 y 2 1 d y displaystyle operatorname arsinh x int 0 1 frac x sqrt x 2 y 2 1 mathrm d y nbsp mit x R displaystyle x in mathbb R nbsp Areakosinus hyperbolicus arcosh x ln x x 2 1 displaystyle operatorname arcosh x ln left x sqrt x 2 1 right nbsp fur x 1 displaystyle x geq 1 nbsp Umrechnung BearbeitenZusammen mit der Signumfunktion sgn displaystyle operatorname sgn nbsp gilt der Zusammenhang arsinh x sgn x arcosh x 2 1 displaystyle operatorname arsinh x operatorname sgn x cdot operatorname arcosh left sqrt x 2 1 right nbsp Fur x 1 displaystyle x geq 1 nbsp gilt arcosh x arsinh x 2 1 displaystyle operatorname arcosh x operatorname arsinh left sqrt x 2 1 right nbsp Eigenschaften Bearbeiten nbsp Graph der Funktion arsinh x nbsp Graph der Funktion arcosh x Areasinus hyperbolicus Areakosinus hyperbolicusDefinitionsbereich lt x lt displaystyle infty lt x lt infty nbsp 1 x lt displaystyle 1 leq x lt infty nbsp Wertebereich lt f x lt displaystyle infty lt f x lt infty nbsp 0 f x lt displaystyle 0 leq f x lt infty nbsp Periodizitat keine keineMonotonie streng monoton steigend streng monoton steigendSymmetrien Punktsymmetrie zum Ursprung ungerade Funktion keineAsymptote f x ln 2 x displaystyle f x to pm ln 2 x nbsp fur x displaystyle x to pm infty nbsp f x ln 2 x displaystyle f x to ln 2x nbsp fur x displaystyle x to infty nbsp Nullstellen x 0 displaystyle x 0 nbsp x 1 displaystyle x 1 nbsp Sprungstellen keine keinePolstellen keine keineExtrema keine keineWendepunkte x 0 displaystyle x 0 nbsp keineReihenentwicklungen BearbeitenWie bei allen trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen gibt es auch Reihenentwicklungen Dabei treten die Doppelfakultat und die Verallgemeinerung des Binomialkoeffizienten auf Die Reihenentwicklungen lauten arsinh x x k 0 2 k 1 x 2 k 2 k 2 k 1 k 0 1 2 k x 2 k 1 2 k 1 x 1 2 x 3 3 1 3 2 4 x 5 5 1 3 5 2 4 6 x 7 7 fur x lt 1 arsinh x sgn x ln 2 x k 1 2 k 1 2 k 2 k x 2 k fur x gt 1 arcosh x ln 2 x k 1 2 k 1 2 k 2 k x 2 k displaystyle begin alignedat 2 operatorname arsinh x amp x sum k 0 infty frac 2k 1 x 2 k 2k 2k 1 sum k 0 infty frac binom frac 1 2 k x 2k 1 2k 1 amp amp x frac 1 2 frac x 3 3 frac 1 cdot 3 2 cdot 4 frac x 5 5 frac 1 cdot 3 cdot 5 2 cdot 4 cdot 6 frac x 7 7 cdots amp text fur x lt 1 operatorname arsinh x amp operatorname sgn x cdot left ln 2 x sum k 1 infty frac 2k 1 2k 2k x 2 k right amp text fur x gt 1 operatorname arcosh x amp ln 2x sum k 1 infty frac 2k 1 2k cdot 2k x 2k amp end alignedat nbsp Ableitungen BearbeitenDie Ableitung des Areasinus hyperbolicus lautet d d x arsinh x 1 x 2 1 displaystyle frac mathrm d mathrm d x operatorname arsinh x frac 1 sqrt x 2 1 nbsp fur beliebige reelle Zahlen x displaystyle x nbsp Die Ableitung des Areakosinus hyperbolicus lautet d d x arcosh x 1 x 2 1 displaystyle frac mathrm d mathrm d x operatorname arcosh x frac 1 sqrt x 2 1 nbsp fur alle reellen x gt 1 displaystyle x gt 1 nbsp Stammfunktionen BearbeitenRegulare Areafunktionen arsinh und arcosh Bearbeiten Die Ursprungsstammfunktion des Areasinus hyperbolicus lautet wie folgt 0 x arsinh y d y x arsinh x x 2 1 1 displaystyle int 0 x operatorname arsinh y mathrm d y x cdot operatorname arsinh x sqrt x 2 1 1 nbsp Somit gilt d d x x arsinh x x 2 1 arsinh x displaystyle frac mathrm d mathrm d x bigl x cdot operatorname arsinh x sqrt x 2 1 bigr operatorname arsinh x nbsp Die durch den Punkt 1 0 verlaufende Stammfunktion und des Areakosinus hyperbolicus lautet so 1 x arcosh y d y x arcosh x x 2 1 displaystyle int 1 x operatorname arcosh y mathrm d y x cdot operatorname arcosh x sqrt x 2 1 nbsp Somit gilt d d x x arcosh x x 2 1 arcosh x displaystyle frac mathrm d mathrm d x bigl x cdot operatorname arcosh x sqrt x 2 1 bigr operatorname arcosh x nbsp Kardinalische Areafunktionen Bearbeiten Die Ursprungsstammfunktion des kardinalischen Areasinus Hyperbolicus ist dilogarithmisch beschaffen 0 x 1 y arsinh y d y 1 2 Li 2 1 x 2 1 x 2 1 2 arsinh x 2 displaystyle int 0 x frac 1 y operatorname arsinh y mathrm d y frac 1 2 operatorname Li 2 bigl 1 bigl sqrt x 2 1 x bigr 2 bigr frac 1 2 operatorname arsinh x 2 nbsp Eng verwandt sind diese Ursprungsstammfunktionen aus den Abwandlungen des Areasinus Hyperbolicus Cardinalis 0 x arsinh y y y 2 1 d y 2 Li 2 x x 2 1 1 1 2 Li 2 x 2 1 1 x 2 1 1 displaystyle int 0 x frac operatorname arsinh y y sqrt y 2 1 mathrm d y 2 operatorname Li 2 biggl frac x sqrt x 2 1 1 biggr frac 1 2 operatorname Li 2 biggl frac sqrt x 2 1 1 sqrt x 2 1 1 biggr nbsp 0 x arsinh y y y 2 1 d y Li 2 x x 2 1 1 4 Li 2 x 2 x 2 1 displaystyle int 0 x frac operatorname arsinh y y y 2 1 mathrm d y operatorname Li 2 biggl frac x sqrt x 2 1 biggr frac 1 4 operatorname Li 2 biggl frac x 2 x 2 1 biggr nbsp Li 2 1 x 2 1 x 2 1 4 Li 2 1 x 2 1 x 4 displaystyle operatorname Li 2 bigl 1 bigl sqrt x 2 1 x bigr 2 bigr frac 1 4 operatorname Li 2 bigl 1 bigl sqrt x 2 1 x bigr 4 bigr nbsp Kehrwerte der Areafunktionen Bearbeiten Die Integrale der Kehrwerte von Areasinus Hyperbolicus und Areakosinus Hyperbolicus beinhalten die Integralhyperbelfunktionen und sind somit nicht elementar darstellbar Die Ursprungsstammfunktion des reziproken Kardinalischen Areasinus Hyperbolicus ist direkt die Halfte vom Integralsinus Hyperbolicus vom Doppelten des Areasinus Hyperbolicus 0 x y arsinh y d y 1 2 Shi 2 arsinh x displaystyle int 0 x frac y operatorname arsinh y mathrm d y frac 1 2 operatorname Shi bigl 2 operatorname arsinh x bigr nbsp 1 x y arcosh y d y 1 2 Shi 2 arcosh x displaystyle int 1 x frac y operatorname arcosh y mathrm d y frac 1 2 operatorname Shi bigl 2 operatorname arcosh x bigr nbsp 1 x 1 arcosh y d y Shi arcosh x displaystyle int 1 x frac 1 operatorname arcosh y mathrm d y operatorname Shi bigl operatorname arcosh x bigr nbsp Das Integral aus dem Kehrwert des Areasinus Hyperbolicus ist eine Komposition aus dem Integralkosinus Hyperbolicus 1 x 1 arsinh y d y Chi arsinh x Chi arsinh 1 displaystyle int 1 x frac 1 operatorname arsinh y mathrm d y operatorname Chi bigl operatorname arsinh x bigr operatorname Chi bigl operatorname arsinh 1 bigr nbsp Dabei sind die Integralhyperbelfunktionen so definiert Shi x 0 1 1 y sinh x y d y displaystyle operatorname Shi x int 0 1 frac 1 y sinh xy mathrm d y nbsp Chi x g ln x 0 1 1 y cosh x y 1 d y displaystyle operatorname Chi x gamma ln x int 0 1 frac 1 y bigl cosh xy 1 bigr mathrm d y nbsp Beispielwerte Bearbeiten Folgende bestimmten Integrale aus den Produkten des Areasinus Hyperbolicus sind gultig 0 1 2 1 x arsinh x d x p 2 20 displaystyle int 0 1 2 frac 1 x operatorname arsinh x mathrm d x frac pi 2 20 nbsp 0 arsinh x x x 2 1 d x p 2 4 displaystyle int 0 infty frac operatorname arsinh x x sqrt x 2 1 mathrm d x frac pi 2 4 nbsp 0 arsinh x x x 2 1 d x p 2 8 displaystyle int 0 infty frac operatorname arsinh x x x 2 1 mathrm d x frac pi 2 8 nbsp Folgende bestimmten Integrale aus den Produkten vom Kehrwert des Areasinus Hyperbolicus sind gultig 0 x x 2 1 3 2 arsinh x d x 4 G p displaystyle int 0 infty frac x x 2 1 3 2 operatorname arsinh x mathrm d x frac 4 G pi nbsp 0 x x 2 1 2 arsinh x d x 7 z 3 p 2 displaystyle int 0 infty frac x x 2 1 2 operatorname arsinh x mathrm d x frac 7 zeta 3 pi 2 nbsp Der Buchstabe G stellt die Catalan Konstante und der Ausdruck z 3 displaystyle zeta 3 nbsp stellt die Apery Konstante dar Andere Identitaten BearbeitenAdditionstheoreme Bearbeiten arsinh u arsinh v arsinh u 1 v 2 v 1 u 2 displaystyle operatorname arsinh u pm operatorname arsinh v operatorname arsinh left u sqrt 1 v 2 pm v sqrt 1 u 2 right nbsp arcosh u arcosh v arcosh u v u 2 1 v 2 1 displaystyle operatorname arcosh u pm operatorname arcosh v operatorname arcosh left uv pm sqrt u 2 1 v 2 1 right nbsp arsinh u arcosh v arsinh u v 1 u 2 v 2 1 arcosh v 1 u 2 u v 2 1 displaystyle begin aligned operatorname arsinh u operatorname arcosh v amp operatorname arsinh left uv sqrt 1 u 2 v 2 1 right amp operatorname arcosh left v sqrt 1 u 2 u sqrt v 2 1 right end aligned nbsp Vervielfachungstheoreme Bearbeiten arcosh 2 x 2 1 2 arcosh x fur x 1 arcosh 4 x 3 3 x 3 arcosh x fur x 1 arcosh 8 x 4 8 x 2 1 4 arcosh x fur x 1 arcosh 16 x 3 20 x 3 5 x 5 arcosh x fur x 1 arcosh 2 x 2 1 2 arsinh x fur x 0 arsinh 4 x 3 3 x 3 arsinh x fur x R arcosh 8 x 4 8 x 2 1 4 arsinh x fur x 0 arsinh 16 x 5 20 x 3 5 x 5 arsinh x fur x R displaystyle begin aligned operatorname arcosh 2x 2 1 2 operatorname arcosh x qquad text fur x geq 1 operatorname arcosh 4x 3 3x 3 operatorname arcosh x qquad text fur x geq 1 operatorname arcosh 8x 4 8x 2 1 4 operatorname arcosh x qquad text fur x geq 1 operatorname arcosh 16x 3 20x 3 5x 5 operatorname arcosh x qquad text fur x geq 1 operatorname arcosh 2x 2 1 2 operatorname arsinh x qquad text fur x geq 0 operatorname arsinh 4x 3 3x 3 operatorname arsinh x qquad text fur x in mathbb R operatorname arcosh 8x 4 8x 2 1 4 operatorname arsinh x qquad text fur x geq 0 operatorname arsinh 16x 5 20x 3 5x 5 operatorname arsinh x qquad text fur x in mathbb R end aligned nbsp Numerische Berechnung BearbeitenGrundsatzlich kann der Areasinus hyperbolicus uber die bekannte Formelarsinh x ln x x 2 1 displaystyle operatorname arsinh x ln left x sqrt x 2 1 right nbsp berechnet werden wenn die naturliche Logarithmusfunktion ln x displaystyle ln x nbsp zur Verfugung steht Es gibt jedoch folgende Probleme Grosse positive Operanden losen einen Uberlauf aus obwohl das Endergebnis immer darstellbar ist Fur Operanden nahe an 0 kommt es zu einer numerischen Ausloschung womit das Ergebnis ungenau wird Zunachst einmal soll der Operand x displaystyle x nbsp positiv gemacht werden arsinh x arsinh x displaystyle operatorname arsinh x operatorname arsinh x nbsp fur x lt 0 displaystyle x lt 0 nbsp angewandt Fur x 0 displaystyle x geq 0 nbsp konnen dann folgende Falle unterschieden werden Fall 1 x displaystyle x nbsp ist eine grosse positive Zahl mit x 10 k 2 displaystyle x geq 10 frac k 2 nbsp arsinh x ln 2 ln x displaystyle operatorname arsinh x ln 2 ln x nbsp wobei k displaystyle k nbsp die Anzahl der signifikanten Dezimalziffern des verwendeten Zahlentyps ist was zum Beispiel beim 64 Bit Gleitkommatyp double 16 ist Diese Formel ergibt sich aus folgender Uberlegung 10 k displaystyle 10 k nbsp ist die kleinste positive Zahl ab der die letzte Vorkommastelle nicht mehr gespeichert ist weshalb 10 k 1 10 k displaystyle 10 k 1 approx 10 k nbsp gilt Jetzt soll dasjenige x displaystyle x nbsp berechnet werden ab dem gilt x 2 1 x 2 displaystyle x 2 1 approx x 2 nbsp Dies gilt fur x 2 10 k displaystyle x 2 geq 10 k nbsp woraus x 10 k 2 displaystyle x geq 10 frac k 2 nbsp folgt Somit kann man in der bekannten Formel fur den Areasinus hyperbolicus x 2 1 displaystyle x 2 1 nbsp durch x 2 displaystyle x 2 nbsp ersetzen arsinh x ln x x 2 1 displaystyle operatorname arsinh x ln left x sqrt x 2 1 right nbsp ln x x 2 ln 2 x ln 2 ln x displaystyle ln x sqrt x 2 ln 2x ln 2 ln x nbsp Fall 2 x displaystyle x nbsp ist nahe an 0 z B fur x lt 0 125 displaystyle x lt 0 125 nbsp Verwendung der Taylorreihe arsinh x x 1 2 x 3 3 1 3 2 4 x 5 5 1 3 5 2 4 6 x 7 7 displaystyle operatorname arsinh x x frac 1 2 frac x 3 3 frac 1 cdot 3 2 cdot 4 frac x 5 5 frac 1 cdot 3 cdot 5 2 cdot 4 cdot 6 frac x 7 7 dotsb nbsp Fall 3 Alle ubrigen x displaystyle x nbsp arsinh x ln x x 2 1 displaystyle operatorname arsinh x ln left x sqrt x 2 1 right nbsp In gleicher Weise kann der Areacosinus hyperbolicus uber die Formel arcosh x ln x x 2 1 displaystyle operatorname arcosh x ln left x sqrt x 2 1 right nbsp berechnet werden Auch hier entsteht jedoch das Problem mit den grossen Operanden die Losung ist dieselbe wie beim Areasinus Fall 1 x displaystyle x nbsp ist eine grosse positive Zahl mit x 10 k 2 displaystyle x geq 10 frac k 2 nbsp arcosh x ln 2 ln x displaystyle operatorname arcosh x ln 2 ln x nbsp wobei k displaystyle k nbsp die Anzahl der signifikanten Dezimalziffern des verwendeten Zahlentyps ist Fall 2 x lt 1 displaystyle x lt 1 nbsp Das Ergebnis ist nicht definiert Fall 3 Alle ubrigen x displaystyle x nbsp d h fur 1 x lt 10 k 2 displaystyle 1 leq x lt 10 frac k 2 nbsp arcosh x ln x x 2 1 displaystyle operatorname arcosh x ln left x sqrt x 2 1 right nbsp Siehe auch BearbeitenTrigonometrische Funktionen Kreis und HyperbelfunktionenWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Inverse Hyperbolic Sine In MathWorld englisch Eric W Weisstein Inverse Hyperbolic Cosine In MathWorld englisch Christoph Bock Elemente der Analysis PDF 2 2 MB Abschnitt 7 10 Trigonometrische Funktion Primare trigonometrische FunktionenSinus und Kosinus Tangens und Kotangens Sekans und Kosekans Umkehrfunktionen Arkusfunktionen Arkussinus und Arkuskosinus Arkustangens und Arkuskotangens Arkussekans und Arkuskosekans HyperbelfunktionenSinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus AreafunktionenAreasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus amp oldid 234061208
