Das Halley-Verfahren (auch Verfahren der berührenden Hyperbeln) ist, ähnlich wie das Newton-Verfahren, eine Methode der numerischen Mathematik zur Bestimmung von Nullstellen reeller Funktionen . Im Gegensatz zum Newton-Verfahren hat es die Konvergenzordnung 3, benötigt dazu aber zusätzlich zur ersten auch die zweite Ableitung. Es ist nach dem Astronomen Edmond Halley benannt, der auch das Wiederkehrgesetz des nach ihm benannten Halleyschen Kometen bestimmte. Ein vergleichbares Verfahren ist das Euler-Tschebyschow-Verfahren.
Beschreibung des Verfahrens Bearbeiten
Sei eine reelle Funktion mit stetiger zweiter Ableitung, und sei a eine einfache Nullstelle von , d. h. . Dann konvergiert für Startpunkte nahe die durch die Iteration
erzeugte Folge sukzessiver Näherungen mit kubischer Konvergenzordnung gegen .
Varianten dieses Verfahrens sind das ursprünglich von Halley verwendete irrationale bzw. parabolische Halley-Verfahren mit der Iterationsvorschrift
und in Verallgemeinerung dessen das Laguerre-Verfahren
Für Polynome wird dabei gleich dem Grad gesetzt. Da der Term unter der Wurzel negativ werden kann, können diese beiden Varianten auch für rein reelle Polynome und reelle Startwerte zu komplexen Nullstellen konvergieren. Bei der in nachfolgenden Iterationen notwendigen Bestimmung der Quadratwurzel aus komplexen Zahlen ist hier immer die Lösung mit positivem Realteil zu wählen, so dass der Nenner den größtmöglichen Betrag hat.
Motivation Bearbeiten
Sei eine reelle Funktion mit stetiger zweiter Ableitung, und sei eine einfache Nullstelle von , d. h. . Dann wird der Funktionsverlauf von in der Nähe von in zweiter Ordnung „gerade gebogen“, indem statt die Funktion betrachtet wird. Diese Konstruktion ist von der Nullstelle unabhängig. Nun wird das Newton-Verfahren auf angewandt. Es ist
und daher
Dieselbe Vorschrift ergibt sich aus dem allgemeineren Householder-Verfahren in der zweiten Ordnung
Beispiel Bearbeiten
Die Iteration für die Quadratwurzel von z. B. a=5 ergibt mit die Iterationsvorschrift
und damit die Berechnungstabelle
| 0 | 3,00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 | 4,00000000000 |
|---|---|---|
| 1 | 2,25000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 | 0,0625000000000 |
| 2 | 2,23606811145510835913312693498452012383900928792569659442724 | 5,99066414899E-7 |
| 3 | 2,23606797749978969640929385361588622700967141237081284965284 | 5,37483143712E-22 |
| 4 | 2,23606797749978969640917366873127623544061835961152572427090 | 0,000000000000 |
Es ergibt sich eine Folge von 0, 1, 5, 21, >60 gültigen Stellen, d. h. eine Verdreifachung in jedem Schritt. Das Newtonverfahren hat die Verfahrensvorschrift:
Im direkten Vergleich zeigt das Halley-Verfahren die schnellere Konvergenz. Es benötigt jedoch mehr Rechenoperationen pro Schritt.
Kubische Konvergenz Bearbeiten
Sei f dreimal stetig differenzierbar. Da a als Nullstelle von f vorausgesetzt wurde, gilt näherungsweise . Genauer gilt auf einem Intervall I, welches a enthält, nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung die zweiseitige Abschätzung
d. h. sowohl als auch . Es reicht also, das Verhältnis der Funktionswerte von einem Iterationsschritt zum nächsten zu bestimmen.
Irrationales oder parabolisches Halley-Verfahren Bearbeiten
Die Taylorentwicklung zweiten Grades von f ist
Dies ergibt zunächst eine Näherung durch eine Parabel, die den Graphen von im Punkt von zweiter Ordnung berührt. Ist klein genug, so hat diese Parabel eine Nullstelle, die deutlich nahe an liegt, nämlich bei
Die entsprechende Iteration ist
Da der Nenner von in der Nähe einer Nullstelle von von Null verschieden ist, gilt . Durch diese Konstruktion von verschwinden die ersten drei Glieder der Taylor-Entwicklung, daher gilt .
Diese Form des Verfahrens wurde ursprünglich von E. Halley vorgeschlagen. Entwickelt man die Wurzel nach , so erhält man das, heute übliche, rationale oder hyperbolische Halley-Verfahren.
Hyperbolisches Halley-Verfahren Bearbeiten
Benutzt man in der Taylor-Entwicklung von die Identität , so kann man diese in einen Bruch von in linearen Funktionen verwandeln, d. h. wird in der Nähe von durch eine hyperbolische Funktion angenähert, und von dieser nachfolgend die Nullstelle bestimmt:
Die Funktion wird also durch eine Hyperbel approximiert, die in zu ebenfalls zweiter Ordnung berührt. Der Zähler der Hyperbelfunktion verschwindet für , woraus sich die Halley-Iteration (s. o.) ergibt. Wieder gilt und damit
Daraus folgt dann für die Halley-Iteration
d. h. die kubische Konvergenz.
Mehrdimensionale Erweiterung Bearbeiten
Eine Erweiterung des Verfahrens auf Funktionen mehrerer Veränderlicher ist möglich. Es kann der gleiche binomische Trick zur Herstellung einer Hyperbelfunktion verwendet werden. Dabei ist aber zu beachten,
- dass eine Matrix ist, die als invertierbar vorausgesetzt wird,
- dass ein Tensor dritter Stufe ist, genauer eine vektorwertige symmetrische Bilinearform, und
- dass die unvollständig ausgewertete zweite Ableitung , die ebenfalls eine Matrix ist, im Allgemeinen nicht mit der Matrix kommutiert.
Dies sind keine Hindernisse, diese Eigenschaften machen nur die Rechnung etwas unübersichtlicher. Es bezeichne den üblichen Newtonschritt, sei der entsprechend modifizierte Term zweiter Ordnung. Dann gilt für die Taylorentwicklung in
Der in lineare Teil des Zählers wird nun zu Null gesetzt und weiter umgeformt. Dabei wird die Symmetrie von ausgenutzt:
Werden nun die Kurznotationen durch die ursprünglichen Ausdrücke ersetzt, so ergibt sich
Man überzeugt sich leicht, dass diese Formel sich im eindimensionalen Fall zur Halley-Iteration reduziert. Der sich daraus ergebende Iterationsschritt des mehrdimensionalen Halley-Verfahrens kann in 3 einfacheren Schritten bestimmt werden:
- Newton-Schritt: Löse
- Korrektur des Newton-Schritts: Löse
- Setze
Ist die 2.Ableitung Lipschitz-stetig, so konvergiert das Verfahren lokal kubisch.
Da als klein vorausgesetzt wurde, ist es nicht mehr notwendig, die Inverse der großen Klammer zu bestimmen. Es kann wieder der binomische Trick (bzw. die Taylorformel 1. Grades) benutzt werden, um den einfacheren, aber bis auf Terme dritter Ordnung (nun in F(x)) identischen Ausdruck
zu erhalten. Die daraus abgeleitete Iteration ist das Euler-Tschebyschow-Verfahren.
Literatur Bearbeiten
- T.R. Scavo, J.B. Thoo: On the geometry of Halley’s method. In: American Mathematical Monthly, Volume 102, 1995, number 5, S. 417–426.
- Hubert Schwetlick: Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungen. Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1979.
Weblinks Bearbeiten
- Eric W. Weisstein: Halley’s method. In: MathWorld (englisch).
- Pascal Sebah, Xavier Gourdon: Newton’s method and high order iterations. 2001, Abschnitt „Cubic Iteration“
Dieser Artikel wurde dem Artikel en:Halley's method der englischen Wikipedia nachempfunden (Stand 26. Januar 2007).